2022-2023学年安徽省宿州市泗县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省宿州市泗县九年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日上午，党的二十大在北京开幕，习近平总书记向大会作报告这位岁的领导人，全程站立小时，没有鲜花，没有果盘，中途只喝过一次水，用字作出了一份承载万千期盼，凝聚全党智慧的报告作为亿人民的领袖都如此敬业，我们没有理由懈怠努力吧，孩子们数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，是矩形的边上一点，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  小明准备在年春节期间去看电影，他想在满江红，龙马精神，流浪地球，想见你，回天有我这五部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中满江红和流浪地球的概率是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做个就可以超额完成个，若每小时做个就可以提前完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有个，则根据题意得到的正确方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知直线且为常数，当，直线与直线有公共点时，的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D.

10.  如图，在边长为的正方形中，点是对角线上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接；若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  计算：__________．

12.  因式分解：______．

13.  如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至，反比例函数的图象经过点若线段扫过的面积为，则的值为       

14.  如图，矩形纸片中，，，点，分别在边，上，将矩形纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，．
若点在矩形内部，的延长线交边于点，已知，则 ______ ；
若点恰好与点重合，则折痕的长是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解不等式：．

16.  本小题分
如图，在中，点的坐标是，点的坐标是，将绕点逆时针旋转得到．
画出．
求点的运动路径长．

17.  本小题分
五一节前，某商店拟用元的总价购进、两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进台已知购进台种品牌电风扇所需费用与购进台种品牌电风扇所需费用相同，购进台种品牌电风扇与台种品牌电风扇共需费用元．
求、两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
销售时，该商店将种品牌电风扇定价为元台，种品牌电风扇定价为元台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？

18.  本小题分
阅读材料，并完成下列问题：
不难求得方程的解是，；
的解是，；
的解是，．
观察上述方程及其解，可猜想关于的方程的解是______ ；
解关于的方程．

19.  本小题分
如图，我国某海域里，渔船正在小岛的正西方向的处停留一艘渔政船在处巡逻，这时测得在处的渔船在它的北偏东方向上，渔政船的航行速度为每小时海里，它沿东北方向航行小时后到达处，测得渔船在它的西北方向．
求当渔政船到达处时，渔政船与渔船的距离；
若该渔政船在处测得小岛在它的北偏东方向上，这时渔船以每小时海里速度从处向小岛航行，同时渔政船以原速度也向小岛航行，则哪艘船先到达小岛参考数据：，，，，，

20.  本小题分
如图，在中，，，点为边上一点，且，以为直径作交的中点于，为的切线，交于点．
求证：；
求的长．

21.  本小题分
某校组织八、九年级各名学生举行“喜迎二十大，奋进新征程”征文竞赛，现分别在八、九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩单位：分进行统计、整理如下：
收集数据：
八年级：，，，，，，，，，．
九年级：，，，，，，，，，．
整理数据：
八、九年级竞赛成绩各分数段整理如下：

分析数据：
八、九年级成绩的平均数、中位数、众数和方差整理如下：

问题解决：
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出 ______ ， ______ ， ______ ．
根据上述数据分析，该校八、九年级中哪个年级的竞赛成绩更优异？请说明理由写出一条理由即可．
规定竞赛成绩不低于分记为“优秀”，请分别估计这两个年级竞赛成绩达到“优秀”的学生人数．

22.  本小题分
已知在矩形中，，，四边形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，．
如图，当四边形为正方形时，求的面积；
如图，当四边形为菱形，且时，求的面积用含的代数式表述；
在的条件下，当的面积等于时，求的长．
 

23.  本小题分
如图，已知抛物线：与直线交于、两点在的左侧．

求抛物线的解析式；
在直线的上方的抛物线上有一点，若，求点的坐标；
如图，将抛物线平移后得到新的抛物线，的顶点为原点，为抛物线第一象限内任意一点，直线与抛物线交于、两点，直线与轴交于点，分别与直线、交于、两点若，求点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
先化简，再根据同底数幂的除法法则计算即可求解．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图是：

故选：．
根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据整式的加减运算、积的乘方运算、整式的除法运算以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、积的乘方运算、整式的除法运算以及完全平方公式．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
故选：．
直接利用矩形的性质结合锐角三角函数关系得出的度数即可得出答案．
此题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将满江红，龙马精神，流浪地球，想见你，回天有我这五部电影分别记作、、、、，
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中小明抽中满江红和流浪地球的有种结果，
所以小明抽中满江红和流浪地球的概率为，
故选：．
将满江红，龙马精神，流浪地球，想见你，回天有我这五部电影分别记作、、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：设这批零件一共有个，每小时做个就可以超额完成个的时间为小时，每小时做个的时间为，由题意得，
．
故选：．
设这批零件一共有个，表示出每小时做个就可以超额完成个的时间比每小时做个用的时间多小时列方程即可．
此题考查了分式方程的应用，关键在寻找相等关系，列出方程，在解方程时要注意检验．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意，当时，，当时，，
，
解得：，
，
且，
故选：．
根据当时，，当时，，列出不等式即可求解．
本题考查了两条直线相交或平行、一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于点，交于点，
在边长为的正方形中，点是对角线上一点，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
正方形边长为，
，，
而，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作，交于点，交于点，利用正方形的性质可证明≌，得，从而得出的长，接着可以求出、、的长度，再利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先算乘方，再算加法．
考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
 

