陕西省安康中学2023届高三下学期5月学业质量检测（二）理科数学试题（含解析）

陕西省安康中学2023届高三下学期5月学业质量检测（二）理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数 ，且，其中a，b为实数，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

3．已知向量，满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

4．已知数列的前n项和为，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

5．设F为抛物线的焦点，准线为l，O为坐标原点，点A在C上，，点A到准线l的距离为3，则的面积为（    ）

A．2 B． C．3 D．

6．执行如图所示的程序框图，输出的（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（    ）

A． B．平面平面

C．平面 D．平面

8．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

9．已知球O的半径为2，三棱锥底面上的三个顶点均在球O的球面上， ，，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知某口袋中放有大小、质地完全相同的红球和白球各若干个，若有放回地从口袋中每次摸取1个球，连续摸两次，记两次摸到的小球颜色不同的概率为，两次摸到的小球颜色相同的概率为，则（    ）

A． B．

C． D．，大小不确定

11．已知函数的定义域为R，且，，，则（    ）

A． B．0 C． D．2023

12．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若，的周长为8a，则C的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．从甲、乙、丙等6名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙、丙3人中恰好有两人入选的概率为______.

14．圆心在直线上，且与直线相切的一个圆的方程为______.

15．已知函数，若，为的两个零点，则当取得最小值时，________．

16．已知函数在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是________．

三、解答题

17．已知的内角的对边分别为，且．

(1)证明：；

(2)若，点在边上，且，，求的周长．

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，，．

(1)证明：平面平面；

(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．

19．某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：

并计算得，，.

(1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入；

(2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）；

(3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性.

附：样本相关系数，.

20．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过点，.

(1)求E的方程；

(2)已知，是否存在过点的直线l交E于A，B两点，使得直线PA，PB的斜率之和等于？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

21．已知函数．

(1)若在R上是增函数，求a的取值范围；

(2)若当时，有两个极值点m，n，证明：．

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为.

(1)写出l的直角坐标方程和C的普通方程；

(2)若l与C有两个交点，求k的取值范围.

23．已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2).

参考答案：

1．A

【分析】先计算出全集，再根据补集，求出集合M,分别判断各个选项即可.

【详解】由题意得，从而，故A正确，B，C，D都错误.

故选：A.

2．B

【分析】根据复数加减法运算规则和复数相等的定义求解.

【详解】因为 ，所以，

由，得 ，即 ；

故选：B.

3．C

【分析】由求得，再根据向量夹角公式即可求解.

【详解】因为.又，所以.

所以，

因为，所以与的夹角为.

故选：C

4．B

【分析】先由数列的递推式得到是以为周期的数列，再由递推式求得，，从而证得，，由此得解.

【详解】因为，所以，

所以，

所以是以为周期的数列，

又，，

所以，，

所以，，

所以，故.

故选：B.

5．B

【分析】根据抛物线的定义和几何性质以及标准方程即可求解.

【详解】由题意得，.

因为，

所以点A的横坐标为.

因为点A到l的距离为3，所以.

解得，所以C的方程为.

不妨设点A在x轴的上方，则，

所以.

故选：B.

6．B

【分析】模拟执行程序，即可计算输出值.

【详解】执行第一次循环，，，，；

执行第二次循环，，，，；

执行第三次循环，，，，；

执行第四次循环，，，，.

因为，所以结束循环，输出.

故选：B

7．B

【分析】由面面垂直的判定定理判断B，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明面面、线面的位置关系判断ACD．

【详解】因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；

以点D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，.

设，则，.设平面的法向量为，

则有可取，得.

又，

则，故A不正确；

因为，所以，故D不正确；

因为，所以，故C不正确．

故选：B．

8．C

【分析】根据等比数列的通项公式，列方程求解.

【详解】由 得，所以，或（舍去），

由，得，所以，

由，得，所以，即n的最小值为9；

故选：C.

9．A

【分析】求出三棱锥的高，对于等价于BC边在外接圆上固定不动，A点在劣弧上运动，求三棱锥体积的最大值就是求面积的最大值.

【详解】记球O的半径为R，所在外接圆的半径为r，由，得，，设三棱锥的高为h，则，所以；

在中，如图：

等价于BC边在外接圆上固定不到，A点在劣弧上运动，显然当A点为的中点时，高AD最大，

AD的最大值，面积的最大值，

三棱锥体积的最大值；

故选：A.

10．B

【分析】设口袋中有红球个，白球个，根据独立事件的概率公式，分别求得，，结合基本不等式，即可求解.

【详解】设口袋中有红球个，白球个，

则两次摸到的小球颜色不同的概率为，

两次摸到的小球颜色相同的概率为，

因为，可得，当且仅当等号成立，

所以.

故选：B.

11．D

【分析】由函数的对称中心和对称轴确定函数的周期为4，代入特殊值求得，，，，问题即可得到解决.

【详解】由可知函数的对称中心为，

由可知函数的对称轴为，

故函数的周期.

将代入得，

将代入得，

将代入得，

而，

将代入得，

将代入得，

所以.

