上海交通大学附属中学2023届高三三模数学试题

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交大附中高三三模数学试卷2023.05一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，则__________.2.复数的模为__________.3.不等式的解集为__________.4.已知幂函数的图像过点，则__________.5.已知函数，则函数的最小正周期是__________.6.由函数的观点，方程的解为__________.7.二项式的展开式中含项的系数为__________.8.为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数分别是__________.9.若存在实数，使得是方程的解，但不是方程的解，则实数的取值范围是__________.10.随机变量，若，那么实数的值为__________.11.已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________.12.函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为__________.一､选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）A.充分非必要条件    B.必要非充分条件C.充要条件    D.既非充分也非必要条件14.函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ）A.    B.C.    D.15.已知函数为偶函数，则不等式的解集为（    ）A.    B.    C.    D.16.已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（    ）A.1    B.2    C.3    D.4三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知为等差数列，为等比数列，.（1）求和的通项公式；（2）记的前项和为，求证：；18.如图：平面，四边形为直角梯形，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求二面角的余弦值；19.流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强､传播速度快的疾病，了解引起流感的某些细菌､病毒的生存条件､繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（；②；③可供选择.（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）20.在平面直角坐标系中，若椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值；（3）设点在椭圆上，记与的面积分别是，若，求点的坐标.21.记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“兰亭点”.（1）证明：函数与不存在“兰亭点”；（2）若函数与存在“兰亭点”，求实数的值；（3）已知函数.对存在实数，使函数与在区间内存在“兰亭点”，求实数的取值范围2023届交大附中高三三模数学试卷2023.05一､填空题1.【答案】    2.【答案】    3.【答案】    4.【答案】5.【答案】    6.【答案】    7.【答案】-88.【答案】【解析】因为，所以第40百分位数为第16个数和第17个数的平均数，即.9.【答案】【解析】由题意知，，且，故，显然，即，若，此时显然不满足题意，故.10.【答案】95.5【解析】由，所以，又，故，解得.11.【答案】【解析】作出图像，动态分析即可.12.【答案】1513【解析】函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，函数的值域为，对任意，都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，，的最小值估计值为，故的最小值取507，相应的最小值为1011.5，则的最小值为1518.5.二､选择题13.【答案】A14.【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D.15.【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，即解之得，经检验符合题意.则由，可得故的解集为，故选B.16.【答案】B【解析】由题意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，有，则结合正弦函数图像易知，可取的值是4或5.三､解答题17.【答案】；（2）见解析【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，得，，故，于是；由得，，又等比数列公比，得到，故，于是.（2）由（1）得，，故，作差可得，即，得证18.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，则异面直线与所成角即为，由题意知，平面，故，故，即，即异面直线与所成角为（2）因为平面，所以，又，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：则，则，设平面的法向量为，则，取，得，得，取平面的法向量为，设二面角的大小为，由图形知，为锐角，所以，所以二面角的余弦值为.19.【答案】（1）见解析；（2）至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过【解析】（1）因为的增长速度越来越快，和的增长速度越来越慢，所以应选函数模型由题意得，解得，所以该函数模型为；（2）由题意得，即，所以，又.所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.20.【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.【解析】（1）由椭圆方程可知：.所以的周长为；（2）由椭圆方程得，设，则直线方程为，又，所以直线与的交点为，，当时，（3）若，设到直线距离到直线距离，则，即，可得直线方程为，所以由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，设平行于的直线为，与直线的距离为，求得或12，当时，直线为，联立方程：，可得，解得或，当时，直线为，联立方程：可得：，此时方程无解综上所述，点坐标为或.21.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）函数，则.由且，得，此方程组无解，因此，与不存在“兰亭点”.（2）函数，则.设为与的“兰亭点”，由与且与，得，即，（*）得，即，则.当时，满足方程组（*），即为与的“兰亭点”.因此，的值为.（3），函数与在区间内存在“兰亭点”，记为，所以，解得，由于，解得或，而，所以，所以时，时，综上，实数的取值范围是.