2023年河北省衡水市桃城区中考数学三模试卷

这是一份2023年河北省衡水市桃城区中考数学三模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省衡水市桃城区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共16个小题.1～10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分）
1．（3分）下列各数中，比﹣1小的数是（　　）
A．﹣3 B．|﹣2| C．0 D．1
2．（3分）一副三角尺按如图所示位置放置，OP为公共边，量角器中心与点O重合，OA为0°刻度线．如果三角尺一边OB与90°刻度线重合，那么边OC与下列刻度线重合的是（　　）

A．15°刻度线 B．30°刻度线 C．45°刻度线 D．75°刻度线
3．（3分）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（　　）
A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭
4．（3分）m加3的和与﹣m+1的差小于13，则m的值不可能为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（3分）小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1
6．（3分）如图，正十边形与正方形共边AB，延长正方形的一边AC与正十边形的一边ED，两线交于点F，设∠AFD＝x°，则x的值为（　　）

A．15 B．18 C．21 D．24
7．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，将几何体向后翻滚90°，与原几何体比较，三视图没有发生改变的是（　　）

A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图与左视图
8．（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，CE的延长线经过格点D，则的长为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（　　）

A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲
10．（3分）如图，数轴上有O，A，B，C，D下点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在（　　）

A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
11．（2分）观察下列尺规作图的痕迹，能够说明AB＞AC的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④
12．（2分）小亮新买了一盏亮度可调节的台灯（图①），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图②所示．下列说法正确的是（　　）

A．电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而增大
B．电流I（A）与电阻R（Ω）的关系式为
C．当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A
D．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A
13．（2分）在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（　　）

A． B． C． D．
14．（2分）水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的质量的平均数和方差分别是x1，，该顾客选购的橘子的质量的平均数和方差分别是x2，，则下列结论一定成立的是（　　）
A．x1＞x2 B．x1＝x2
C．＞ D．＝
15．（2分）小强同学想根据方程7x+6＝8x﹣6编一道应用题：“几个人共同种一批树苗，_____，求参与种树的人数．”若设参与种树的有x人，那么横线部分的条件应描述为（　　）
A．若每人种7棵，则缺6棵树苗；若每人种8棵，则剩下6棵树苗未种
B．若每人种7棵，则缺6棵树苗；若每人种8棵，则缺6棵树苗
C．若每人种7棵，则剩下6棵树苗未种；若每人种8棵，则剩下6棵树苗未种
D．若每人种7棵，则剩下6棵树苗未种；若每人种8棵，则缺6棵树苗
16．（2分）有一题目：“如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE＝DF，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB＝140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（　　）

A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）
17．（3分）如图所示是某展览馆出入口示意图，小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是 　 　．

18．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则a的值为 　 　，ba的值是 　 　．
19．（3分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究．
（1）AD与BC所在直线的位置关系 　 　；
（2）∠PAQ的大小为 　 　°；
（3）当四边形APCD是平行四边形时，的值为 　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如框：
小明的作业
计算：85×（﹣0.125）5．
解：85×（﹣0.125）5＝（﹣8×0.125）5＝（﹣1）5＝﹣1．
请你参考小明的方法解答下列问题．
计算：
（1）42023×（﹣0.25）2023；
（2）．
21．（9分）在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“主持”和“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图部分被不小心污染．请根据统计图中的相关信息，回答下列问题：

（1）图1中，根据数据信息可知：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的 　 　倍，而统计图表现出来的直观情况却是：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果之所以不一样，是因为 　 　；
（2）请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？
（3）在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为 　 　度；
（4）拟参加比赛活动的学生有50%获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比3：5，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，直接写出获一等奖的学生有 　 　人．

22．（9分）某数学兴趣小组研究如下等式：38×32＝1216，53×57＝3021，71×79＝5609，84×86＝7224．
观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”．
（1）根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52＝　 　；752＝　 　．
（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b＞0），
①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若分别记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m﹣n能被99整除．
23．（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC：S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．

