2023届上海交通大学附属中学高三三模数学试题答案

上海交通大学附属中学2023届高三年级三模数学试卷(解析版）2023.05.29

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.已知集合，，则　　   ．

【答案】

【解析】，

2.复数的模为 　　      ．

【答案】

【解析】

3.不等式的解集为 　　      ．

【答案】或

【解析】或

4.已知幂函数的图像过点，则　　．

【答案】

【解析】

5.已知，则函数的最小正周期是 　　．

【答案】

【解析】

6.由函数的观点，方程的解为 　　．

【答案】

【解析】

7.二项式的展开式中含项的系数为 　　．

【答案】

【解析】

8.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是 　　．

【答案】

【解析】党员人数一共有人,，那么第40百分位数是第16和17个数

的平均数，第16和17个数分别为8,9.所以第40百分位数是故答案为：8.5．

9.若存在实数，使得是方程的解，但不是方程

的解，则实数的取值范围是　    　．

【答案】

【解析】依题得

10.若随机变量，，若，那么实数的值为　    　．

【答案】

【解析】

11.已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为_____________．

【答案】

【解析】如图，首先画出曲线（黑色的折线），

这个圆与有两个公共点有两种情况，

一是两个交点，二是两个切点，这样可以得到结果

12.函数是最小正周期为的偶函数，且在时，，

若存在满足,

且,

则的最小值为          .

【答案】，，

【解析】函数是最小正周期为4的偶函数，且在,函数的值域

为,若存在满足,

有

要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，

且,的最小值为，相应的最小值为，

则的最小值为.故答案为：．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）

13.设，则“”是“直线与直线平行”的　

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】“”

“直线与直线平行”,所以选A.

14.函数的导函数的图像如右图所示，则函数的图像可能

是  

A．  B． 

C．  D．

【答案】D

【解析】当时，为增函数，当时，为减函数，

根据图像可得，从左至右，分别为负、正、负、正，如图所示：

对应原函数图像为减、增、减、增，则排除A，C.令，可得极

值点分别为，不妨令，根据图像可得，

即有两个正的极值点，经检验，只有D符合题意，故选D.

15.已知函数为偶函数，则不等式的解集为（  ）

A．      B．     C．   D．

【答案】B

【解析】函数为偶函数

故选：B

16.已知为正整数，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个 （     ）A．1  B．2                C．3                D．4．

【答案】B

【解析】如图可知，．故选：B．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

已知为等差数列，为等比数列，．

（1）求和的通项公式；

（2）记的前项和为，求证：.

【解析】

(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d＝1.从而的通项公式为.由，

又q≠0，可得，解得q＝2，从而的通项公式为.

(2)证明：由(1)可得，

故，，

从而，所以.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

如图：平面，四边形为直角梯形，，

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求二面角的余弦值.

【解析】

（1）为异面直线与所成角或其补角，所以其大小为，

（2）因为平面，所以，

又，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：

则，

则，

设平面的法向量为，

则，取，得，得，

取平面的法向量为，设二面角的大小为，由图形知，为锐角，所以，所以二面角的余弦值为．

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积 y（单位：）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：

①，②，③可供选择．

（1）选出你认为符合实际的函数模型，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？

（结果保留到整数）

【解析】

（1）由于细菌增长是指数增长，所以选①，令且，解得和，所以    

(2)令，解得，所以至少经过9分钟(按四舍五入得8分钟的扣2分)

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题8分.）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF1F2的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与直线x=4相交于点Q，求的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2＝3S1，

求点M的坐标．

【解析】

（1）∵椭圆的方程为,∴,

由椭圆定义可得：. ∴的周长为

（2）设，根据题意可得.∵点在椭圆上，且在第一象限，

∴,设,∴，

当且仅当时取等号.∴的最小值为.

（3）设，点到直线的距离为.∵，

∴直线的方程为,∵点到直线的距离为，

∴,∴,∴①

∵②,∴联立①②解得，.

∴或.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题8分.）

记，分别为函数，的导函数．若存在，

满足且，则称为函数与的一个“点”．

（1）证明：函数与不存在“点”；

（2）若函数与存在“点”，求实数的值；

（3）已知，．若存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的取值范围．

【解析】（1）证明：，，

则由定义得，得方程无解，则与不存在“点”；

（2），，，由得，得，

，得；

（3），，，

函数与在区间内存在“点”，记为，

所以，解得

由于，解得，

而，所以

所以时，；时，；

综上，实数的取值范围为．