2023年江苏省苏州市姑苏区立达中学中考数学一模试卷

2023年江苏省苏州市姑苏区立达中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面几个数中最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  近日从国家统计局获悉，年，苏州全体居民人均可支配收入首边突破万元大关，达到元，则数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  抛一枚质地均匀的硬币：连续抛次，硬币落地时都是正面朝上，如果第次抛抛掷这枚硬币，那么正面朝上的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为，则该圆锥母线长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的方程的根的情况是(    )

A. 有一正一负两个不相等的实数根 B. 有两个正的不相等实数根
C. 至多有一个正的实数根 D. 至少有一个正的实数根

7.  如图，直线分别交坐标轴于点、，轴上一点关于直线的对称点坐标为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，一块正方形地砖的图案是由个全等的五边形和个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  的相反数是          ．

10.  因式分解：          ．

11.  下列一组数据，，，，，的平均数是______ ．

12.  方程组的解是______ ．

13.  已知正六边形的内切圆半径为，则它的周长为______ ．

14.  已知点是半径为的上一点，平面上一点到点的距离为，则线段的长度的范围为______ ．

15.  如图，、两点是线段的三等分点，以为直径作，点为上一点，连接，交于点，连接，若点恰为线段中点，则为______ ．

16.  如图，已知的两条直角边，，将绕着直角边中点旋转，得到，若的锐角顶点恰好落在的斜边上，斜边与交于点，则 ______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组．

19.  本小题分
先化简再求值：，其中．

20.  本小题分
小明将三张正面分别印有“范”、“文”、“正”字样的卡片卡片的颜色、形状、大小、质地都相同背面朝上、洗匀．
若从中任意抽取张，抽得卡片上的字样恰好为“文”的概率是______ ．
若先从中任意抽取张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取张，求两次抽取的卡片字样不同的概率请用树状图或列表的方法求解

21.  本小题分
年苏州文博会于月日至月日在苏州国际博览中心举行，我校气象兴趣小组的同学们想估计一下苏州今年月份日平均气温情况他们收集了苏州市近五年来月份每天的日平均气温，从中随机抽取了天的日平均气温，并绘制成如下统计图：
根据以上信息，回答下列问题：

这天的日平均气温的中位数为______ ；众数为______ ；
若日平均气温在至的范围内包括和为“舒适温度”，请估计苏州今年月份日平均气温为“舒适温度”的天数．

22.  本小题分
如图，点、、、在一条直线上，，，求证：．

23.  本小题分
如图，从灯塔处观测轮船、的位置，测得轮船在灯塔北偏西的方向，轮船在灯塔北偏东的方向，且海里，海里，已知、，求、两艘轮船之间的距离结果保留根号
 

24.  本小题分
如图，以轴上长为的线段为宽作矩形，矩形长、交直线于点、，反比例函数的图象正好经过点、．
线段长为______ ；
求值．

25.  本小题分
我们给出定义：如果三角形存在两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”已知为“准互余三角形”，并且．
如图，若且，求边的长；
如图，，以边为直径作，交于点，若，，试求的面积．
 

26.  本小题分
如图，二次函数的图象分别交轴于点、点，交轴于点其中，连接、，点为的外心，连接、、．
这条抛物线的表达式为______ 用的代数式表示；
若的面积为，请求出的值；
在的条件下，连接，在直线上是否存在一点，使得以点、、为顶点的三角形和相似，若存在，求出点的纵坐标，若不存在，请说明理由．
 