24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝2，将抛物线在y轴左侧的部分沿x轴翻折，翻折后的部分和抛物线在y轴右侧的部分组成图形G．
（1）填空：b＝　 　；
（2）如图1，在图形G中，c＝0．
①当x取何值时，图形G中的函数值随x的增大而减少？
②当﹣4≤x≤3时，求图形G的最大值与最小值；
（3）如图2，若c＝2，直线y＝n﹣1与图形G恰有3个公共点，求n的取值范围；
（4）若|c|＝3，直线y＝﹣x+m与图形G恰有2个公共点，请直接写出m的取值范围．

25．（10分）如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心、OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且tan∠AOB＝，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．
（1）S扇形AOB＝　 　；
（2）点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为 　 　；
（3）在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP＜180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转a（0°≤a≤360°）．
①连接CP，AD，在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；
②直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．

26．（12分）在△ABC中，AC＝BC＝10，sinA＝，点D是线段AB上一点，且不与点A、点B重合．

（1）当点D为AB中点时，AD的长为 　 　；
（2）如图1，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．DM+DN的值是否为定值．如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由；
（3）将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落作AC边的点P处（不与点A、C重合），折痕交BC边于点E；
①如图2，当点D是AB的中点时，求AP的长度；
②如图3，设AD＝a，若存在两次不同的折痕，使点B落在AC边上两个不同的位置，直接写出a的取值范围．


2023年河北省衡水市桃城区中考数学三模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共16个小题.1～10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分）
1．（3分）下列各数中，比﹣1小的数是（　　）
A．﹣3 B．|﹣2| C．0 D．1
【解答】解：∵﹣3＜﹣1，|﹣2|＝2＞﹣1，0＞﹣1，1＞﹣1，
∴所给的各数中，比﹣1小的数是﹣3．
故选：A．
2．（3分）一副三角尺按如图所示位置放置，OP为公共边，量角器中心与点O重合，OA为0°刻度线．如果三角尺一边OB与90°刻度线重合，那么边OC与下列刻度线重合的是（　　）

A．15°刻度线 B．30°刻度线 C．45°刻度线 D．75°刻度线
【解答】解：由图可知：∠BOP＝30°，∠POC＝45°，∠BOA＝90°，
∴∠AOC＝∠BOA﹣∠BOP﹣∠POC＝90°﹣30°﹣45°＝15°．
故选：A．
3．（3分）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（　　）
A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭
【解答】解：由题意得，1合＝10勺＝102撮＝103抄＝104圭，
∴十合＝10×104圭＝105圭，
故选：D．
4．（3分）m加3的和与﹣m+1的差小于13，则m的值不可能为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：由题意知，m+3﹣（﹣m+1）＜13，
则m+3+m﹣1＜13，
m+m＜13+1﹣3，
∴2m＜11，
解得m＜5.5，
故选：A．
5．（3分）小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1
【解答】解：∵，
∴＝＝，
故*部分的式子应该是x2﹣2x+1．
故选：A．
6．（3分）如图，正十边形与正方形共边AB，延长正方形的一边AC与正十边形的一边ED，两线交于点F，设∠AFD＝x°，则x的值为（　　）

A．15 B．18 C．21 D．24
【解答】解：如图，延长AB交DF于H，则，
∴∠AHF＝∠HBD+∠HDB＝72°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠AHF＝18°，即x＝18，
故选：B．


7．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，将几何体向后翻滚90°，与原几何体比较，三视图没有发生改变的是（　　）

A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图与左视图
【解答】解：将几何体向后翻滚90°，与原几何体比较，三视图没有发生改变的是主视图．
故选：A．
8．（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，CE的延长线经过格点D，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接AC、AD，取AC的中点O，连接OE，

∵∠ABC＝90°，
∴AC为直径，
∵AC2＝AD2＝32+22＝13，CD2＝12+52＝26，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOE＝2∠ACD＝90°，
∵AO＝AC＝，
∴的长为＝π．
故选：D．
9．（3分）已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（　　）

A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲
【解答】解：根据题意可知AD＝B'C'，AD∥B'C'，
∴四边形AB'C'D是平行四边形．
方案甲，AB'＝C'D不能判断四边形AB'C'D是菱形；
方案乙，由B'D⊥AC'，
∴平行四边形AB'C'D是菱形；
方案丙，由∠A'C'B'＝∠A'C'D，又AD∥B'C'，
∴∠DAC'＝∠A'C'B'，
∴∠DAC'＝∠AC'D，
∴AD＝C'D，
∴平行四边形AB'C'D是菱形．
所以正确的是乙和丙．
故选：B．
10．（3分）如图，数轴上有O，A，B，C，D下点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在（　　）

