2022-2023学年山东省济南市莱芜区胜利中学等八校七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省济南市莱芜区胜利中学等八校七年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  “三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角”这一事件是(    )

A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 以上都不是

2.  如图，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.  已知方程组的解满足，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是的倍数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是的，的角平分线的交点，交于，交于，若，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D. 以上都不对

6.  如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  九章算术中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是钱，共同购买该物品的有人，则根据题意，列出的方程组是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，，，则，，之间的关系是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，已知中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当与全等时，点运动的时间是(    )

A.
B.
C.
D. 或

10.  如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若，面积为，则长度的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  在不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是______．

12.  将含角的一个直角三角板和一把直尺两边如图放置，若，则的度数为______ ．

13.  已知是方程组的解，则______．

14.  若等腰的一个外角等于，则该三角形的顶角等于______ ．

15.  如图，已知在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数为______

16.  如图，，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，均为等边三角形．若，则的边长为          ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解方程组：
；
．

四、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，点在直线上，点在直线上，若，，求证：．

19.  本小题分
一个口袋中放有个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑球个数的倍多个．从袋中任取一个球是白球的概率是．
求袋中红球的个数；
求从袋中任取一个球是黑球的概率．

20.  本小题分
如图，已知中，，、是高，与相交于点．
求证：；
若，求的度数．

21.  本小题分
如图，中，，，．
尺规作图：要求保留作图痕迹，不写作法在上确定一点，使到、的距离相等；
在的条件下，过点作，交于点，则的周长为______ ．

22.  本小题分
如图，，点、分别在射线、上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．
当图，试求．
当、在射线、上任意移动时不与点重合图，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出．
 

23.  本小题分
某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒，若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元；若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元．
每桶甲消毒液、乙消毒液的价格分别是多少元？
若该校计划购买甲、乙两种消毒液共桶，设购买甲消毒液桶，购买两种消毒液的总费用为，写出与之间的函数关系式．

24.  本小题分
如图，为外角，的平分线的交点，，，，垂足分别为，，．
求证：．
若四边形的面积为，且，求的长．

25.  本小题分
为迎接“五四青年节”某学校组织了一次野外长跑活动参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威如图，线段，分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程千米随时间分钟变化的函数图象根据图象，解答下列问题：
分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程与时间的函数表达式；
求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？

26.  本小题分
如图，点是等边内的一点，，，以为一边作等边，使和在直线的同侧，连接．
与全等吗？说明你的理由；
当时，试判断的形状，并说明理由；
当为多少度时，是等腰三角形？请直接写出答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角是必然事件，
故选：．
根据三角形内角和定理和必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答
本题考查的是三角形的内角和定理、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
又，
，
故选：．
由知，由知，结合得，据此可得答案．
本题主要考查平行线的性质和垂线的定义，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
得，
，
，
．
故选：．
对于方程组，利用得到，而，则，然后解关于的一次方程即可．
本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．也考查了整体思想的运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，掷一枚骰子，共种情况，
其中是的倍数的有、，种情况，
故其概率为；
故选：．
根据题意，分析可得掷一枚骰子，共种情况，其中是的倍数的有、，种情况，由概率公式可得答案．
本题考查概率的求法，其计算方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

5.【答案】 

【解析】解：平分，
，
又，
，
，
，
同理，
，
则的周长．
故选：．
由为的平分线，得到一对角相等，再由与平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到，再由等角对等边得到，同理，然后利用三边之和表示出三角形的周长，等量代换得到其周长等于的长，由的长即可求出三角形的周长．
此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，又，
，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设该物品的价格是钱，共同购买该物品的有人，
依题意，得：．
故选：．
设该物品的价格是钱，共同购买该物品的有人，由“每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，分别过、作的平行线和，

，
，
，，，
，
又，
，
，
即，
故选：．
分别过、作的平行线和，由平行线的性质可得到，可求得答案．
本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
，
设点、的运动时间为秒，则，
，
，
与全等，
当，时，
，

当，时，
且，
解得且舍，
综上：当与全等时，点运动的时间是秒，
故选：．
根据等边对等角知，由与全等，分，时或，时，两种情况分别讨论．
本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据对应边分情况讨论是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
连接、，如图，

当且仅当点在上时取等号，
的最小值为，
，点为的中点，
，
，
，
长度的最小值为．
故选：．
由基本作图得到得垂直平分，则，所以，连接、，如图，利用两点之间线段最短可判断的最小值为，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算出即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了等腰三角形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了概率的求法，概率所求情况数与总情况数之比．
黑色棋子除以相应概率算出棋子的总数，减去黑色棋子的个数即为白色棋子的个数．
【解答】
解：．
白色棋子有个．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，

