2022-2023学年广东省广州市白云中学三校联谊七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市白云中学三校联谊七年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面各数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，点一定在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  如图，直线，相交于点，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  实数在数轴上的对应点可能是(    )
 

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

6.  下列命题为真命题的是(    )

A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 如果，那么
C. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行

7.  已知是关于，的方程组的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  将个全等的小长方形按如图所示的方式摆放拼成一个大长方形，且设小长方形的宽为，长为，依题意列二元一次方程组正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，，，垂足分别为和，和分别平分和下列结论：；；；其中结论正确的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  请写出一个解为的二元一次方程组，这个方程组可以是______ ．

12.  如图，要把池中的水引到处，可过点作于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：______．

13.  已知是的平方根，的算术平方根是，则 ______ ．

14.  已知点的坐标为，线段，轴，则点的坐标为______．

15.  如图，直线，如果，那么______．
 

16.  如图，一副直角三角板的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒度和每秒度的速度同时逆时针旋转，转动一周时两块三角板同时停止，设时间为秒，当、所在直线垂直时，的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
完成下面的证明：
如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，求证：．
 

证明：，
____________，
，
______ ______，
；
如图，和相交于点，，，求证：；
证明：，，
______，
______，
______

19.  本小题分
阅读下面文字，解答问题：
，即，
的整数部分是，小数部分是．
请回答：
的整数部分是______ ，小数部分是______ ；
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
已知：，其中是整数，且，求的相反数．

20.  本小题分
已知：如图的位置如图所示，每个方格都是边长为个单位长度的正方形，
的顶点都在格点上点，，的坐标分别为，，．
请在图中建立平面直角直角坐标系，平移使，，的对应点分别为，，且点的对应点坐标为，分别写出，两点的坐标并画出平移后的图形；
点是中平面直角坐标系内的一点，点随着一起平移，点的对应点求点的坐标并求平移过程中线段扫过的面积．

21.  本小题分
已知和是直角．
如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；
如图，当射线，射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数．

22.  本小题分
综合与实践：折纸中的数学
知识初探：
如图，长方形纸条中，，，，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点，若，则 ______ ；
类比再探：
如图，在图的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由；
拓展延伸：
如图，在图的基础上，过点作的平行线，请你猜想与的数量关系，并说明理由．
 

23.  本小题分
规定：若是以，为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．
已知，，，判断这三个点是否是方程的“理想点”，并说明理由；
已知，为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根；
已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为点，横坐标，纵坐标，
所以满足点在第二象限的条件．
故选：．
应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
本题考查了点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
故选：．
根据邻补角的定义得到，再利用垂线的定义得到，所以．
本题考查了垂线的定义和邻补角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
C、根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”分别进行分析．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
实数在数轴上的对应点可能是．
故选：．
直接利用，进而得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了实数与数轴，正确得出的取值范围是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、如果，那么或，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法是真命题，符合题意；
D、垂直于同一直线的两条直线互相平行，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：．
根据平方根的概念、平行线的判定和性质、平行公理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：将代入原方程组得：，
得：；
得：，
，
．
故选：．
将代入原方程组，利用，可得出的值，利用，可得出的值，进而可得出的值，再将，的值代入中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，代入方程组的解，求出及的值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
故选：．
根据图可得等量关系：个长个宽，个宽个长，根据等量关系可得方程组．
此题主要考查的是全等图形及由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
．
，
，分别平分，，
，，
，
，
，
不一定平行于，
不一定垂直于．
故正确，错误，
故选：．
利用角平分线的性质求，，再利用平行线的判定证明，最后利用平行线的性质求．
此题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，证得是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，，
，，
长方形的周长为，
，
、每经秒相遇一次，
，，，，，，，，
，
，
故选：．
先求出相遇一次需要的时间，再求出的坐标，找出规律，再计算求解．
本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，，
，，
这个方程组可以是．
故答案为：答案不唯一．
由，的值，可得出，的值，进而可得出是二元一次方程组的解．
本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
 

12.【答案】垂线段最短 

【解析】解：过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，根据垂线段最短．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．
 

