2023学年河南省南阳市桐柏县四校联考中考一模数学试题（含答案）

桐柏县2023学年四校联考中招模拟试题

数学（一）

温馨提示：

1．本试卷共两大题，满分120分，考试时间100分钟

2．开卷考试，可以查阅资料，但应独立答题，禁止交流

3．考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回。

一、选择题（每小题3分共30分）下列各小题均有4个选项，其中只有一项是正确的
1、的相反数是（    ）

A．  B．  C．  D．

2、人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》（又有资料为《倡只律》）解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒．则一天24小时有（    ）

A．8×104刹那  B．4.8×106刹那  C．4.8×105刹那  D．4.8×107刹那

3、下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中不是轴对称图形的是（    ）

A．B．C．D．

4、下列运算正确的是（    ）

A．  B．  C．  D．

5、如图，直线，，则的度数为（    ）

A．216°  B．36°  C．44°  D．18°

6、关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ）

A．  B．3  C．1  D．1或

7、如图，A，B为定点，定直线，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点．下列各值：①线段MN的长；②的周长；③的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤的大小．其中会随着点P的移动发生变化的值是（    ）

A．②③  B．①③④  C．④⑤  D．②⑤

8、如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（除数字不同外，其他完全相同），A转盘上的数字分别为，1，2，B转盘上的数字分别为，5，6，同时转动两个转盘（规定：若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次），则转出的数字之积为正数的概率是（    ）

A．  B．  C．  D．

9、如图，在中，顶点O与原点重合，，，，点C为边OA上一点，且．将向右平移，当点C的对应点恰好落在直线上时，点B的对应点的坐标为（    ）

A．  B．  C．  D．

10、【题文】如图，若点A坐标为(1，2)，点B坐标为(1，6)，那么C点的位置可表示为（    ）

A．  B．  C．  D．

二、填空题（每小题3分共15分）

11、若二次根式有意义，则x可取______（填一个即可）

12、根据如图所示，用不等式表示公共部分的范围______．

13、将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为______．

14、如图，矩形ABCD中，，O为AB的中点，以O为圆心，AO为半径作半圆与边CD相交于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为______．

15、如图，点P是内一点，，，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①；②当时，的周长为；③；④，共中正确的有______（填序号）．

三、解答题（本大题共8个小题共75分）

16、 （10分）（1）计算：
（2）化简：

（12分）17、“坐位体前屈”是我市中招体育考试加试项目，某校为了解九年级男生“坐位体前屈”训练状况，随机抽取了60名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下：
．成绩频数分布表

．成绩在15.6—18.6这组的数据是（单位：cm）

15.7  16.0  16.0  16.2  16.6  16.8  17.2  17.5  17.8  18.0  18.2  18.4
根据以上信息，回答下列问题：
(1)______，这次测试成绩的中位数是______cm．
(2)小明的测试成绩为17.2cm．小强评价说：小明的成绩低于平均数，所以在抽取的60名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高，你认同小强的说法吗？请说明理由．
(3)已知九年级男生“坐位体前屈”成绩达到21.6cm为满分，请你为该校提出一条训练建议．

（8分）18、如图，等腰的锐角顶点A，B的坐标分别为，，直角顶点C在反比例函数的图象上．

(1)求k的值；
(2)求的面积．

（10分）19、如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点B作，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．

(1)求证：；
(2)若，连接AC．
①当______时，四边形OBEC为菱形；
②当______时，四边形DECF为正方形．

（12分）20、为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校决定从网店购买甲，乙两种图书以供学生课外阅读．已知甲，乙两种图书的单价分别是20元和16元．
(1)该校用460元购买了甲，乙两种图书共25本，求甲，乙两种图书各购买了多少本？
(2)若该校准备再次购买甲，乙两种图书共60本，且购买图书的总费用不超过1100元，那么甲种图书最多能买多少本？

（10分）21、某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点O为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴的D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点、B点，且AB的水平距离为6米，他们到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．

(1)请求出该抛物线的解析式；
(2)跳绳者小明的身高为1.7米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方；
(3)经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.4米时才能安全起跳，小明与其他3位同学一起跳绳，如果这3名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？

（10分）22、综合与实践
背景阅读
早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或，，的三角形就是型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
实践操作
如图1，在矩形纸片ABCD中，，．
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到，再沿折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．

