2022-2023学年湖南师大附中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南师大附中教育集团八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  函数的自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各图中，能表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，点，分别为，的中点，若，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一次函数的图象(    )

A. 经过一、二、三象限 B. 经过一、三、四象限
C. 经过一、二、四象限 D. 经过二、三、四象限

7.  下列命题中正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是矩形

8.  如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  一次函数、是常数与是常数的图象交于点，下列结论正确的序号是(    )
关于的方程的解为；一次函数图象上任意不同两点和满足：；若，则；若，且，则当时，．

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  直线与轴交点坐标为______ ．

12.  已知，，则______．

13.  已知一次函数的图象上有两点、，若，则 ______ 填“”“”或“”．

14.  如图，圆柱的高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路程是______．

15.  一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的分钟内只进水不出水，在随后分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量单位：升与时间单位：分钟之间的关系如图所示，则每分钟出水______

16.  如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
已知正比例函数的图象经过点．
求这个正比例的解析式；
将该正比例函数的图象向上平移个单位后恰好经过点，求的值．

19.  本小题分
如图，将一张矩形纸片的一端沿折叠，点恰好落在上的点．
这样折出来的四边形是______ ；
证明你在中得到的结论．

20.  本小题分
如图，在中，，．
求证：；
若点是的中点，求的长．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，．
求证：；
若点，分别为，的中点，连接，，，求平行四边形的周长．

22.  本小题分
某农户准备种植甲、乙两种水果经市场调查，甲种水果的种植费用元与种植面积有关，如果种植面积不超过，种植费用为每平方米元；种植面积超过，超过的面积种植费用为每平方米元；乙种水果的种植费用为每平方米元．
当甲种水果种植面积超过时，求与的函数关系式；
甲、乙两种水果种植面积共，种植总费用为，其中甲种水果的种植面积超过，不超过乙种水果的种植面积的倍请问怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植总费用最少？最少的种植费用是多少？

23.  本小题分
如图，在矩形中，是上一点，连接，，平分．
求证：；
作于点，若，，求的长．

24.  本小题分
定义：对于给定的一次函数、为常数，把形如、为常数的函数称为一次函数、为常数的衍生函数已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，．
点在一次函数的衍生函数图象上，则 ______ ；
如图，一次函数、为常数的衍生函数图象与平行四边形交于、、、四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式．
一次函数、为常数，其中、满足．
请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由；
一次函数、为常数的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围．
 

25.  本小题分
如图，在矩形中，，，点为中点，连接，，点为中点，点为线段上一点，连接，．
如图，若点为中点，求证：四边形为平行四边形；
如图，若点使得，求四边形的面积；
如图，连接，若点使得，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件成立不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
根据实数的加减法则对各选项进行逐一计算即可．
本题考查了实数的加减法，掌握实数的加减法法则是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，
只有图，取一个确定的值，都有唯一的值与其对应，其它都不符合，
故选：．
根据函数的定义，在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，即一一对应，即可求解．
本题考查的是函数的定义，其核心是：函数和自变量是一一对应关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数，，，
该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：．
根据函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故B不符合题意；
对角线垂直且平分的四边形是菱形，故C不符合题意．
四个角相等的四边形是矩形，故D符合题意．
故选：．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行选择即可．
本题考查了平行四边形、正方形、菱形和矩形，掌握平行四边形、正方形、菱形和矩形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，点是边的中点，
，
故选：．
根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质解答．
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

9.【答案】 

【解析】解：直线和直线相交于点，
则方程组的解是，
故选：．
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：一次函数、是常数与是常数的图象交于点，
关于的方程的解为，
故是正确的；
是常数的图象过点，
，
随的增大而减小，
，
故是正确的；
，
或，
故是错误的；
，且，
当时，
故是正确；
故选：．
根据一次函数与方程的关系求解；
根据一次函数的增减性求解；
根据一次函数与方程的关系求解；
根据一次函数与不等式的关系求解．
本题考查了一次函数的性质，及与方程，不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
当时，，得，
即直线与轴的交点坐标为：，
故答案为：
令，可以求得直线与轴的交点坐标．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：
将与的值代入原式计算即可得到结果．
此题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
随的增大而增大，
，
．
故答案为：．
由一次函数时，随的增大而增大可求解．
本题主要考查一次函数的性质，根据的符号判定函数的增减性是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，
则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，
，，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．
本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程．
 