27.  本小题分
如图，点为矩形中较短边上一任意点，连接，在上方以为边作正方形，分别连接、、，与交于点，若的面积与的长度的函数关系的图象如图中直线的一部分，正方形的面积与的长度的函数关系的图象如图中抛物线的一部分．
矩形的面积 ______ ；
求出矩形的周长；
、、三点能否共线，若能，求出此时的值，若不能，请说明理由；
连接，令的面积为，的面积为，当为间值时，取得最大值？此时和是否相等？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
，
所给的几个数中最大的是．
故选：．
首先比较出、、的取值范围，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据，求出的值即可．
此题主要考查了算术平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：概率是频率多个的波动稳定值，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，
抛掷硬币次的结果不是事件的概率，
抛掷一枚质地均匀的硬币只有两种情况：正面朝上或反面朝上，
硬币正面朝上的概率都是．
故选：．
直接利用概率的意义分析得出答案．
此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法是解答的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设该圆锥母线长为，
根据题意得，
解得，
即该圆锥母线长为．
故选：．
设该圆锥母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根，
方程的两个根和为，
至少有一个正的实数根，
故选：．
方程整理后，表示出根的判别式，然后根据根与系数的关系判断即可．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，连接、、，
直线分别交坐标轴于点、，
，
点坐标为，
，
，，，
由题意可知，，，垂直平分，
，
，
≌，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
直线分别交坐标轴于点、，
，
解得．
故选：．
连接，交于点，连接、、，与、的坐标可知，即可得到，，，与对称的性质得到，，垂直平分，证得≌，即可证得四边形是菱形，得到，利用勾股定理求得，即可求得点的坐标，利用待定系数法即可求得的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化对称，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

根据题意易知，点为正方形，的中心，
，即，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，则，
，
解得：，
，
或，
，
，
．
故选：．
如图，根据题意易知，点为正方形，的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形的边长为，则，以此可得方程，借此方程，再将的值代入即可求解．
本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系列出方程是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号根据此解答即可．
【解答】
解：，
故的相反数是．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】

解：．
故答案为：．
【分析】本题考查提公因式法因式分解，较为简单，找准公因式是解题的关键．
先确定公因式是，然后提取公因式即可．  

11.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数为．
故答案为：．
求出这组数据的和，再除以即可．
本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
得：，
解得：，
将代入得，
解得：，
则方程组的解为，
故答案为：．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，；
六边形是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为，
是等边三角形，
，
，解得，
它的周长．
故答案为：．
根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形及特殊角的三角函数值，根据已知得出六边形是边长等于正六边形的半径是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，最大值为；
当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为，
所以，线段的长度的范围为．
故答案为：．
如图，当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，据此得到结论．
本题考查了点与圆的位置关系，正确的作出图形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，设的半径为，
、两点是线段的三等分点，
，
点恰为线段中点，
为的中位线，
，
为直径，
，
在中，，
．
故答案为：．
连接、，如图，设的半径为，先证明为的中位线，则，再根据圆周角定理得到，再利用勾股定理计算出，然后根据正切的定义求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
由勾股定理得，，
点为的中点，
，
的锐角顶点恰好落在的斜边上，
，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
，
解得，
经检验，是方程的解，
，
，
故答案为：．
连接，根据，可说明，从而求出的长，再利用∽，得，设，则，，进而得出的值．
本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明∽是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】首先计算零指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组无解． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，
原式． 

【解析】先计算括号内的，再算乘法，最后约分即可化简原式，将的值代入可得答案．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：若从中任意抽取张，抽得卡片上的字样恰好为“文”的概率是，
故答案为：；
将三张正面分别印有“范”、“文”、“正”字样的卡片分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片字样不同的结果有种，
两次抽取的卡片字样不同的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片字样不同的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】   

【解析】解：这天的日平均气温的中位数为，
众数为，
故答案为：，；
天，
估计苏州今年月份日平均气温为“舒适温度”的天数大约为天．
根据中位数和众数的概念求解即可；
用样本中气温在的范围内的天数所占比例乘以月份的天数即可．
本题主要考查众数和中位数、加权平均数、样本估计总体，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

22.【答案】证明：，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，
，
． 

【解析】由平行线的性质得，，再证，然后证≌，然后利用平行四边形的判定与性质即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：过点、分别作东西方向的垂线于点、，作于点，
，
，，
则四边形为矩形，
，，
在中，，
，
，
海里，
海里，
在中，，海里，
海里，
由勾股定理得，，即，
解得，，
海里，海里，
则海里，
答：，两艘轮船之间的距离为海里． 

