2023届上海交通大学附属中学高三三模数学试题

上海交通大学附属中学2023届高三年级三模数学试卷2023.05.29

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.已知集合，，则　　   ．

2.复数的模为 　　      ．

3.不等式的解集为 　　      ．

4.已知幂函数的图像过点，则　　．

5.已知，则函数的最小正周期是 　　．

6.由函数的观点，方程的解为 　　．

7.二项式的展开式中含项的系数为 　　．

8.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是 　　．

9.若存在实数，使得是方程的解，但不是方程

的解，则实数的取值范围是　    　．

10.若随机变量，，若，那么实数的值为　    　．

11.已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为_____________．

12.函数是最小正周期为的偶函数，且在时，，

若存在满足,

且,

则的最小值为          .

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）

13.设，则“”是“直线与直线平行”的　

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件

14.函数的导函数的图像如右图所示，则函数的图像可能

是  

A．  B． 

C．  D．

15.已知函数为偶函数，则不等式的解集为（  ）

A．      B．     C．   D．

16.已知为正整数，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个 （     ）A．1  B．2                C．3                D．4．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

已知为等差数列，为等比数列，．

（1）求和的通项公式；

（2）记的前项和为，求证：.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

如图：平面，四边形为直角梯形，，

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求二面角的余弦值.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积 y（单位：）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：

①，②，③可供选择．

（1）选出你认为符合实际的函数模型，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？

（结果保留到整数）

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题8分.）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF1F2的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与直线x=4相交于点Q，求的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2＝3S1，

求点M的坐标．

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题8分.）

记，分别为函数，的导函数．若存在，

满足且，则称为函数与的一个“点”．

（1）证明：函数与不存在“点”；

（2）若函数与存在“点”，求实数的值；

（3）已知，．若存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的取值范围．