故选：D

12．C

【分析】设，由双曲线定义结合题目条件可得，后利用余弦定理可得答案.

【详解】设，则.因.

则.因的周长为8a，，

则.

则.由余弦定理：.

则在中，由余弦定理，

.

故选：C

13．

【分析】根据计数原理求出样本空间，再求出甲乙丙三人中刚好有2人入选的事件数，按照古典概型求解.

【详解】从6名同学中随机选3名的方法数为 ，甲、乙、丙3人中恰好有两人人选的方法数为 ，因此所求概率；

故答案为：.

14．（答案不唯一）

【分析】依题意可得直线与直线平行，则两平行线之间的距离即为圆的半径，再取一个点确定圆心，即可得到圆的方程.

【详解】因为直线与直线平行，

设圆心坐标为，因为圆心到直线的距离等于圆的半径r，

所以，取，则圆的方程为.

故答案为：（答案不唯一）

15．

【分析】利用两个零点可求得最小正周期，从而得到，代入可构造方程求得的值，由此可得.

【详解】，为的两个零点，，

，解得：，，此时，

，，解得：，

，.

故答案为：.

16．

【分析】首先参变分离为，再构造函数，利用导数判断函数的性质，转化为与的交点问题.

【详解】令，得，

设，，，

当，，函数单调递减，

当，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，

，，，，

所以与有2个交点，则.

故答案为：

17．(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据题意化简得，得到，结合正弦、余弦定理，即可得证；

（2）由（1）得，利用余弦定理得，再由三角新面积相等求得，结合，求得，进而得到，即可求解.

【详解】（1）解：由，可得，

所以，

因为，可得，即，

又由正弦、余弦定理得，可得，

可得.

（2）解：因为，由（1）知，可得，

由余弦定理得，

又因为，可得，

又由，所以，可得，

因为，整理得，解得，

所以，可得，

所以的周长为.

18．(1)证明见详解；

(2)存在，点P为SC的中点.

【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，设，由直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于，解得即可.

【详解】（1）证明：因为底面ABCD为正方形，，所以，

又因为侧面SAD为等边三角形，所以.

，所以，即，又,

所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

（2）如图：

取的中点为，连接，因为侧面为等边三角形，

所以，

又由（1）可知平面平面，平面平面，

平面，所以平面，

以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴为正方向，建立空间直角坐标系.

，，，，，

所以，，，设.

，所以，所以.

设平面SAC的法向量为，由于，所以.

令，则，，所以，

所以.

因为直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于.

所以，解得或（舍）

故存在，当点P为SC的中点时，使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于.

19．(1)平均每袋出厂价格为（元），平均月销售量为（万袋），平均月销售收入为（万元）

(2)

(3)该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性

【分析】（1）由表格中数据和参考数据进行计算即可；

（2）将样本相关系数公式转化为，利用表中数据和参考数据进行计算即可；

（3）将（2）中样本相关系数的绝对值与进行比较即可.

【详解】（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为：

（元），

平均月销售量为（万袋），

平均月销售收入为（万元）.

（2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为：

.

（3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性.

20．(1)；

(2)存在，l的方程为.

【分析】（1）设出椭圆E的方程，利用待定系数法求解作答.

（2）设出直线的方程，与椭圆E的方程联立，借助斜率坐标公式求解作答.

【详解】（1）设椭圆E的方程为，

由点，在E上，得，解得，，

所以E的方程为.

（2）存在，理由如下.

显然直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为，，，

由消去x得：，

则，得，

，

因此

，解得，

所以存在符合要求的直线l，其方程为.

【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 (A>0，B>0，A≠B)．

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）转化为，即在上恒成立， 令，求出的最小值可得答案；

（2）设， 即证，构造函数，利用导数判断出在的单调性可得答案．

【详解】（1），若在R上是增函数，则，

即在上恒成立，，

令，，，

当时，，当时，，所以，

所以；

（2），不妨设，所以有2个不同的解，

由（1）可知，且，

要证，即证，

构造函数，

，

因为，，

所以，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，又，，所以，所以在上单调递减，

所以，即原命题得证.

【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是转化为证成立，再构造函数，利用其单调性得出答案，考查了学生分析问题、解决问题的能力.

22．(1)l的直角坐标方程为，C的普通方程为

(2)

【分析】（1）利用化极坐标方程为直角坐标方程，用消参法化参数方程为普通方程；

（2）直线与曲线的直角坐标方程联立方程组，由方程组有两个解可得参数范围．

【详解】（1）因为，

所以.

将，，代入上式，化简得，

即l的直角坐标方程为.        

因为，，消去参数t，得.

又，所以C的普通方程为.

（2）联立当时，，，所以l与C只有一个交点，不符合题意；

当时，，将代人，得.

若l与C有两个交点，因为，所以，解得.

综上可知，k的取值范围为.

23．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式证明；

（2）利用柯西不等式证明．

【详解】（1）证明：

，        

当且仅当，，时，等号成立.

所以.

（2）证明：由柯西不等式得：

，

当且仅当，即，，时，等号成立.    

所以.