2023年江苏省南京市联合体中考数学模拟练习试卷（二）（含解析）

2023年江苏省南京市联合体中考数学模拟练习试卷（二）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年月日，国务院新闻办公室公布：截至年末全国人口总数为万，比上年末增加万人，中国人口的增长逐渐缓慢．用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  点位于平面直角坐标系第四象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点关于原点对称的的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，数轴上、两点分别对应实数、，则下列结论，，，，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.  图是变量与变量的函数关系的图象，图是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  的相反数是______ ，的倒数是______ ．

8.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

9.  分解因式的结果是          ．

10.  若，则代数式的值为______．

11.  若圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面展开图的面积是______．

12.  若、为的两根，则的值为______ ．

13.  已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
 

14.  如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，求的长是______．

15.  如图，为的直径，弦与交于点，连接、，，，，则弦 ______ ．

16.  如图，线段和动点构成，，，则周长的最大值______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在▱中，点、在对角线上，且．

求证：；
四边形是平行四边形．

20.  本小题分
为了解全区名九年级学生英语听力口语自动化考试成绩的情况，随机抽取了部分学生的成绩满分分且得分均为整数，制成下表：

填空：
本次抽样调查共抽取了______名学生；
学生成绩的中位数所在的分数段是______；
若用扇形统计图表示统计结果，则分数段为的人数所对应扇形的圆心角为______；
如果将分以上含分定为优秀，请估计全区九年级考生成绩为优秀的人数．

21.  本小题分
现有，两个不透明的袋子，分别装有个小球每个袋中的小球除颜色外，其他完全相同袋装有个白球，个红球；袋装有个红球，个白球．
将袋摇匀，然后从袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______；
甲、乙两人玩摸球游戏，并设计了如下规则：甲从袋中随机摸出一个小球，乙从袋中随机摸出一个小球．若甲、乙两人摸到的小球颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．这个游戏规则公平吗？为什么？请用画树状图或列表的方法说明理由

22.  本小题分
如图所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图是它的简易平面图，小明想知道灯管距地面的高度，他在地面处测得灯管的仰角为在地面处测得灯管的仰角为，并测得，已知点，，在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管距地面的高度结果精确到，参考数据：，，

23.  本小题分
如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，，与坐标轴交于、两点．
求一次函数与反比例函数的解析式；
观察图象，当时，直接写出不等式的解集；
将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值．

24.  本小题分
如图，在中，，是边上一点，以为直径的与相切于点，连接并延长交的延长线于点．
求证：；
若，，求的直径．

25.  本小题分
某水果店出售一种水果，每箱定价元时，每周可卖出箱试销发现：每箱水果每降价元，每周可多卖出箱；每涨价元，每周将少卖出箱已知每箱水果的进价为元，每周每箱水果的平均损耗费为元．
若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？
根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？

26.  本小题分
“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用如图，点把线段分成两部分，如果，那么称线段被点黄金分割，点为线段的黄金分割点，与的比称为黄金比，它们的比值为请完成下面的问题：
如图，，点在边上，请在边上用无刻度的直尺和圆规作出点，使得与的比为黄金比；不写作法，保留作图痕迹
如图，在中，，若，请你求出的度数．
 

27.  本小题分
综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图中一个的角：______．
迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接．
如图，当点在上时，______，______；
改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由．
拓展应用
在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【解答】
解：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：到轴的距离为，到轴的距离为，
纵坐标可能为，横坐标可能为，
点在第四象限，
坐标为．
点关于原点对称的的坐标是．
故选：．
可先根据到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值，进而判断出点的符号，点的坐标；然后由“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”得到的坐标．
本题考查点的坐标的确定；用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图得，、异号，
，故正确；
，且，，
，故正确；
，，
，故正确；

，
且，，
，
，故正确；
故选：．
根据有理数运算法则及图中、的取值范围逐个判断即可．
本题考查了有理数的运算法则的应用，利用数轴判断取值范围是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可设为常数，且，，由图可设为常数，，
将代入得：，
与的函数关系为一次函数关系，
，，，
，，
与的函数图象过一、二、四象限．
故选：．
由图可设为常数，且，，由图可设为常数，，将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．
本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．
 

7.【答案】   

【解析】解：相反数是，的倒数是．
故答案为：，．
乘积是的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，相反数，关键是掌握倒数、相反数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：由于式子在实数范围内有意义，
所以，
即，
所以的取值范围是，
故答案为：．
根据“负数没有平方根”即可求出自变量的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握“负数没有平方根”是正确解答的关键．
 

9.【答案】． 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解运用公式法，掌握是解题的关键．
根据多项式乘多项式展开，合并同类项，再根据平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：原式

．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了因式分解的运用和整体代入求值法，重点掌握提取公因式法．将原式变形为，代入，可继续变形为，即可求出代数式的值为．
【解答】
解：，







故答案为  

11.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线长为，
它的侧面积，
故答案为：．
利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么侧面积底面半径母线长．
考查圆锥的计算；用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形．
 