12.【答案】 

【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取，再利用平方差公式分解即可．
解：原式
，
故答案为：．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点、分别作轴，轴于点、，延长交轴，则四边形、四边形和四边形都是矩形，

将线段沿轴向右平移至，
，，
，
轴，轴，
，
在与中，
，
≌，
，
线段扫过的面积为，
四边形的面积为，
，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
过点、分别作轴，轴于点、，延长交轴，则四边形、四边形和四边形都是矩形，先证明≌，得，进而求得，根据反比例函数的意义即可求解．
本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到平移的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠，，
，
故答案为：．
如图所示，连接，，，

依题意，点恰好与点重合，则，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
≌，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
设，则中，，
，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
根据折叠的性质得出，根据平行线的性质得出，即可求解．
根据题意画出图形，证明四边形是菱形，根据勾股定理求得边长，进而等面积法即可求解．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
，
，
． 

【解析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，再系数化即可求得不等式的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图所示即为所求．

，

答：点的运动路径长为． 

【解析】将线段，分别绕点逆时针旋转后，再将点，连接即可；
先求出的长，在根据弧长计算公式计算即可．
本题主要考查旋转图形的绘制以及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：设、两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元，
，
解得，
答：、两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元；
设购进种品牌的电风扇台，购进种品牌的电风扇台，利润为元，
，
某商店拟用元的总价购进、两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进台，
且，，
，
或或，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
由上可得，当，时，取得最大值，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进种品牌的电风扇台，购进种品牌的电风台． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以计算出、两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元；
根据题意和中的结果，可以写出利润与购进和两种品牌的电风扇数量的函数关系式，再根据某商店拟用元的总价购进、两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进台，可以写出相应的方案，再分别计算出各种方案下的利润，即可得到获得最大利润的方案．
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
 

18.【答案】， 

【解析】解：猜想，．
验证：方程两边都乘得，
，
，
，
，，
猜想正确．
，
，
，
，，
，．
根据题目中的材料可以直接得到关于的方程的解；
对所求的方程进行变形，变为前面已经猜想证明的方程的形式，从而可以解答本题．
本题考查分式方程的解，解题的关键是明确题意，利用猜想证明的方法解答本题．
 

19.【答案】解：由题意知，，，，，海里，
，，
在中，

海里，
答：渔政船与渔船的距离为海里．
过点作的垂线，垂足为点，

，
由题意知，
在中，，


海里，


海里，
在中，，


，


海里，
渔船的到达小岛的时间：小时或者，
渔政船到达小岛的时间：小时或者，
，
，
即渔政船先到达小岛． 

【解析】，，在中，运用正切函数即可得；
过点作的垂线，垂足为点，可得，由题意知，在中，，运用三角函数得，，在中，，运用三角函数得，，即可得渔船的到达小岛的时间：小时，渔政船到达小岛的时间：，可得，即可得．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，掌握锐角三角函数，添加辅助线构造直角三角形．
 

20.【答案】证明：连接，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
为的切线，点在上，
，
；
解：连接，
是的直径，
，
点是的中点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，由三角形中位线定理得到，由切线的性质定理得到，即可证明问题；
连接，由线段垂直平分的性质定理得到，从而求出的长，得到的长，由勾股定理求出的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质定理，综合应用以上知识点是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：八年级竞赛成绩分数段有人，
，
根据中位数的定义可知，八年级成绩的中位数为，
，
根据众数的定义可知，九年级成绩的众数为，
，
故答案为：，，；
从平均数来看，八九年级一样，从方差来看，九年级更稳定些，
九年级成绩更优异；
八年级竞赛成绩不低于分有人，优秀率，
八年级竞赛成绩达到“优秀”的学生人数：人，
九年级竞赛成绩不低于分有人，优秀率，
九年级竞赛成绩达到“优秀”的学生人数：人，
根据名学生的竞赛成绩可以直接得到、的值，再利用中位数的定义，即可求出的值；
两组数据平均数相等，比较方差大小即可得到答案；
分别求出八、九年级优秀学生的比例，再乘以总人数即可得到答案．
本题考查方差，中位数，众数，掌握其概念和意义是解题关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作，垂足为．
由矩形可知：，
由正方形可知：
，，
，
又，
，
≌．
，
同理可证：≌，
≌，
，
又 ，
．

如图，过点作，垂足为，连接，
由矩形得：，
，
由菱形得：，，
，
，
又，，
≌，
，
又 ，，
，
即：，

由知，，
的面积等于，
，
，，
，，
在中，，
，
在中，． 

【解析】只要证明≌推出，由≌，推出≌，求出、即可解决问题．
如图，过点作，垂足为，连接，根据，计算即可．
借助的结论求出的知，进而求出菱形的边长为，最后再用勾股定理求出．
此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：将代入，
，
解得，
，
将代入，
，
，
将，代入，
，
解得，
；
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
解得或，
点在直线上方，
或，
或；
，
抛物线的顶点为，
的顶点为原点，
抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，
平移后的函数解析式为，
设，
联立方程组，
解得或，
，，
直线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
同理可求直线的解析式为，
，，
，，
，
，
解得，
，
点横坐标为． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
过点作轴交于点，设，则，可得，求出或；
先求平移后的函数解析式为，设，联立方程组，分别求出，，再由待定系数法分别求出直线的解析式、直线的解析式，可求，，从而建立方程，求出即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，抛物线平移的性质是解题的关键．