江苏省常州市教育学会2022-2023学年高一下学期期中数学试题

常州市教育学会学业水平监测

高一数学2023年4月

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．的值为（    ）

A．     B．     C．     D．

2．半径为，面积为的扇形的圆心角为（    ）

A．     B．     C．     D．

3．在中，若，则边的长为（    ）

A．     B．     C．     D．

4．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的实部为（    ）

A．     B．     C．     D．

5．已知向量，满足，则在上的投影向量为（    ）

A．     B．     C．     D．

6．已知非零向量与向量共线，则的值为（    ）

A．     B．     C．     D．

7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，则（    ）

A．4     B．     C．8     D．

8．已知下列关于函数的四个命题中，有且仅有一个假命题，则该命题是（    ）

甲：该函数图象的一个对称中心为

乙：该函数图象的一条对称轴方程为

丙：该函数在区间上单调递减

丁：该函数图象向左平移个单位长度得到一个奇函数的图象

A．甲     B．乙     C．丙     D．丁

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知向量的夹角为，，则在下列向量中，与向量的夹角为锐角的向量有（    ）

A．     B．     C．     D．

10．已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（    ）

A．复数z的共轭复数的模为1          B．复数z在复平面内对应的点在第四象限

C．复数z是方程的解     D．复数满足，则的最大值为2

11．设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（    ）

A．     B．     C．     D．

12．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ）

A．若，则为等腰三角形

B．若，则为等腰三角形

C．若，则为等腰直角三角形

D．若，则为直角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若，则________．

14．在正六边形中，若，则________．

15．在中，点D在边上，，则的长为________．

16．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为________；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是________．（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知为第二象限角，且满足．

求值：（1）；（2）．

18．（本题满分12分）

已知函数的最大值为．

（1）求的最小正周期；

（2）求使成立的自变量x的集合．

19．（本题满分12分）

已知函数（其中）的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．

（1）求与的解析式；

（2）令，求方程在区间内的所有实数解的和．

20．（本题满分12分）

已知复数，其中i为虚数单位，．

（1）若是实数，求的值；

（2）设复数，对应的向量分别是，，若，求的值．

21．（本题满分12分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足下列条件中的一个或多个：①；②；③；④．

（1）若满足条件①，求证：满足条件②；

（2）求证：同时满足条件②，③，④的是唯一的（其三边长唯一确定）．

22．（本题满分12分）

若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形．容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为平面凸四边形．图①，②给出了两个不是平面凸四边形的例子．如图③，在平面凸四边形中，，设．

（1）求的取值范围；

（2）试用表示对角线的长，并指出取何值时的长最大．

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高一数学参考答案2023年4月

一、选择题：

1．C  2．A  3．B  4．D  5．A  6．D  7．B  8．B

二、选择题：

9．BC  10．ABD  11．BCD  12．ACD

三、填空题：

13．     14．    15．7     16．（或写作）

四、解答题：

17．解：（1）若为第二象限角，则．

又因为，故．

．

（也可以由得．）

（2）．

18．解：（1）因为

．

根据题意，，解得．

故．

所以函数的最小正周期．

（2）由，即．

则，解得，其中．

故使成立时x的集合．

19．解：（1）由图可知，

．

当时，，其中．

又因为，所以．

综上，的解析式为．

由题可知，．

（2）因为．

所以方程即，故或，

解得或其中．

又，故．

故所求的实数解的和为．

20．解：（1）．

因为为实数，所以，即，

又，故，则，

故；

（2）复数，对应的向量分别为．

因为，所以．故，

故，即，

又因为，所以，

则．

．

21．解：（1）由条件①，，根据正弦定理得，

因为，所以，

所以．

因为，所以，所以，或．

即或（舍去），故．即满足条件②．

（2）（方法1）若同时满足条件②，③，④，

由及正弦定理得．因为，所以，

又，所以．

根据余弦定理得，．又因为，所以，即，解得或．

当时，，由余弦定理，，

而，故．又A为锐角，故，又，注意到函数在上单调递减，．此时，同时满足条件②，③，④；

当时，，由余弦定理，，

而，故，故．此时，不满足条件②，舍去．

综上所述，同时满足条件②，③，④的是唯一的，其中．

（方法2）若同时满足条件②，③，④，

因为，所以可设，其中．

因为，所以，

又因为，

，所以．

整理得，，

．

又，故，从而．

当时，，满足．

又A为锐角，故，又，注意到函数在上单调递减，．此时，同时满足条件②，③，④：

故同时满足条件②，③，④的是唯一的，其中．

（注：若用方法2，得出“，，又，故”或者“，，又，故”，也相应地给分）

（方法3）先证明条件①与②等价：

根据（1）知，只需证明当时，有．

证明如下：因为，所以，所以，所以，所以，又，所以，根据正弦定理，．

再证明同时满足①，③，④的是唯一的，证明如下：

由及余弦定理得，，即，又，，解得，故同时满足条件①，③，④的是唯一的．

综合两方面得到，同时满足条件②，③，④的是唯一的，其中，，．

22．解：（1）根据题意，平面四边形为平面凸四边形，只需满足为锐角，且即可．在中，，故为锐角．设，在中，由余弦定理得，，

整理得，解得．

又因为，所以．

在中，由余弦定理得，

．

（2）在中，由余弦定理得，．

在中，由正弦定理得，．又，

在中，由余弦定理得，

，

故．

而满足，故当且仅当时，对角线长取最大值．