12.【答案】 

【解析】解：、为的两根，
，
，
；
故答案为：．
由、为的两根，可得，，代入计算即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握方程根的概念和根与系数的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过，则，
则，
故，
由图象可知：，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用图象把代入，进而得出，之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象与系数的关系，正确得出与之间的关系是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

折叠矩形纸片，使点落在点处，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由折叠的性质可得，，，可证四边形是菱形，在中，利用勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形判定和性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，过点作，垂足为，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
故答案为：．
连接，过点作，垂足为，根据垂径定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等腰直角三角形的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接，作的外接圆，

，
的周长为：．
，
当的长度最大时，周长最大，
当点与点重合时，为的直径，最大．
设的半径为，连接，，过点作于点，
，
．
，，
，
，
，
，
的最大值为．
周长的最大值为．
故答案为：．
延长到，使，连接，作的外接圆，当的长度最大时，周长最大，而为的直径时，最大．设的半径为，连接，，过点作于点，根据垂径定理得出的长，再用正弦函数得出的长度，则的最大值可得，从而周长的最大值可得．
本题考查了三角形的外接圆、垂径定理及解直角三角形等知识点，正确构造三角形的外接圆是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；
方程两边都乘，
得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解． 

【解析】先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算加减即可；
解分式方程，先去分母，再解方程，最后验算看是否有增根．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值和解分式方程，能正确根据实数的运算法则和解分式方程的运算法则是解此题的关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，
原式
． 

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
由可知，，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形． 

【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，利用证明≌；
根据全等三角形的性质得到，，推出，根据平行线的判定定理证明，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
 

20.【答案】  ；  ；  ；
该区九年级考生成绩为优秀的人数人． 

【解析】

解：由表格可知，本次抽样调查的人数人．
成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据均落在，
所以中位数落在；
分数段为的人数所对应扇形的圆心角为，
故答案为：；；；

见答案．
【分析】
将表中各分数段数据相加即可得；根据中位数的定义即可得；用乘以对应的比例即可得；
用总人数乘以后两组人数和所占比例即可得．
本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率频数总人数及中位数的定义、样本估计总体思想的运用．  

21.【答案】 

【解析】解：共有种等可能结果，而摸出红球的结果有种，
，
故答案为：；

这个游戏规则不公平．理由如下：
根据题意，列表如下：

由上表可知，共有种等可能结果，其中颜色不相同的结果有种，颜色相同的结果有种
则甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，
，
这个游戏规则不公平．
由概率公式即可得出答案；
由列表可知，共有种等可能结果，其中颜色不相同的结果有种，颜色相同的结果有种，，，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
米，
灯管距地面的高度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：把代入得：，
反比例函数的解析式为．
把代入得：，解得，
．
把，分别代入得：
，解之得：，
一次函数的解析式为；

当时，不等式的解集或；

将直线向下平移个单位后，直线的解析式为．
直线与反比例函数有唯一交点，
方程有唯一解，
整理得：，
，
解之得：，舍去．
的值为． 

【解析】把代入，求出，得到反比例函数的解析式，把点代入反比例函数解析式，求出，即，再将、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
根据、两点的坐标以及两函数的图象即可得出结论；
先根据平移的规律得出直线向下平移个单位后直线的解析式，再根据此时它与反比例函数的图象有唯一交点，得出判别式，进而求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何变换，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，如图，

是的切线，
．
，
，
．
，
，
，
；
解：连接，如图，

，
，
，，
．
是直径，
，
．
，
∽，
，
．
．
．
，
即的直径为． 

【解析】连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；
连接，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

25.【答案】解：，元，
若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为元；
若每箱水果降价元，这种水果的每周销售利润为元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，的最大值为元；
若每箱水果涨价元，这种水果的每周销售利润为元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，的最大值为元；
综上所述，当每箱水果定价为元时，这种水果的每周销售利润最大为元． 

【解析】根据已知列式计算即可；
分两种情况：若每箱水果降价元，这种水果的每周销售利润为元，可得：，若每箱水果涨价元，这种水果的每周销售利润为元，有，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，分情况列出函数关系式．
 

26.【答案】解：由题意得，，
可得，
先作线段的垂直线平分线，交线段于点，再过点作的垂线，
以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，
可得，则，
然后以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，
最后以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，
此时．
如图中，点即为所求．


在底边上截取，连接，

，，
，
，
，
，
又，
∽，
设，
，
，
，
； 

【解析】先作线段的垂直线平分线，交线段于点，再过点作的垂线，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，然后以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，最后以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，此时点即为所求；
在边上截取，连接，再根据“，”分别求出与的值都是，所以∽，根据相似三角形对应角相等和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用三角形内角和定理列式即可求出的度数．
本题考查相似三角形的判定和性质，主要利用相似三角形对应边成比例、对应角相等，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解题的关键．
 

27.【答案】答案不唯一；
  ；；
         ，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
在和中，

≌，
；
的长为或． 

【解析】解：对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：或或或任写一个即可；
由可知，
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
在和中

≌，
，
故答案为：，；
，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
在和中，
≌，
；
由折叠的性质可得，，
≌，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
由折叠的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，即可求解；
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得；
分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．