湖南省五市十校教研教改共同体2021-2022学年高一下学期期末数学试题

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五市十校教研教改共同体·2022年上学期高一期末考试

数学

命题：天壹名校联盟命题组  审题：南县一中  郭劲松

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率，先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0.1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：

572  029  714  985  034  437  863  964  141  469

037  623  261  804  601  366  959  742  671  428

据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（    ）

A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95

3. 设，，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）

A. ， B. ，

C ， D. ，

5. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 函数的零点个数为（    ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 设，，，是平面内四个不同点，且，则向量与（    ）

A. 同向平行 B. 反向平行

C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 若，则

10. 下列命题中正确的是（    ）

A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则

C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则

11. 已知直线是函数的一条对称轴，则（    ）

A. 点是函数的一个对称中心

B. 函数在上单调递减

C. 函数的图像可由的图像向左平移个单位长度得到

D. 函数与的图像关于直线对称

12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ）

A. 当时，则存在点，使得

B. 当时，则存在点，使得，，三点共线

C. 当时，则存在点，使得，，，四点共面

D. 当时，则存在点，使得

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.

14. 若，，，则以，为邻边的平行四边形的面积是______.

15. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.

16. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 已知函数

（1）讨论函数的周期性和奇偶性；

（2）若，，求的值.

18. 如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.

19. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.

（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；

（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本平均数；

（3）从一周课外阅读时间为样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.

（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）

20. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，分别是，的中点.

（1）证明：；

（2）设，，和平面所成角的大小为，求二面角的大小.

21. 目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了，两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都是，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业.

（1）求有员工被调剂的概率；

（2）求至少有一家店停业的概率.

22. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且

（1）若，判断的形状并说明理由；

（2）若是锐角三角形，求的取值范围