2022-2023学年山东省菏泽市巨野县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省菏泽市巨野县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列实数，，，，，，中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列说法错误的是(    )

A. 的立方根是 B. 算术平方根等于本身的数是，
C.  D. 的平方根是

3.  下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )

A. 当时，四边形是菱形
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当时，四边形是正方形

5.  若与是同一个正数的平方根，则为(    )

A.  B.  C.  D. 或

6.  已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在中，，为的中点，点在上，且，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图菱形的对角线，，点为边的中点，点、为、边上的动点，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  一个三角形的三边长是，，，则这个三角形的面积是______ ．

10.  如图，在数轴上点表示的实数是______ ．

11.  定义新运算“”，规定：若关于的不等式的解集为，则______．

12.  若关于的不等式组无解，则的取值范围为______．

13.  如图，菱形中，对角线与相交于点，为边的中点，，则的长为______ ．

14.  如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：
；
．

16.  本小题分
解不等式组：
解关于的一元一次不等式；
解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．
 

17.  本小题分
求下列各式中的的值：

 

18.  本小题分
如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积．

19.  本小题分
已知：的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
求，，的值；
求的平方根．

20.  本小题分
长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？

21.  本小题分
在矩形中，，，点为边上一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，求点的坐标．
 

22.  本小题分
倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进，两种型号的健身器材若干套，，两种型号健身器材的购买单价分别为每套元，元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买，两种型号的健身器村共套，且支出不超过元，求种型号健身器材至少要购买多少套？

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，在平行四边形中，，，点、分别是、的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
请判断四边形的形状并加以证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，，，是有理数，无理数有：，，共个．
故选：．
无理数常见的三种类型：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数．
本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、的立方根是，说法正确，不符合题意；
A、算术平方根等于本身的数是，，原说法错误，符合题意；
C、，说法正确，不符合题意；
D、的平方根是，说法正确，不符合题意．
故选：．
根据算术平方根、平方根和立方根的概念判断即可．
本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：．
根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，难度适中．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
A、根据邻边相等的平行四边形是菱形；、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；、根据对角线相等的平行四边形是矩形，依次判断即可．
【解答】
解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故本选项不符合题意；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当时，四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当时，它是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：与是同一个正数的平方根，
，或，
解得：或．
故选：．
由于一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得到与互为相反数，与也可以是同一个数．
本题主要考查了平方根的概念，解题时注意要求是一个正数的平方根．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
先得出点关于轴对称点的坐标为，再由第一象限的点的横、纵坐标均为正可得出关于的不等式，继而可得出的范围，在数轴上表示出来即可．
此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识，及关于轴对称的点的坐标的特点，根据题意得出点对称点的坐标是解答本题的关键．
【解答】
解：由题意得，点关于轴对称的点的坐标为：，
又关于轴的对称点在第一象限，
，解得：
在数轴上表示为：．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，为的中点，
，
是等边三角形，，
，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，根据直角三角形的性质得到，得到是等边三角形，，于是得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，对角线，，
，，，
作关于的对称点，
，
当、、共线时，时，即为的最小值垂线段最短，
，
，
的最小值为．
故选：．
先根据菱形的性质求出其边长，再作关于的对称点，连接，则即为的最小值，再根据菱形的性质求出的长度即可．
本题考查的是轴对称最短路线问题、菱形的性质、垂线段最短等知识，熟知菱形的性质是解答此题的关键，学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
这个三角形是直角三角形，
这个三角形的面积，
故答案为：．
先根据勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：半径，
点表示的数为，
故答案为：．
根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点的位置可得答案．
本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点在数轴的正半轴上．
 

11.【答案】 

【解析】解，
．
，
，
．
关于的不等式的解集为，
，
．
故答案为：．
根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．
本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，属于基础题．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，可得，即可得答案．
【解答】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组无解，
，
解得，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：菱形中，，
，
为边中点，为的中点，
是中位线，
．
故答案为：．
边长，然后根据为边中点，可得，即可求解．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键掌握菱形四条边都相等，对角线互相垂直且平分的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：是中点，，
，
将折叠，使点与的中点重合，
，
，
在中，，
，
，
，．
故答案为：．
由折叠的性质可得，根据勾股定理可求的长，即可求的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
 

15.【答案】解：


；



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
解集表示在数轴上，如图所示：
． 

【解析】不等式去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解集；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
或；
，
，
，
，
． 

【解析】根据解方程的方法和平方根的定义可以解答本题；
根据解方程的方法和立方根的定义可以解答本题．
本题考查立方根、平方根、解方程，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

18.【答案】解：连接，

，米，米，
米，
米，米，
，，
，
是直角三角形，
，
这块地的面积的面积的面积



平方米，
这块地的面积为平方米． 

【解析】连接，在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据这块地的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：的立方根是，
，
解得，，
的算术平方根是，
，
解得，，
，
，
的整数部分为，
即，，
因此，，，，
当，，时，
，
的平方根为． 

【解析】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．
根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出、、的值；
求出代数式的值，再求这个数的平方根．
 

20.【答案】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，负值舍去，
所以，米，
答：风筝的高度为米；
由题意得，米，
所以米，
所以米，
所以米，
所以他应该往回收线米． 

【解析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，四边形是长方形，
，．
由折叠的性质知．
，
在直角中，由勾股定理得，
，
设，则，
在直角中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
． 

【解析】根据折叠的性质知在直角中，由勾股定理求得，设，则，在直角中，由勾股定理得，，即，解得，所以．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解答此题时，注意坐标与图形的性质的运用．
 

22.【答案】解：设种型号健身器材购买套，则种型号健身器材购买套，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
的最小值为．
答：种型号健身器材至少要购买套． 

【解析】设种型号健身器材购买套，则种型号健身器材购买套，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：因为，
所以，
因为为的平分线，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以四边形是平行四边形，
因为，
所以四边形是菱形；
解：因为四边形是菱形，
所以，，，
因为，
所以，
因为，
所以，
在中，，，
所以，
所以． 

【解析】先证，结合得到四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理得，即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：在平行四边形中，，
，，，
点、分别是、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，证明如下：
过点作交的延长线于点，，
，
四边形是平行四边形，
由知：是等边三角形，，
，，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】利用平行四边形的性质，以及线段的中点，得到四边形是平行四边形，再根据，推出是等边三角形，进而得到，即可得证；
易证：四边形是平行四边形，根据三角形外角的性质和菱形的性质，推出，进而得到，即可得到四边形是矩形．
本题考查平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，以及菱形和矩形的判定方法，是解题的关键．