【解析】过点、分别作东西方向的垂线于点、，作于点，根据等腰直角三角形的性质分别求出、，根据正切的定义分别求出、，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：点、在直线图象上，
设，则，即
．
故答案为：；
反比例函数的图象正好经过点、，
，
解得，
．
表示出、的坐标，然后利用勾股定理即可求得的长度；
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求线段的长度，正确表示出点的坐标是解题的关键．
 

25.【答案】解：，为“准互余三角形”，
，
即，
，
过点作于点，过点作于点，如图，
在中，，
，
，
平分，
，
，
在中，，
；
延长交于点，连接、，如图，
为直径，
，
，为“准互余三角形”，
，
，
，
即平分，
，
，，
，
，
，
在中，，
设，则，，
在中，，
，
解得，
在中，，
的面积 

【解析】利用新定义计算出，过点作于点，过点作于点，如图，先计算出，则，再证明，平分，根据角平分线的性质得到，所以，然后在中利用含度直角三角形三边的关系得到的长；
延长交于点，连接、，如图，利用圆周角定理得到为直径，再利用新定义计算出，即平分，所以，接着证明得到，于是利用勾股定理可计算出，设，则，，在中得到，解方程得到，然后在中利用勾股定理计算出，从而得到的面积．
本题考查了圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了角平分线的性质和勾股定理．
 

26.【答案】 

【解析】解：设抛物线的表达式为，将代入得：
，
，
，
；
抛物线的表达式为；
故答案为：；
连接并延长交于，过作于，如图：

，，
，是等腰直角三角形，
在线段的中垂线上，
为的外心，
，
在线段的中垂线上，
直线是线段的中垂线，
，，与关于直线对称，
，是等腰直角三角形，，
，
的横坐标与纵坐标相等，
直线解析式为，
为的外心，
，
是的中点，
、，
，即，
，
，
，
解得；
在直线上存在一点，使得以点、、为顶点的三角形和相似，理由如下：
由知，，
，
直线解析式为，，
，
，
，
要使以点、、为顶点的三角形和相似，只需或且在射线上，
当时，如图：

设，，
，，，
，，，，
，
解得，
，
的纵坐标为；
当时，如图：

同理可得，
解得，
，
的纵坐标为；
综上所述，的纵坐标为或．
设抛物线的表达式为，将代入可求出抛物线的表达式为；
连接并延长交于，过作于，由，，为的外心，可得直线是线段的中垂线，即可得，是等腰直角三角形，，从而知直线解析式为，由、，得，即，故D，可得，即可解得；
由知，，得直线解析式为，，要使以点、、为顶点的三角形和相似，只需或且在射线上，当时，设，，，可得的纵坐标为；当时，同理可得的纵坐标为．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形外心，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

27.【答案】 

【解析】解：由图知，的面积为，
，
，
矩形的面积为；
故答案为：；
由图知，正方形的面积最大为，此时边最大，与重合，
，
由矩形，结合可知，
，
矩形的周长为；
、、三点不能共线，理由如下：
由知，，
，为矩形的较短边，，已舍去，
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，过作交延长线于，如图：

，，，
≌，
，，
设，则，
，，
直线函数表达式为，
若在直线上，则，
变形整理得：，
，
不可能满足，
不可能在直线上，故E、、三点不能共线；
过作轴于，于，如图：

，，，
≌，
，，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
当最小时，最大，从而最大，
，
当时，最小为，此时取得最大值，
，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由知不在上，
．
当时，取得最大值，此时与不相等．
由图知的面积为，即，可得矩形的面积为；
由图知，正方形的面积最大为，此时边最大，与重合，可得，结合，可得，故矩形的周长为；
由知，，得，，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，过作交延长线于，证明≌，得，，设，则，可得直线函数表达式为，将代入得，变形得：，由，知不可能满足，从而可得不可能在直线上，故E、、三点不能共线；
过作轴于，于，证明≌，得，，有，可求出，即可得，当最小时，最大，从而最大，故当时，最小为，此时取得最大值，根据，可证是等腰直角三角形，，由知不在上，即得．
本题考查二次函数综合应用，涉及正方形性质，全等三角形判定与性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．