问题解决
(1)请在图4中判断NF与的数量关系，并加以证明；
(2)请在图4中证明是型三角形；
(3)探索发现在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

（10分）23、（1）【初步探究】把矩形纸片ABCD如图①折叠，，当点B的对应点在MN的中点时，填空：______（“≌”或“~”）．
（2）【类比探究】如图②，当点B的对应点为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
（3）【问题解决】在矩形ABCD中，，，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将沿PE折叠得到，连接DE，，当为直角三角形时，BP的长为______．

数学（一）参考答案

1-5CBCDB   6-10CBCDB

11．5（答案不唯一）  12．  13．  14．

15．①②④

16．（1）；
（2）

．

17．（1）解：，
∵成绩在9.6—12.6内的频数为8，成绩在12.6—15.6内的频数为17，且，
而在15.6—18.6的这一组的具体成绩得出第5、6个数据分别为16.6、16.8，
∴这次测试成绩的中位数是：，故答案为：20；16.7．
（2）不认同．理由：∵，
∴小明的测试成绩高于中位数，说明他比一半九年级所测男生成绩好．
（3）在保证训练时间的条件下进行科学训练，从而逐渐提高“坐位体前屈”的成绩，第一步超过中位数，然后再向满分冲刺．（答案不唯一．合理即可）

18．（1）如图，过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为E，D，可得∠DCE=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AC，∠BCA=∠BCD+∠DCA=90°，∵∠DCA+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，在△BDC和△AEC中，
∴（AAS），∴，
设 由，可得，∴.解得
∴点C的坐标为∴
（2）由点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（3，3），
可知AE=1，CE=3，在Rt△ACE中，由勾股定理可得，
由三角形ABC是等腰直角三角形可得，的面积为

19．（1）证明：如图，

∵，∴，∵AB是直径，
∴，∵CD是切线，∴，
∴四边形CFED矩形，∴，，，
在和中，，∴．
（2）解：①当时，四边形OBEC是菱形．
理由：连接OE．

∵，∴是等边三角形，∴，∵，
∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，
∴，∴，∵，∴是等边三角形，
∴，∴四边形OBEC是菱形．
故答案为2．
②当四边形CFED是正方形时，

∵，∵，∵，∴，
∴，∴，∴AE是直径，∴，
∴是等腰直角三角形，∴．∴时，四边形DEFC是正方形．
故答案为．

20．（1）设甲种图书购买了x本，乙种图书购买了y本．
根据题意得：，解得：．
答：甲种图书购买了15本，乙种图书购买了10本；
（2）设甲种图书购买m本，则乙种图书购买本，
根据题意得：，解得：，
答：甲种图书最多能买35本．

21．（1）解：由题意设抛物线的解析式为，
将点代入，中，得，
∴该抛物线的解析式是．
（2）解：将代入，解得，，
∴小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方．
（3）解：他们可以安全起跳，理由如下：
当时，，，∴可以站立跳绳的距离为米，又∵米，
∴，∴他们可以安全起跳．

22．（1）数量关系：．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴，
由折叠性质得到：，，∴，

∴四边形AEFD是矩形，∵，∴四边形AEFD是正方形，
连接HN，由折叠性质得到：，，
∵四边形AEFD是正方形，∴，∵，∴，
在和中，，
∴，∴．
（2）∵四边形AEFD是正方形，，
∴，
由折叠知：，
设，则，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴是型三角形．
（3）解：图4中还有，，是型三角形．
∵，∴，∵，∴，
∴是型三角形，∵四边形AEFD是正方形，∴，，∴，又∵，∴，
∴，∴是型三角形，
∵，∴，∴，
∴是型三角形．

23．（1）∵四边形ABCD是矩形，，∴，
∵折叠，∴，∴，∴
故答案为：~．
（2）∵四边形ABCD是矩形，，∴，
∵折叠，∴，∴，∴
（3）解：∵折叠，∴，
在中，，
①当时，P，，D三点共线，

∵点E为BC中点，∴，在，中，
∴∴在中，，
即，解得：；
②当，如图所示，延长交AB于点F，

由（2）可得∴，∴∴，，
在中，，设，则，
∴即解得：，即，
综上所述，当为直角三角形时，BP的长为或1，故答案为：或1．