15.【答案】升 

【解析】

【分析】
此题这样考查了一次函数的应用问题，解题时首先正确理解题意，接着利用函数的性质即可解决问题．根据图象和已知条件可以求出每分钟出水各多少升．
【解答】
解：根据图象知道：每分钟出水升；
故答案为：升  

16.【答案】 

【解析】解：正方形和正方形的面积分别为，，，，
，，
，
，
四边形的面积的面积的面积



，
故答案为：．
根据正方形的面积公式可得：，，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：设这个正比例函数的解析式为为常数，
将点代入，
得，
解得，
正比例函数的解析式为；
正比例函数的图象向上平移个单位可得，
将点代入解析式，
得，
解得． 

【解析】利用待定系数法求解析式即可；
正比例函数的图象向上平移个单位得到函数解析式，将点代入求解即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数图象的平移规律：“上加下减”是解题的关键．
 

19.【答案】正方形 

【解析】解：这样折出来的四边形是正方形，
故答案为：正方形；
证明：在矩形中，，
根据折叠的性质，可知，
四边形是矩形，
根据折叠的性质，可知，
四边形是正方形．
根据折叠可知四边形是正方形；
根据矩形的性质可得，，根据折叠的性质，可知，可知四边形是矩形，再根据，即可得证．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：点是的中点，，
，
，
根据勾股定理，得． 

【解析】根据勾股定理逆定理证明即可；
根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，，
四边形为菱形，
；
解：点，分别为，的中点，，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长为． 

【解析】根据两对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出；
根据中位线定理得出的长，即可得出的长，再根据勾股定理得出的长即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得，时，，
甲种水果种植面积超过时，与的函数关系式为：；
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
甲种水果的种植面积超过，不超过乙种水果的种植面积的倍，
，
解得，
当时，甲、乙两种水果种植总费用最少，最小值为：元，
答：甲分配种植面积，乙分配种植面积时，甲、乙两种水果种植总费用最少，最少费用为元． 

【解析】根据题意直接得出结论；
根据总费用甲、乙两种水果种植的费用之和列出函数解析式，再根据甲种水果的种植面积超过，不超过乙种水果的种植面积的倍求出自变量的取值范围，由函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组应用等知识，正确地掌握这些知识，是解决问题的前提和基础．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
．
解：于点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
解得，
的长是． 

【解析】由矩形的性质得，则，而，所以，则；
由于点，得，可证明≌，得，所以，而，，由勾股定理得，则，所以的长是．
此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及≌是解题的关键．
 

24.【答案】或 

【解析】解：点在一次函数的衍生函数图象上，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
的值为或，
故答案为：或；
根据题意得，时，一次函数的衍生函数图象过点，
代入得：，
即；
衍生函数为，
点的纵坐标为，
，
解得，
即点的坐标为，
点的纵坐标为，
，
解得，
即点的坐标为，
点的纵坐标为，
，
解得，
的坐标分別为，
，
，
，
，
解得：；
经检验是方程的解，
将代入，
解得，
该一次函数的解析式为；
经过定点；
，
，
代入得，
当时，；
过定点，定点坐标为和；
由可知：一次函数的衍生函数图象经过定点和，
即，
且点在▱内，
设衍生函数图象与轴的交点为，点沿轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点时，与▱有三个交点，
将代入，
解得：，，
时，衍生函数图象恰好与▱有两个交点，符合题意，
点沿轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与▱有三个交点，
且时，衍生函数图象恰好与▱有两个交点，符合题意，
当或且时，衍生函数图象恰好与▱有两个交点．
将点的坐标代入衍生函数求值即可；
根据点的坐标得出；根据衍生函数分别求出，，三点的坐标，再根据面积的关系求出的值，然后求出一次函数的解析式即可；
根据和的关系得出，即可得出定点坐标；
根据题意得出当衍生函数图象经过点时，与▱有三个交点，求出此时的和的值，然后分情况讨论符合条件的的取值范围即可．
本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：点为中点，点为中点，
，，
矩形，
，，
，，
点为中点，
，
四边形为平行四边形；
解：如图，连接，

矩形，
，，
点为中点，
，
≌，
，
设，
则，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
点为中点，
，，
，，
，
矩形的面积，
，
，
，
四边形的面积；
解：如图，过点作交延长线于点，作于点，作于点，

，
，
，
，
，
≌，
由可知，，
，
，
，
．
． 

【解析】根据三角形的中位线定理和矩形的性质即可解决问题；
如图，连接，首先证明≌，得，证明，再利用勾股定理和三角形的面积即可解决问题；
如图，过点作交延长线于点，作于点，作于点，证明≌，然后结合利用三角形的面积即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．