2024届高三数学一轮复习基础夯实练60：直线与圆锥曲线的位置关系

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练60：直线与圆锥曲线的位置关系，共10页。试卷主要包含了已知直线l，直线l过抛物线C，已知A，B分别是椭圆C，已知椭圆C，椭圆C，已知抛物线C，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
基础夯实练60  直线与圆锥曲线的位置关系1．已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是(　　)A．相离   B．相切C．相交   D．无法确定2．(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　)A.  B.  C．1  D．23．已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1.若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是(　　)A．(－，)   B．[1，)C．[－，]   D．(1，)4．(2022·哈尔滨模拟)已知A，B分别是椭圆C：＋y2＝1的右顶点和上顶点，P为椭圆C上一点，若△PAB的面积是－1，则P点的个数为(　　)A．0  B．2  C．3  D．45．(多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则(　　)A．y1y2为定值B．k1k2为定值C．y1＋y2为定值D．k1＋k2＋t为定值6．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　)A．△ABF2的周长为4aB．若AB的中点为M，则kOM·k＝C．若·＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝7．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为，则|AB|＝________.8．(2023·保定模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为的直线l与C交于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为________．9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围．             10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程．         11．(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)A．1  B.  C.  D．212．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点(点A在x轴上方)，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|＝|NF|，则直线AB的斜率为________．13．(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是(　　)A．|M1M2|·|M3M4|   B．|FM1|·|FM4|C．|M1M3|·|M2M4|   D．|FM1|·|M1M2|14．(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
参考答案1．C　2.C　3.D4．C　[由C：＋y2＝1可得a＝2，b＝1，所以A(2,0)，B(0,1)，|AB|＝，所以直线AB的方程为y＝－x＋1，设过点P与直线AB平行的直线l：y＝－x＋t，则直线l与直线AB的距离d＝＝|t－1|，因为点P为直线l与椭圆的交点， 所以点P到直线AB的距离为d，因为△PAB的面积是－1, 可得S△PAB＝×|AB|×d＝××|t－1|＝－1，解得t＝或t＝2－，当t＝时，由可得(x－)2＝0，解得此时P，当t＝2－时，由可得x2＋(2－4)x＋10－8＝0，因为Δ＝(2－4)2－4(10－8)＝16(－1)>0，此时直线l与椭圆有2个交点，此时有2个P点，所以共有3个P点．]5．ABD　[由得y2－4ty－16＝0，则对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于B，k1k2＝＝＝＝－1为定值，故B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；对于D，k1＋k2＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确．]6．AC　[由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c,0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1.所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M，kOM＝，k＝，所以kOM·k＝·＝，由①－②得＋＝0，所以＝－，则kOM·k＝＝－，所以B错误；＝(－c－x1，－y1)，＝(c－x1，－y1)，所以·＝x－c2＋y＝x＋a2－2c2∈[a2－2c2，a2－c2]，则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，可得e＝∈，所以C正确；因为过焦点的弦中通径最短，则|AB|的最小值为通径，则有＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，所以e＝＝，所以D错误．]7．4　8.59．(1)解　因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4，解得a＝2，c＝1，则b2＝3，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)易知直线的斜率存在，设直线l的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；当k≠0时，有kAB＝＝－，AB中点的坐标为(x0，y0)，则两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0，又y0＝k，解得x0＝1，y0＝，因为线段AB的中点在椭圆内部，所以＋<1，即＋<1，解得－2<k<0或0<k<2，综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2,2)．10．解　(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，则双曲线C的方程为－＝1(0<a2<4)，将点P(5，)代入上式，得－＝1，解得a2＝50(舍去)或a2＝2，故所求双曲线的方程为－＝1.(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，所以解得(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝·.又原点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝d·|AB|＝××·＝.又S△OAB＝2，即＝1，所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*)．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2.11．C　[设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1，令y＝0，可得C，令x＝0，可得D，所以△OCD面积S＝××＝，又点B在椭圆上，所以＋y＝1，所以S＝＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x1＝1，y1＝时等号成立，所以△OCD面积的最小值为.]12.解析　如图，由题意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因为∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，所以∠MFO＋∠NFO＝，所以MF⊥NF，又|MF|＝|NF|，所以∠NMF＝，所以∠MFO＝∠AFM＝，故∠AFx＝，所以直线AB的斜率为tan＝.13．A　[如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，由定义得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，同理|M3M4|＝x4，由消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，设M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.]14．13解析　如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为，所以＝，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|DE|＝＝＝＝6，解得c＝，所以a＝2c＝，所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.