上海市南洋中学2023届高三三模数学试题（含解析）

上海市南洋中学2023届高三三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设集合，，则________．

2．已知直线，，若，则__________.

3．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数的值为__________.

4．已知向量，，则向量在向量方向上的数量投影为__________.

5．展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）

6．等比数列的前项和为，且，，成等差数列,若，则____________.

7．已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则_____．

8．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是__________.

9．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．

10．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC＝________.

11．已知两个函数的图象相交于两点，若动点满足，则(为坐标原点)的最小值为________.

12．已知函数，，若存在，使得，则的最大值为______

二、单选题

13．设表示直线，表示平面，使“”成立的充分条件是（    ）

A．， B．，

C．， D．，，，

14．一组样本数据的平均数为，标准差为.另一组样本数据，，…，的平均数为，标准差为.两组数据合成一组新数据，，…，，新数据的平均数为，标准差为，则（    ）

A． B． C． D．与的大小与有关

15．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

16．已知非常数列满足，若，则

A．存在，，对任意，，都有为等比数列

B．存在，，对任意，，都有为等差数列

C．存在，，对任意，，都有为等差数列

D．存在，，对任意，，都有为等比数列

三、解答题

17．如图，在三棱锥中，平面，，，､分别为的中点.

(1)求直线与平面所成角的大小；

(2)求平面与平面所成二面角的大小.

18．一个随机变量的概率分布为：，其中A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角.

(1)求A的值；

(2)若，求数学期望的取值范围.

19．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，这160只小白鼠中的该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.

(1)填写上面的列联表，并根据表中数据及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（单位：只）

(2)为检验疫苗两次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.用频率估计概率，记一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率是，并以作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求的值，并求随机变量的方差.

参考公式：（其中为样本容量）

20．椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为.

(1)求椭圆与双曲线的标准方程；

(2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点；

(3)过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程.

21．设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．

(1)若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；

(2)若，求函数的极值点；

(3)证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．

参考答案：

1．

【分析】利用补集、交集的定义直接求解作答.

【详解】由，得或，又，

所以.

故答案为：

2．

【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.

【详解】若，则，解得.

故答案为：.

3．

【解析】利用复数的除法运算化简复数z，由几何意义可得所对应的点的坐标，进一步可得答案.

【详解】由已知，，所以所对应的点为，

此点在实轴上，所以，解得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的几何意义，是一道容易题.

4．

【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可.

【详解】由题意可得：，

所以向量在向量方向上的数量投影为.

故答案为：.

5．

【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.

【详解】展开式通项公式，

令，解得，则，

所以展开式的常数项是.

故答案为：

6．15．

【详解】由题意得

7．/0.5

【分析】由扇形面积公式先求，再根据两角和差的正切公式求得结果.

【详解】已知扇形半径为，圆心角为，

∵扇形面积，∴，

∴，解得：.

故答案为：.

8．

【分析】根据百分位数和古典概型分析运算.

【详解】因为，则这组数据的第70百分位数为第6位数75，

所以选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是.

故答案为：.

9．2（满足皆可）

【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.

【详解】解：，所以C的渐近线方程为,

结合渐近线的特点，只需，即，

可满足条件“直线与C无公共点”

所以，

又因为，所以，

故答案为：2（满足皆可）

10．60°/

【分析】由题中给出的原理，得出的最大值，以及取最大值时的条件，再结合余弦定理可得出答案.

【详解】因为OB·AC＋OA·BCOC·AB，且△ABC为等边三角形，OB＝1，OA＝2，

所以OB＋OAOC，所以，所以OC的最大值为3，

取等号时，∠OBC＋∠OAC＝180°，所以cos∠OBC＋cos∠OAC＝0，

不妨设AB＝x，所以＋＝0，解得，

所以cos∠AOC＝，所以∠AOC＝60°．

故答案为：

11．/

【分析】根据两个函数的对称性，结合圆的性质进行求解即可.

【详解】因为，

所以函数关于点对称，

因为，

所以函数也关于点对称，

因为两个函数的图象相交于两点，

所以两点关于点对称，即是线段的中点，

由，

所以动点是以为圆心，为半径的圆，

，

故答案为：.

12．14

【分析】令，原方程可化为存在，使得，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得的最大值.

【详解】因为存在，

使得，

故存在，使得.

令，，则，

故，因为

故，，故.

故答案为：14.