13.【答案】或 

【解析】解：是的平方根，
，
解得，或，
的算术平方根是，
，
当，时，
；
当，时，
，
故答案为：或．
先根据平方根和算术平方根的定义求出，的值，再代入代数式中求值即可．
本题考查平方根，算术平方根，代数式求值，明确平方根、算术平方根的意义是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：点的坐标为，轴，
点的纵坐标为，
，
点在点的右边时，横坐标为，
此时，点，
点在点的左边时，横坐标为，
此时，点，
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等求出点的纵坐标，再分点在点的右边与左边两种情况求出点的横坐标即可．
本题查了点的坐标．解题的关键是熟练掌握四个象限的符号特点：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长至点，

，
．
，
．
，
．
故答案为：．
延长至点，由平行线的性质得出，故可得出的度数，再由即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当的延长线与垂直时，如图，

的延长线与垂直，
，
、分别绕点、点以每秒度和每秒度的速度同时逆时针旋转，
，，
，
，
，解得；
当的延长线与的延长线垂直时，如图，

的延长线与的延长线垂直，
，
、分别绕点、点以每秒度和每秒度的速度同时逆时针旋转，
，，
，
，
，解得，
综上，的值是或．
分情况：当的延长线与垂直时，，，再根据平行线的性质列方程解答即可；
当的延长线与的延长线垂直时，，，再根据平行线的性质列方程解答即可．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；
，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：． 

【解析】先去绝对值符号，再进行二次根式的加减法运算即可；
利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】证明：，
两直线平行，内错角相等，
，
两直线平行，同位角相等，
，
故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等；
证明：，，
又对顶角相等，
，
内错角相等，两直线平行，
故答案为：对顶角相等，，内错角相等，两直线平行． 

【解析】根据平行线的性质得出，，推出即可；
根据对顶角相等和已知求出，根据平行线的判定推出即可．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
 

19.【答案】  

【解析】解：，即．
的整数部分为，小数部分为．
，即．
 的小数部分为．
同理，即 的整数部分为．
原式．
，
，
即．
 的整数部分是，小数部分是．
是整数，且．
，．
．
的相反数是．
能估计即可求解
利用估算求、的值再代入计算即可
利用估算方法得到的整数部分为，小数部分为，由此得到，的值再代入计算即可
此题查了无理数的估算，正确掌握无理数估算的方法是解题的关键
 

20.【答案】解：因为点平移后落在，
所以点的坐标平移规律是：横坐标加，纵坐标加，
因为，的坐标分别为，
所以点，的坐标分别是，．
平面直角坐标系如图所示：


因为点平移后落在，
所以，，
解得，，
所以点的坐标为，，
平移过程中线段扫过的图形是一个平行四边形，
它的面积； 

【解析】根据，，的坐标确定平面直角坐标系即可，判断出，的坐标，画出图形即可；
利用平移变换的性质求出，的值，画出图形可得结论．
本题考查作图平移变换，平行四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求平行四边形面积．
 

21.【答案】解：如图，，且，
，
，
，
，
，
和互补．
如图，，
，
，
，
和是直角，且周角为，
，
，
． 

【解析】令，根据直角的性质得到，又由，得出，即可说明互补关系．
根据角的倍分关系得到，再利用周角，得到，求出，即可解答．
本题考查了角的和差倍分关系的运用，直角和周角的运用是解题关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：长方形纸条沿直线折上，点落在处，点落在处，交于点，
，，
，
，
，
；
故答案为：；
，理由如下：
由折叠的性质得：，，
，
，
，
；
，理由如下：
如图，过点作，

，，
，
，，
由折叠的性质得：，
，
．
由折叠的性质可得，再由平角的定义和平行线的性质即可得出结论；
由折叠的性质得，，再证，即可得出；
过点作，则，再由平行线的性质得，，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、折叠的性质以及平角的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”，理由如下：
，时，，
，时，，
，时，，
点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”；
把代入方程，
得，
又，
解得，
，为非负整数，
，，
，
；
根据题意，得，
解得，
是整数，
或，
是整数，
或或或，
或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为或或或． 

【解析】根据“理想点”定义进行判断即可；
根据题意求出和的值，进一步求解即可；
解二元一次方程组，得出，再根据“理想点”定义求出和的值即可．
本题考查了二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键．