A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
∴表示数的点会落在点A和B之间．
故选：B．
11．（2分）观察下列尺规作图的痕迹，能够说明AB＞AC的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【解答】解：如图①中，设垂直平分线与AB的交点为E，
由作图可知，EB＝EC，
∵EA+EC＞AC，
∴EA+EB＞AC，即AB＞AC．
如图③中，设弧与AB的交点为T，
由作图可知，AT＝AC，
∵点T在线段AB上，
∴AB＞AT，即AB＞AC．

故选：C．
12．（2分）小亮新买了一盏亮度可调节的台灯（图①），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图②所示．下列说法正确的是（　　）

A．电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而增大
B．电流I（A）与电阻R（Ω）的关系式为
C．当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A
D．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A
【解答】解：A．由图象知，电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而减小，故此选项符合题意；
B．设反比例函数解析式为：I＝，把（1100，0.2）代入得：U＝1100×0.2＝220，则I＝，故此选项不符合题意；
C．把R＝550代入I＝得，I＝0.4A，故此选项不合题意；
D．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A；故此选项符合题意；
故选：D．
13．（2分）在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：

设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，
解得：x＝4，
∴DE＝4，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∵∠BCE＝∠DCF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，
即，
∴CF＝，
故选：A．
14．（2分）水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的质量的平均数和方差分别是x1，，该顾客选购的橘子的质量的平均数和方差分别是x2，，则下列结论一定成立的是（　　）
A．x1＞x2 B．x1＝x2
C．＞ D．＝
【解答】解：∵水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，
∴该顾客选购的橘子的质量的平均数＞原有橘子的质量的平均数，该顾客选购的橘子的质量的方差＜原有橘子的质量的方差．
故选：C．
15．（2分）小强同学想根据方程7x+6＝8x﹣6编一道应用题：“几个人共同种一批树苗，_____，求参与种树的人数．”若设参与种树的有x人，那么横线部分的条件应描述为（　　）
A．若每人种7棵，则缺6棵树苗；若每人种8棵，则剩下6棵树苗未种
B．若每人种7棵，则缺6棵树苗；若每人种8棵，则缺6棵树苗
C．若每人种7棵，则剩下6棵树苗未种；若每人种8棵，则剩下6棵树苗未种
D．若每人种7棵，则剩下6棵树苗未种；若每人种8棵，则缺6棵树苗
【解答】解：∵列出的方程为7x+6＝8x﹣6，
∴方程的左、右两边均为这批树苗的棵数，
∴方程的左边为若每人种7棵，那么剩下6棵树苗未种；方程的右边为若每人种8棵，那么缺6棵树苗．
故选：D．
16．（2分）有一题目：“如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE＝DF，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB＝140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（　　）

A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【解答】解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，
∴∠DFF'＝∠DF'F，
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB＝∠DEB，
∵DE∥AB，∠ABC＝40°，
∴∠DEB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠DFB＝140°；
当点F位于点F'处时，
∵DF＝DF'，
∴∠DF'B＝∠DFF'＝40°，
故选：A．

二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）
17．（3分）如图所示是某展览馆出入口示意图，小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是 　　．

【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中她们恰好从同一出口走出的结果数为3，
所以她们恰好从同一出口走出的概率＝＝．
故答案为：．
18．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则a的值为 　2　，ba的值是 　　．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，
∴x1+x2＝﹣a＝﹣2，x1•x2＝﹣2b＝1，
解得a＝2，b＝﹣，
∴ba＝（﹣）2＝．
故答案为：2，．
19．（3分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究．
（1）AD与BC所在直线的位置关系 　AD∥BC　；
（2）∠PAQ的大小为 　30　°；
（3）当四边形APCD是平行四边形时，的值为 　　．

