2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列值中，能满足在实数范围内有意义的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列命题中是假命题的是(    )

A. 中，若，则是直角三角形
B. 中，若，则是直角三角形
C. 中，若：：：：，则是直角三角形
D. 中，若：：：：，则是直角三角形

5.  九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，平行四边形的对角线、相交于点，已知，，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  四边形中，已知，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  下列命题的逆命题是真命题的是(    )

A. 如果两个角是直角，那么它们相等
B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C. 如果一个四边形是菱形，那么它的四条边都相等
D. 如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等

9.  如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长(    )
 

A. 只与、的长有关 B. 只与、的长有关
C. 只与、的长有关 D. 与四边形各边的长都有关．

10.  如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是______．

12.  平行四边形的一个角的平分线分对边为和两部分，则平行四边形的周长为______ ．

13.  使成立的条件是______ ．

14.  由于四边形具有不稳定性，如图，将正方形向下挤压变形后得到菱形若，则菱形与原正方形的面积之比为______．

15.  如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则正方形的边长是          ．
 

16.  如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，若，，则四边形的面积是          ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：
；
．

四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，在四边形中，：：：：：：，且．
求的度数；
若，求的值．

19.  本小题分
已知垂直平分，，．
证明四边形是平行四边形；
若，，求的长．

20.  本小题分
如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形是否为菱形？请说明理由．

21.  本小题分
小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
．
．
，即．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
计算：______；
计算：；
若，求的值．

22.  本小题分
如图，在四边形中，和相交于点，，．
求证：四边形是平行四边形；
如图，，，分别是，，的中点，连接，，，若，，，求的周长．
 

23.  本小题分
如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、已知，，，设．

用含的代数式表示的长为______ ；
求的最小值______ ；
根据中的规律和结论，请模仿图在网格中图构图并求代数式的最小值．

24.  本小题分
长方形在平面直角坐标系中的位置如图：、满足．
求，的值；
点在边上运动，将长方形沿直线折叠．
：如图，折叠后点落在边上的点处，求点的坐标；
：如图，折叠后点落在轴下方的点处，与交于点，与交于点，且，求的长．
 

25.  本小题分
在正方形中，点是边上任意一点连接，过点作于交于．
如图，过点作于，求证：≌；
如图，点为的中点，连接，求证：；
如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：最简二次根式的条件：
被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【解答】
解：．，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.是最简二次根式，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据二次根式的乘除运算法则及同类二次根式的概念逐一判断即可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【解答】
解：．，此选项计算正确；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C.与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
D.，此选项错误；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
解得：，
观察选项，可能的值为，
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求出的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，所以，所以是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、若，所以，所以是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、若：：：：，最大角为，故本选项符合题意．
D、若：：：：，则是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选C．
有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形．
本题考查直角三角形的概念，和勾股定理的逆定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，
在中，，即．
故选：．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
是直角三角形，，
的面积；
故选：．
由平行四边形的性质得出，，，则，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，由三角形面积公式即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积；熟练掌握平行四边形的性质，证出为直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】
解：根据平行四边形的判定，、、均能判定它是平行四边形，则不能判定是平行四边形．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平方的概念、菱形、矩形的判定定理判断．
【解答】
解：、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，逆命题是假命题；
B、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，逆命题是假命题；
C、如果一个四边形是菱形，那么它的四条边都相等的逆命题是如果一个四边形四条边都相等，那么这个四边形是菱形，逆命题是真命题；
D、如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等的逆命题是如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形，逆命题是假命题，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】
解：点、、、分别是线段、、、的中点，
，，，，
四边形的周长．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图将绕点顺时针旋转得到由旋转不变性可知：，，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题
【解答】
解：如图将绕点顺时针旋转得到．

由旋转不变性可知：，，
是等腰直角三角形，
，
当的值最大时，的值最大，
，
，
的最大值为，
的最大值为，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴之间的对应关系，考查勾股定理．
根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示的点和之间的线段的长，进而可推出表示的值．
【解答】
解：图中直角三角形的两直角边为，，
斜边长为，
那么和之间的距离为，
那么的值是：．
故答案为．  

