【数学】江苏省盐城市五校2022-2023学年高一下学期联考试题

江苏省盐城市五校2022-2023学年高一下学期

联考数学试题

（总分150分  考试时间120分钟）

注意事项：

1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．

2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用005毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．

3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，为锐角，，，则的值为（    ）

A．  B．  C． D．

2．若复数满足，则（    ）

A．3  B．  C．  D．

3．已知向量，，且，则实数等于（    ）

A．2  B．  C．8  D．

4．如图，四边形是平行四边形，点，分别为，的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．  D．

5．如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（    ）

A．12  B．  C．  D．

16．在中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状一定为（    ）

A．直角三角形  B．钝角三角形  C．等边三角形  D．等腰三角形

7．“阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知正方体边长为6，则该半正多面体外接球的表面积为（    ）

A．  B．  C．  D．

8．在中，为角的平分线，若，，则等于（    ）

A．0  B．  C．  D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，下列结论正确的是（    ）

A．与的夹角为

B．

C．

D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）

10．计算下列各式，结果为的是（    ）

A．  B．

C．    D．

11．在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，符合条件的有一个，则

12．如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，．若将正三棱锥绕旋转，使得点，分别旋转至点，处，且，，，四点共面，点，分别位于两侧，则（    ）

A．

B．平面

C．二面角的平面角的余弦值为

D．多面体的外接球的体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．如图，中，为中点，，，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是______．

14．已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，，则的取值范围是______．

15．已知，为的共轭复数，若，则______．

16．正三棱锥的底面边长为3，高为，则三棱锥的外接球的表面积是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

如图，在中，已知，，，，，，相交于点．设，．

（1）用向量，表示；

（2）求，夹角的余弦值．

18．（本小题满分12分）计算．

（1）求的值；

（2）化简．

19．（本小题满分12分）

在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）证明：

（2）若，，求的面积．

20．（本小题满分12分）

已知复数是方程的一个复数根，且的虚部大于零．

（1）求；

（2）若（，，为虚数单位），求．

21．（本小题满分12分）

如图，三棱柱的侧面是边长为1的正方形，侧面侧面，，，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若为线段的中点，求三棱锥的体积．

22．（本小题满分12分）

十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

（1）若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子的长；

（2）若在另一次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；

（3）在杆上有两点，满足．当横档的中点位于时，记太阳高度角为（），其中，都是锐角．证明：．

参考答案

一、单选题

1-5．DBDDC   6-8．DAC

二、多选题

9．BD  10．BD  11．ABC 12．BCD

三、填空题

13． 14． 15． 16．

四、解答题

17．解：（1）由题意可得：

（2）因为

由题意可得：

可得

即，，

所以

故，夹角的余弦值．

18．解：（1）

（2）

.

19．（1）证明：因为，所以，

所以．

所以，

即．

因为在中、、，所以，即，

故．即．

（2）解：由（1）可知．

因为，所以．则，．

由正弦定理可知．则．

故的面积．

20．解：（1）由，即，

可得，解得，

因为的虚部大于零，所以

（2）由（1）知，因为，所以

则，解得，所以．

21．（1）证明：在中，，，，

则在中，由余弦定理得，

因为，即，

所以，

由已知平面平面，且平面平面，

又平面，故平面，

又平面，则平面平面．

（2）解：由题意知，，

由（1）知，平面，平面，则，

又，且，，平面，

可得平面，因此为三棱锥的高，

因为，，所以，

又，

所以．

22．（1）解：如图1，

由题意得，，，且是的中点，，，

所以在中，．

（2）解：法一   由题意，．由于是的中点，且，

所以，且．

由余弦定理得

从而，

即太阳高度角的正弦值为．

法二   由题意，．由于是的中点，且，

所以，且，

于是且，

从而，

即太阳高度角的正弦值为．

（3）证明：由题意，，，

因为，都是锐角，则，，所以，从而．

根据，可知

因为函数在单调递增，且，，

所以，即.