【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴AD与BC所在直线的位置关系是AD∥BC，
故答案为：AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DQR+∠CQR＝180°，
∴∠DQA+∠CQP＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，
故答案为：30；
（3）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AR＝PR，
∵∠AQP＝90°，
∴QR＝AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴AP＝2PB，AB＝PB，
∴PB＝QR，
∴＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如框：
小明的作业
计算：85×（﹣0.125）5．
解：85×（﹣0.125）5＝（﹣8×0.125）5＝（﹣1）5＝﹣1．
请你参考小明的方法解答下列问题．
计算：
（1）42023×（﹣0.25）2023；
（2）．
【解答】解：（1）42023×（﹣0.25）2023
＝（﹣4×0.25）2023
＝（﹣1）2023
＝﹣1；
（2）
＝
＝
＝．
21．（9分）在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“主持”和“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图部分被不小心污染．请根据统计图中的相关信息，回答下列问题：

（1）图1中，根据数据信息可知：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的 　2　倍，而统计图表现出来的直观情况却是：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果之所以不一样，是因为 　统计图的人数栏是从零开始计数　；
（2）请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？
（3）在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为 　86.4　度；
（4）拟参加比赛活动的学生有50%获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比3：5，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，直接写出获一等奖的学生有 　40　人．

【解答】解：（1）80÷40＝2，
∴参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的2倍，
∵统计图的人数栏是从零开始计数，
∴参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果所以不一样．
故答案为：2，统计图的人数栏没有从零开始计数；
（2），400×16%＝64，
∴全校一共有64名学生参加“舞蹈”比赛；
（3）400﹣120﹣64﹣80﹣40＝96，
∴，
∴“小品”部分所对应的圆心角的度数为86.4度；
（4）∵参加比赛活动的学生有50%获奖，总共有400人，
∴一共有200人获奖，
∵获二等奖与三等奖的人数之比3：5，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，
∴设一等奖人数为x，则二等奖人数为1.5x，三等奖的人数为2.5x，
∴列方程为x+1.5x+2.5x＝200，解得x＝40，
∴获一等奖的学生有40人．
22．（9分）某数学兴趣小组研究如下等式：38×32＝1216，53×57＝3021，71×79＝5609，84×86＝7224．
观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”．
（1）根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52＝　3016　；752＝　5625　．
（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b＞0），
①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若分别记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m﹣n能被99整除．
【解答】解：（1）根据题意得：58×52＝（5×6）×100+8×2＝3016，752＝（7×8）×100+5×5＝5625；
故答案为：3016；5625；
（2）①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b＞0），
∴另一个数的十位数字为a，个位数字为10﹣b，
∴这两个两位数分别为10a+b，10a+10﹣b，
根据题意得：这个运算规律为（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b），
证明：左边＝100a2+10ab+100a+10b﹣10ab﹣b2＝100a2+100a+10b﹣b2，
右边＝100a2+100a+10b﹣b2，
∴左边＝右边；
②由①得：n＝100a2+100a+10b﹣b2，
∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘，
∴新的两个两位数分别为10b+a，10（10﹣b）+a，
∴m＝（10b+a）[10（10﹣b）+a]
＝（10b+a）（100﹣10b+a）
＝1000b+100a﹣100b2﹣10ab+10ab+a2
＝1000b﹣100b2+100a+a2，
∴m﹣n＝（1000b﹣100b2+100a+a2）﹣（100a2+100a+10b﹣b2）
＝1000b﹣100b2+100a+a2﹣100a2﹣100a﹣10b+b2
＝﹣99a2﹣99b2+990b，
＝﹣99（a2+b2+10b），
∵a，b为正整数，
∴a2+b2+10b为整数，
∴m﹣n能被99整除．
23．（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC：S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．

【解答】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y＝﹣x+5，可得
4＝﹣m+5，
解得m＝2，
∴C（2，4），
设l2的解析式为y＝ax，则4＝2a，
解得a＝2，
∴l2的解析式为y＝2x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，
y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO＝10，BO＝5，
∴S△AOC：S△BOC＝（×10×4）：（×5×2）＝20：5＝4：1；