12.【答案】或 

【解析】解：如图，▱中，，
，
是的平分线，
，
，
，
时，，
则，
，
平行四边形的周长，
时，，
则，
，
平行四边形的周长，
综上所述，平行四边形的周长为或．
故答案为：或．
作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质可得，然后分，两种情况解答即可．
本题主要考查了平行四边形的对边平行的性质，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，且．
．
故答案为：．
根据二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件解决此题．
本题主要考查二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可知菱形的高等于，
菱形的面积为，正方形的面积为．
菱形的面积与正方形的面积之比是．
故答案为：．
根据，得所对的直角边等于斜边的，可知菱形的高等于，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．
本题主要考查了正方形与菱形的面积，熟知角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为，可得结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【解答】
解：设中间两个正方形的边长分别为、，正方形的边长为，则由勾股定理得：
，，；
即最大正方形的面积为：．
则正方形的边长是．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，

为直角三角形，四边形，为正方形，过点作的垂线，，
，，，，，，，，
，，
，，
在和中，

，
，，
在和中，

，
，，
，
在和中，

，
，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，，
，
四边形为正方形，
，
四边形为矩形，
四边形的面积为：，
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可证得≌，≌，可得，，可证得≌，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，，从而可得，可得与，即可求解．
本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用全等三角形的性质进行求解．
 

17.【答案】解：原式
；
原式


． 

【解析】先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可；
先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：连接，
设、、、分别为、、、，
，，，
，，
，，
，
，
；
，：：：：：：，
，，，
由得，
． 

【解析】连接，设、、、分别为、、、，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可；
根据的结论，利用三角形面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

19.【答案】证明：垂直平分，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
解：四边形是平行四边形，，
▱是菱形，
，
，
设，则，
，
即
解得：，
，
． 

【解析】先证得≌求得，从而得到，所以，因为，，所以，即可证得．
先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握相关知识是解题的关键．
 

20.【答案】解：四边形是菱形，
理由如下：如图，作于点，于点，

，，
四边形是平行四边形，
两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
，
，
，
▱是菱形． 

【解析】作于点，于点，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得，再根据等面积法证明，进而证明四边形的形状一定是菱形．
本题考查了菱形的判定与性质，利用等面积法解决本题是关键．
 

21.【答案】解：；
原式

；
，
，，
则有，，



．
答：的值为． 

【解析】解：，
故答案为：；
见答案
见答案．

根据小明的解答过程即可进行计算；
结合进行分母有理化，再合并即可得结果；
根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
本题考查了分母有理化的应用，能求出的值和正确变形是解此题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：连接，

四边形是平行四边形，
，，，，，
，
，
，
点是的中点，
，，
，
在中，，
点是的中点，，
，
点，点分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
的周长，
的周长为． 

【解析】根据已知可得，然后再利用证明≌，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；
连接，利用平行四边形的性质可得，，，，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出的长，再根据三角形的中位线定理可得，，从而可得四边形是平行四边形，，进而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：，，
和是直角三角形，
，，，设，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：；
过点作，垂足为点，连接，如图所示：

，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
要使的值最小，则需满足点、、三点共线即可，即最小值为的长，
的最小值；
取为线段上一动点，分别过点、作，，连接、已知，，，如图所示：

设，则根据勾股定理可得：，
，
同理可知的最小值即为点与点之间的距离，
的最小值为．
由勾股定理即可求解；
过点作，垂足为点，连接，则有，，要使的值最小，则需满足点、、三点共线即可，即最小值为的长，然后问题可求解；
取为线段上一动点，分别过点、作，，连接、已知，，，然后同理可进行求解．
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
；
，，
，，
四边形是长方形，
，
设，则，
由折叠得：，，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
；
设，则，由折叠得：，，
，，，
≌，
，，
，
即，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
． 

【解析】由，即可得出、的值；
由，，得，，设，则，再由折叠得，，再根据勾股定理求得，则，在中，由勾股定理即可求出的长，从而求得点的坐标；
设，则，由折叠得：，，利用证出≌，推出，，，在中，由勾股定理即可求出的长．
本题考查了勾股定理，折叠的性质，四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理等知识，由勾股定理列出方程求解是解题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
证明：过点作于，交的延长线于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
；
解：如图，取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，
设，
由得：≌，
，
，点为的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点在线段上运动，是等腰直角三角形，
，
点的运动轨迹的长为． 

【解析】由正方形的性质得，，再证，然后由证≌即可；
过点作于，交的延长线于，先证≌，得，再证≌，得，，则四边形是正方形，得，则，进而得出结论；
取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，设，由得≌，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由等腰三角形的性质得，，则，证出，最后证点在线段上运动，由等腰直角三角形的性质得，即可求解．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明≌和≌是解题的关键，属于中考常考题型．