13．C

【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，当，时，可能、或与相交，充分性不成立，A错误；

对于B，当，时，可能或与相交，充分性不成立，B错误；

对于C，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C正确；

对于D，若，则，，，无法得到，充分性不成立，D错误.

故选：C.

14．A

【分析】根据平均数、方差（或标准差）的公式分析运算.

【详解】对于数据，可得，

所以；

对于数据，，…，，可得，

所以；

对于数据，，…，，可得：

平均数，

标准差

，

注意到，所以.

故选：A.

15．C

【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．

【详解】解：依题意可得，因为，所以，

要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．

故选：C．

16．B

【解析】本题先将递推式进行变形，然后令，根据题意有常数，且，将递推式通过换元法简化为，两边同时减去，可得，此时逐步递推可得.根据题意有，则当，时，可得到数列是一个等差数列，由此可得正确选项.

【详解】解：由题意，得.

令，则，

为非零常数且，

均为非零常数，

∴常数，且.

故.

两边同时减去，可得

，

∵常数，且，

，且.

，

∵数列是非常数数列，

，

则当，即，即，即时，

.

此时数列很明显是一个等差数列.

∴存在，只要满足为非零，且时，对任意，都有数列为等差数列.

故选：B.

【点睛】本题主要考查递推式的基本知识，考查了等差数列的基本性质，换元法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力，是一道难度较大的题目.

17．(1)

(2)和

【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

（2）平面的一个法向量，是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）建立如图空间直角坐标系，可得点的坐标，

故，是平面的一个法向量，

设直线与平面所成角的大小为，

则，

故直线与平面所成角的大小为.

（2）设是平面的法向量，,，

即，

不妨取，得到平面的一个法向量，

，

故平面与平面所成的二面角是和.

18．(1)

(2)

【分析】(1)根据概率分布的概率性质计算即可;

(2)把转化为三角函数,根据角的范围确定三角函数的值域可解.

【详解】（1）由已知可知:

,,

又因为为锐角, ,所以,即得.

（2）因为

所以

又因为是锐角三角形,且,所以

,

所以

19．(1)列联表见详解，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关

(2)，随机变量的方差为9

【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；

（2）根据古典概型求，结合二项分布求随机变量的方差.

【详解】（1）由题意可得：该项指标值不小于60的有只，

所以列联表为：

零假设：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关，

根据表中数据可得，

依据小概率值的独立性检验，推断不成立，

即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.

（2）由题意可得：，

因为随机变量，则，

即随机变量的方差为9.

20．(1)，

(2)证明见详解

(3)

【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义以及双曲线的渐近线分析运算；

（2）根据题意利用点差法分析运算；

（3）根据题意讨论直线的斜率是否为0，结合韦达定理以及向量的线性运算分析运算.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次为、、，

则可得，

因为双曲线的焦点在x轴上，且渐近线是，则，即，

可得，即，所以，

又因为点在椭圆上，则的周长为，

解得，

可得，

所以椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程.

（2）设，则的中点，

由题意可知：，则，

可得，

因为在双曲线上，则，两式相减可得，

整理得，即，

又因为，则，

且点均在直线上，则点即为点，即为的中点.

（3）设，

当直线的斜率为0时，则，

可得，

因为，则，解得，

又因为，则，解得，即；

当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为，

可得，

联立方程，消去x得，

则，解得或，

可得，

因为，则，整理得，

由，可得，

又因为，则，

整理得；

综上所述：点的轨迹方程为.

【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法

在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．

21．(1)是的“和谐数组”，理由见解析；

(2)为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.

(3)见解析

【分析】（1）代入有，根据指数函数、幂函数性质可得，再将代入即可证明；

（2）代入值有，直接求导，令导函数为0即可得到其极值点；

（3）假设存在,使得,通过和谐数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用二次函数的性质即可证明假设不成立.

【详解】（1）是的“和谐数组”,理由如下：

当时,.根据幂函数、指数函数的性质,对任意,都有.对任意,代入,得:

是的“和谐数组”.

（2）当,

于是可列表如下:

为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.

（3）反证法:假设存在,使得,则对任意,都有.

对任意恒成立.令，则在上恒成立,

由二次函数性质可知,必存在使得当时,恒成立,且此时,

当时有，

其中，

由二次函数性质可知,必存在使得当时，.

这与在上恒成立矛盾.

对任意,都有

【点睛】关键点睛：本题第3问的关键是运用反证法，首先假设存在,使得,根据和谐数组的定义转化得存在,使得,设，通过二次函数与指数函数的图象与性质即可推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明.