2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区立达中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区立达中学七年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  一个正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列每组数表示根小木棒的长度单位：，其中能用根小木棒搭成一个三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  若，则下列结论不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，若，则下列结论正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  已知，，，则、、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在五边形中，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点到点的方向，把铅笔依次绕点、点、点按逆时针方向旋转、、的度数，观察笔尖方向发生的变化，你有什么发现？结合你学习过的知识，请用一句话来说明(    )

A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 三角形三个内角的和等于
C. 两点之间线段最短 D. 对顶角相等

10.  如图，在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：
；；；．
其中正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.  花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，那么毫克可用科学记数法表示为______．

12.  若的计算结果中，项的系数为，则的值为______ ．

13.  在中，，，则 ______ ．

14.  如图，在四边形中，与互补，和的平分线交于点，设，则的度数用的代数式表示为______ ．

15.  若是关于的完全平方式，则常数的值为______ ．

16.  已知，则 ______ ．

17.  图中所示是学校操场边的路灯，图为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行即，已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为______ ．
 

18.  如果关于的不等式组有五个整数解，那么的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
；
．

20.  本小题分
用乘法公式计算：
；
．

21.  本小题分
解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．．

22.  本小题分
如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点根据下列条件，利用网格点和三角板画图：
补全；
画出边上的中线；
画出边上的高线；
图中能使与面积相等的格点的个数有______ 个点异于点．

23.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

24.  本小题分
如图，是的角平分线，，垂足为，与交于点．

如图，若，，求的度数；
如图，点在线段上，满足，求证：与互余．

25.  本小题分
某一工厂需购买、两种材料，用于生产甲、乙两种商品，每件商品分别使用的材料和数量如表：

其中种材料每千克元，种材料每千克元若工厂用于购买、两种材料的资金不超过元，且需生产甲、乙两种商品共件，求至少生产甲种商品多少件？

26.  本小题分
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式数学活动课上，老师展示了如图的长方形纸片，它是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积：
方法：______ ；
方法：______ ．
观察图，请你写出、、之间的等量关系是______ ．
结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
 

27.  本小题分
阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数通过观察发现：
也就是说，只需用中的一次项系数乘以中的常数项，再用中的常数项乘以中的一次项系数，两个积相加，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数可以先用的一次项系数，的常数项，的常数项，相乘得到；再用的一次项系数，的常数项，的常数项，相乘得到；然后用的一次项系数，的常数项，的常数项，相乘得到，最后将，，相加，得到的一次项系数为．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
计算所得多项式的一次项系数为______ ．
计算所得多项式的一次项系数为______ ．
若计算所得多项式的一次项系数为，则 ______ ．
计算所得多项式的一次项系数为______ ，二次项系数为______ ．
计算所得多项式的一次项系数为______ ，二次项系数为______ ．

28.  本小题分
如图，，点是直线上一点，是直线与直线之间一点，连接，．
求证：；
如图，过点作平分，过点作交的角平分线于点，过点作交于点，探索和的数量关系，并说明理由；
在的条件下，若，是直线上一点，请直接写出和的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据同底数幂的乘法，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据同底数幂的除法，，那么B正确，故B符合题意．
C.根据幂的乘方，，那么C错误，故C不符合题意．
D.根据负整数指数幂以及幂的乘方，，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、负整数指数幂解决此题．
本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、负整数指数幂是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和是，
这个正多边形的边数：，
故选：．
由正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和是，即可计算．
本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的外角和是．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不能构成三角形；
B、，能构成三角形；
C、，不能构成三角形；
D、，不能构成三角形．
故选：．
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
正确，不符合题意．
，，
正确，不符合题意．
，，
正确，不符合题意．
，当时，，故D选项不正确，符合题意．
故选：．
通过不等式的基本性质逐项判断求解．
本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
先根据题意得出，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】
解：，
，
．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故选：．
根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．是正整数分别计算得出即可．
此题主要考查了幂的乘方计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
一元一次不等式为，
解得，
故选：．
把代入方程计算即可求出的值，即可得到关于的一元一次不等式，解不等式即可求得解集．
此题考查了一元一次方程的解以及解一元一次不等式，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点，
，
，
，，
．
故选：．
首先过点作，交于点，由，可证得，然后由两直线平行，同旁内角互补可知，，继而证得结论．
此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：这种变化说明三角形的内角和是，
故选：．
根据三角形的内角和定理解答即可．
本题考查三角形的内角和定理，关键是根据三角形的内角和定理是．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
根据，和，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
证明，根据的结论，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，正确；
平分，
，
，
，
，
，正确；
，
，
，
，
由得，，
，
；正确；
，，
，
，，
，
，正确，
故选D．  

