2022-2023学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4.  正方形具有而矩形不一定具有的性质是(    )

A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分

5.  如图，是面积为的平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，则(    )

A.  B.
C.  D. 的大小与点位置有关

6.  已知是正整数，则实数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，有两块全等的含角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  若的整数部分为，小数部分为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若为非零实数，化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，在▱中，平分，交边于，，，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，某同学剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

13.  如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高长度为(    )

A.
B.
C.
D.

14.  某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点，顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为(    )
 

A.  B.  C.  D.

15.  如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块可重复选取按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

16.  如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，，，连接下列结论：；平分；；垂直平分其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

17.  若，则的取值范围是______．

18.  观察下列各式：
；
；
．
请你根据上面三个等式提供的信息，可以猜想： ______ ；
利用上述规律计算： ______ 直接写出答案

19.  如图，点在线段上，是等边三角形，四边形是正方形．
______；
点是线段上的一个动点，连接，若，，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

20.  计算
；
 

四、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知，，，，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．

22.  本小题分
如图，中，，是边上的中线，分别过点，作，的平行线交于点，且交于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，求四边形的面积．

23.  本小题分
如图，矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．
试证明是等腰三角形；
求的长．

24.  本小题分
如图是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式______ ；在推得这个公式的过程中，主要运用了______
A.分类讨论思想整体思想数形结合思想转化思想
如图，≌，，且，，在同一直线上．
求证：；
伽菲尔德年任美国第届总统利用中的公式和图证明了勾股定理发表在年月日的新英格兰教育日志上，请你尝试该证明过程．

25.  本小题分
【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：若设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】．
若，当、、、均为整数时，则 ______ ， ______ 均用含、的式子表示
若，且、、均为正整数，分别求出、、的值．
【拓展延伸】
化简 ______ 直接写出结果．

26.  本小题分
已知正方形，点，分别在射线，射线上，，与交于点．
如图，当点，分别在线段，上时，则线段与的数量关系是______，位置关系是______．
如图，当点在线段延长线上时，将线段沿进行平移至，连接．
依题意将图补全；
请你通过实验和观察，试猜想在点运动的过程中线段，，的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
选项的被开方数含分母，不符合题意；
选项是最简二次根式，符合题意；
选项的被开方数中有能开的尽方的因数，不符合题意；
故选：．
最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、和不是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：平行四边形的判定条件：
、两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义判定法；即选项A；
、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；即选项D；
、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；即选项B
故选：．
注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键

4.【答案】 

【解析】解：正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
正方形和矩形具有平行四边形所有的性质，包括对角线互相平分，
正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，
正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直．
故选：．
根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论．
本题主要考查了矩形、正方形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
，
故选：．
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到和、之间的关系，本题得以解决．
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：当等于最小的正整数时，取最大值，则故选B．
如果实数取最大值，那么有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是，则等于，从而得出结果．
本题主要考查了二次根式的化简与求值，此题的关键是分析当等于最小的正整数时，取最大值．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：
故选C．
分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形．
本题结合图形的拼接考查了平行四边形的判定，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
故选：．
先估算出的范围，求出、的值，再代入求出即可．
本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：为非零实数，有意义，
，
，
，，
．
故选：．
直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，的符号是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【解答】
解：如图，
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
；
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
所以的取值范围是．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：过作于，于，
则，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
，
，
故选：．
过作于，于，则，先证四边形是平行四边形，再证，则平行四边形是菱形，得，然后由锐角三角函数定义求出，即可解决问题．
此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，面积是；
，的面积相等，且都是．
的面积是：．
则的面积是：．
在直角中根据勾股定理得到：．
设边上的高线长是则，
解得：．
故选：．
求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割补法”求面积是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意，，，
在中，，
，，
在中，，
故选：．
勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
，
因为当选取，，；，，；，，；，，；四种情况时，都不能构成直角三角形，
要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是，，．
故选：．
运用勾股定理将符合条件的三种情形列举出来，分别计算直角三角形的面积，比较大小即可．
本题主要考查了勾股定理，实数的大小比较，以及三角形的面积，运用分类思想是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，
故不符合题意；
，，
，
平分，
故符合题意；
中，，
故不符合题意；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
垂直平分，
故符合题意，
所以正确的有：．
故选：．
证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到；依据，，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形的中位线定理可得出，则可得出，则可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
．
即．
根据二次根式的性质，等式左边为算术平方根，结果为非负数．
本题主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式规律总结：当时，，当时，．
 

18.【答案】   

【解析】解：猜想：；
故答案为：；



．
故答案为：．
按照所给等式猜想可得答案；
先将所求式子变形为：，符合规律，根据规律可得答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，找规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
 

19.【答案】解：
 ． 

【解析】解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
是等腰三角形，
，
故答案为；
作点关于的对称点，连接与交点为，
，
，，
，则，
，
，
，
，，
，
在中，，，
，
的最小值为，
故答案为．
由已知可得是等腰三角形，所以；
作点关于的对称点，连接与交点为，则，由可得，再由，则，可求，在中，，，求得即为所求．
本题考查轴对称求最短距离，作出关于的对称点，证明是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用完全平方公式和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

21.【答案】解：连接，如图所示：
在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
铺满草坪的面积
答：这块空地铺满草坪的面积是． 

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案．
本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理等知识，解此题的关键是求出铺满草坪的面积．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
，
是边上的中线，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
，是斜边上的中线，
，
平行四边形是菱形；
解：是边上的中线，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，得，再证四边形平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
由菱形的性质得，则，即可解决问题．
此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积等知识．熟练掌握菱形的判定与性质是解此题的关键．
 

23.【答案】证明：由折叠可得，，
由可得，，
，
，
是等腰三角形，
解：设，则，，
，
中，，
即，
解得，
． 

【解析】依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到，进而得出是等腰三角形；
设，则，，依据勾股定理即可得到的值．
本题主要考查了折叠问题，解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

24.【答案】   

【解析】解：利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出：
；
利用数形结合得出：在推得这个公式的过程中，主要运用了数形结合思想；
故答案为：；；                                       
≌，
．
，
，
，
即     
，，
，
，
即．
利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出即可，利用数形结合得出答案；
利用≌，得出，进而得出，即可得出答案；
利用图形面积即可证出勾股定理．
此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积由数形结合得出是解题关键．
 

25.【答案】    

【解析】解：，
，且、、、均为整数，
，，
故答案为：；；
，
，
，
又、、均为正整数，
或，
即，，或，，；
原式

，
故答案为：．
根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质和完全平方公式的结构是解题关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：如图，四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：，．
补全图形如图．
，
证明：连接，
由平移得，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
由四边形是正方形，得，，因为，所以≌，得，，再推导出，即可证明；
过点作，使，连接，即可将图形补全；
连接，先证明四边形是平行四边形，则，，所以，再证明≌，得，，所以，由，证得，则，而，于是可求得线段，，的数量关系为．
此题考查正方形的性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度较大，正确地作出辅助线并证明≌是解题的关键．