，
又是的外角，
，
故答案为：．
根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
此题考查了平行线的性质和外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是方程组的解，
，
得，，
故答案为：．
首先把方程组的解代入方程组，即可得到一个关于，的方程组，即可求得代数式的值．
本题主要考查了方程组的解的定义，求得的值是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当的外角是底角的外角时，底角为：，
顶角度数是；
当的外角是顶角的外角时，顶角为：，
顶角为或．
故答案为：或．
根据等腰三角形的一个外角等于，进行讨论可能是底角的外角是，也有可能顶角的外角是，从而求出答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，能根据题意进行分类讨论求解是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

是的垂直平分线，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先利用垂直平分线的性质和平角的意义得出，再利用等腰三角形的内角和定理建立方程即可得出结论．
此题主要考查了三角形内角和定理，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
根据等边三角形的性质、度角直角三角形的性质、平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案。
此题主要考查了等边三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．
【解答】









解：是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，，
，，
，，
，，，
以此类推：的边长为．
故答案为．  

17.【答案】解：，
，得，
将代入，得，
方程组的解为；
，
，得，
将代入，得，
方程组的解为． 

【解析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
用加减消元法解二元一次方程组即可；
用加减消元法解二元一次方程组即可．
 

18.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据对顶角相等推知，再根据证得，从而证得两直线；然后由平行线的性质得到，再根据证得，即可根据平行线的判定定理，推知两直线，最后由平行线的性质，证得．
本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
 

19.【答案】解：个，
个，
个，
个．
故袋中红球的个数是个；
．
答：从袋中任取一个球是黑球的概率是． 

【解析】先根据概率公式求出白球的个数为，进一步求得红、黑两种球的个数和为，再根据红球个数是黑球个数的倍多个，可得黑球个数为个，进一步得到红球的个数；
根据概率公式可求从袋中任取一个球是黑球的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

20.【答案】证明：，
，
、是的两条高线，
，
≌，
，
；
，，
，
，
． 

【解析】首先根据等腰三角形的性质得到，然后利用高线的定义得到，从而得证；
首先求出的度数，进而求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图：点即为所求；

中，，，，
，
平分，
，
，
≌，
，，
，
的周长为：，
故答案为：．
作的平分线即可；
根据勾股定理求出，再根据三角形全等的性质进行边的转化求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
．
是的平分线是的平分线，
，．
，
；
不变化，．
，
，．
是的平分线是的平分线，
，．
，
． 

【解析】根据三角形的内角和是，可求，所以，又由平角定义，可求，所以，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求，度．
同理可证，度．
本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是的定理．题目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题．
 

23.【答案】解：设每桶甲消毒液的价格为元，每桶乙消毒液的价格为元，
由题意得：，
解得，
答：每桶甲消毒液的价格为元，每桶乙消毒液的价格为元．
由题意得：购买乙消毒液的数量为桶，
则，
，
，
所以与之间的函数关系式为． 

【解析】设每桶甲消毒液的价格为元，每桶乙消毒液的价格为元，根据两种购买分式建立方程组，解方程组即可得；
先求出购买乙消毒液的数量为桶，再根据“总费用每桶甲消毒液的价格甲消毒液的数量每桶乙消毒液的价格乙消毒液的数量”、并求出的取值范围即可得．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．
 

24.【答案】证明：为，的平分线的交点，，，，
，，
；
解：如图，连接，

四边形的面积为，
，
，
由知，
，
即，
，
． 

【解析】根据角平分线的性质得出，，即可证明结论；
连接，根据四边形的面积为，得出，即，根据，得出．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
 

25.【答案】解：设长跑的同学的行进路程与时间的函数表达式为，
将代入中，
，解得：，
长跑的同学的行进路程与时间的函数表达式为；
设骑自行车的同学的行进路程与时间的函数表达式为，
将、代入中，
，解得：，
骑自行车的同学的行进路程与时间的函数表达式为．
联立两函数表达式成方程组，
，解得：，
两函数图象交点的坐标为．
答：长跑的同学出发了分钟后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学． 

【解析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程与时间的函数表达式；
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组即可得出交点的坐标，此题得解．
本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及解二元一次方程组，解题的关键是：观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；联立两函数关系式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标．
 

26.【答案】解：≌，
理由如下：和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌；
是直角三角形，
理由如下：是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
≌，
，
，，
，
是直角三角形；
是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形． 

【解析】根据等边三角形性质得出，，，，求出，根据可证≌；
首先根据已知条件可以证明≌，然后利用全等三角形的性质可以求出的度数，由此即可判定的形状；
分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和全等三角形的性质等知识，根据等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．