11.【答案】毫克 

【解析】解：毫克毫克；
故答案为：毫克．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
由结果中项的系数为，得到，
解得：．
故答案为：．
原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中项的系数为，确定出的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，，，，
，
即，
故答案为：．
根据三角形内角和定理以及图形中的各角之间的关系进行计算即可．
本题考查三角形内角和，掌握三角形内角和是是正确解答的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：与的平分线交于点，
，，
与互补，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据角平分线的定义得出，，根据，求出，从而得出，根据四边形的内角和定理求出答案即可．
本题考查了多边形的内角与外角和角平分线的定义，能熟记四边形的内角和是解此题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，是关于的完全平方式，
，
解得：或．
故答案为：或．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
根据和完全平方公式，将式子变形，即可得到所求式子的值．
本题考查分式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作．
，
．
．
，
．
，
．


．
故答案为：．
过点作先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．
本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：关于的不等式组有五个整数解，
不等式组的整数解为、、、、，
则，
解得，
故答案为：．
由关于的不等式组有五个整数解，知不等式组的整数解为、、、、，据此可得，解之可得答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式
；
原式． 

【解析】先算乘方和零指数幂，再计算乘法，最后算加减即可；
先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘单项式即可；
根据单项式乘多项式法则进行计算即可．
本题考查了乘方，零指数幂以及整式的混合运算，关键是熟练掌握运算法则．
 

20.【答案】解：原式；
原式

． 

【解析】原式利用完全平方公式化简即可得到结果；
原式利用平方差公式计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
 

21.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
如图，中线即为所求．
如图，高线即为所求．
过点作的平行线，平行线所经过的格点即为满足题意的格点，
格点的个数有个．
故答案为：．
根据平移的性质作图即可．
取的中点，连接即可．
过点作射线的垂线即可．
过点作的平行线，则平行线所经过的格点即为满足题意的格点．
本题考查作图平移变换、三角形的中线和高、平行线的性质，熟练掌握平移的性质、三角形的中线和高的定义、平行线的性质是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：原式
，
当，时，原式． 

【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握单项式乘多项式的运算法则、平方差公式是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
，
，
即：与互余． 

【解析】由三角形的内角和可得，再由角平分线的定义可得，由垂直可得，从而可求，即可求的度数；
由同位角相等，两直线平行得，则有，由垂直可得，从而可求得，即可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，余角，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
 

25.【答案】解：设生产甲种商品件，则生产乙种商品件，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少生产甲种商品件． 

【解析】设生产甲种商品件，则生产乙种商品件，根据工厂用于购买、两种材料的资金不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

26.【答案】     

【解析】解：方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即；
故答案为：，；
由得，，
故答案为：；
，，




；
设，，
，
，
，
，
，
，
．
一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积即可；
由两种方法所表示的面积相等可得答案；
由的结论代入计算即可；
设，，得，，利用完全平方公式变形得，代值计算即可得答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
 

27.【答案】             

【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
由题意得，，
也就是，，
所以，；
故答案为：；



一次项系数为：；
二次项系数为：．
故答案为：，；
．
．
一次项系数为：，
二次项系数为：
．
故答案为：；．
根据题目中提供的计算方法进行计算即可；
本题考查多项式乘以多项式，因式分解的意义，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键．
 

28.【答案】证明：过作，如图：

，
，
，，
，
；
解：．
理由：，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，

即，
由得，，
；

解：，，
，
，
，
即，
，
，
，
，即，
，，
，，
在右侧时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
在左侧，如图，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
和的数量关系是或． 

【解析】过作，根据两直线平行，内错角相等，即可得出，，进而得到结论；
根据两直线平行，同旁内角互补，可得出，由角平分线的定义得，利用三角形的内角和定理和的结论即可得出答案；
根据四边形的内角和以及垂直的定义得，利用，的结论和，三角形外角的性质即可求解．
本题主要考查了平行线的性质，掌握三角形外角性质的运用，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．