（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k＝；
当l2，l3平行时，k＝2；
当11，l3平行时，k＝﹣；
故k的值为或2或﹣．
24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝2，将抛物线在y轴左侧的部分沿x轴翻折，翻折后的部分和抛物线在y轴右侧的部分组成图形G．
（1）填空：b＝　4　；
（2）如图1，在图形G中，c＝0．
①当x取何值时，图形G中的函数值随x的增大而减少？
②当﹣4≤x≤3时，求图形G的最大值与最小值；
（3）如图2，若c＝2，直线y＝n﹣1与图形G恰有3个公共点，求n的取值范围；
（4）若|c|＝3，直线y＝﹣x+m与图形G恰有2个公共点，请直接写出m的取值范围．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝4，
故答案为：4；
（2）①由图象可知，当x＜0或x＞2时，图形G中的函数值随x的增大而减少；
②∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴函数y＝﹣x2+4x的最大值为4，
当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）2+4×（﹣4）＝﹣32，
当x＝3时，y＝﹣32+4×3＝3，
∴当﹣4≤x≤3时，图形G的最大值是32，最小值是0；
（3）若c＝2，则y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴直线y＝n﹣1与图形G恰有3个公共点，则2≤n﹣1＜6，即3≤n＜7，
∴n的取值范围是3≤n＜7；
（4）当c＝3时，把点（0，﹣3）代入y＝﹣x+m得，m＝﹣3，
令﹣x2+4x+3＝﹣x+m，整理得x2﹣5x+m﹣3＝0，则Δ＝25﹣4（m﹣3）＝0，
解得m＝，
∴此时，﹣3≤m＜3或m＝；
当c＝﹣3时，令﹣x2+4x﹣3＝﹣x+m，整理得x2﹣5x+m+3＝0，则Δ＝25﹣4（m+3）＝0，
解得m＝，
∴此时，﹣3≤m＜3或m＝；
∴若|c|＝3，直线y＝﹣x+m与图形G恰有2个公共点，m的取值范围是﹣3≤m＜3或m＝或m＝．
25．（10分）如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心、OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且tan∠AOB＝，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．
（1）S扇形AOB＝　　；
（2）点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为 　30°　；
（3）在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP＜180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转a（0°≤a≤360°）．
①连接CP，AD，在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；
②直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．

【解答】解：（1）∵tan∠AOB＝，
∴∠AOB＝60°，
∴S扇形AOB＝＝（大于半圆的扇形），
故答案为：．

（2）如图1中，当PD与⊙O相切时，∠PDB的值最大．

∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∴∠OPD＝90°，
∵sin∠PDO＝＝＝，
∴∠PDB＝30°，
同法当DP′与⊙O相切时，∠BDP′＝30°，
∴∠PDB的最大值为30°．
故答案为：30°．

（3）①结论：AD＝2PC．
理由：如图2中，连接AB，AC．

∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵BC＝OC，
∴AC⊥OB，
∵∠AOC＝∠DOP＝60°，
∴∠COP＝∠AOD，
∵＝＝2，
∴△COP∽△AOD，
∴＝＝2，
∴AD＝2PC．

②由题意1≤PC≤3，
∴在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3．
26．（12分）在△ABC中，AC＝BC＝10，sinA＝，点D是线段AB上一点，且不与点A、点B重合．

（1）当点D为AB中点时，AD的长为 　6　；
（2）如图1，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．DM+DN的值是否为定值．如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由；
（3）将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落作AC边的点P处（不与点A、C重合），折痕交BC边于点E；
①如图2，当点D是AB的中点时，求AP的长度；
②如图3，设AD＝a，若存在两次不同的折痕，使点B落在AC边上两个不同的位置，直接写出a的取值范围．

【解答】解：（1）如图，D是AB的中点，连接CD，

∵AC＝BC＝10，D是AB的中点，
∴AD＝BD，CD⊥AD，
∵sinA＝，
∴sinA＝，
∴CD＝8，
∴AD＝＝＝6，
故答案为：6．
（2）DM+DN的值是定值，
如图2中，连接CD，过点C作CH⊥AB于H．

∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD，DM⊥AC，DN⊥BC，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
（3）①如图3中，连接PB，CD．

∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
由（2）可知，CD＝8，
∵DP＝DA＝DB，
∴∠APB＝90°，
即BP⊥AC，
∵，
∴，
∴．
②如图4中，过点C作CH⊥AB于H，

∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∴，
当BD＝PD时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，
∵，
∴，
∴，
∴，
观察图形可知当时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．