2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题（含解析）

这是一份2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，则有（    ）A． B． C． D．2．复数（其中为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设等比数列的前6项和为6，且，，则（    ）A． B． C． D．4．已知，向量与的夹角为，则（    ）A． B． C． D．5．设是定义在上的增函数，，那么必为（ ）A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数6．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（    ）A． B．2 C． D．7．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．8．已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是（    ）A． B． C． D．9．已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．设集合，则（    ）A．当时， B．对任意实数，C．当时， D．对任意实数， 二、填空题11．若，则 ________12．下列命题中：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③若奇函数，则实数；④图象过原点的奇函数必是单调函数；⑤函数的零点个数为2；⑥互为反函数的图象关于直线对称.上述命题中所有正确的命题序号是________.13．若函数的图象关于点对称，且关于直线对称，则______（写出满足条件的一个函数即可）.14．三棱锥中， 是边长为 的正三角形，，若该三棱锥的每个顶点均在球的表面上， 则球的体积是________ 三、双空题15．已知是角的终边上一点，则______，角的最小正值是______. 四、解答题16．已知函数.(1)求函数的单调增区间；(2)在中，分别是角的对边，且，求的面积.17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．(1)求证：EF//平面PBC；(2)若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长．条件①：；条件②：．18．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：班号1234人数30402010 该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.(1)求各班参加竞赛的人数；(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望；(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.19．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围.20．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点C，直线与轴交于点D，求证：四边形的面积为定值．21．已知数列的前n项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36.（1）当n为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当n为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求该数列的前n项和；（2）设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数l、，使得、、成等差数列？若存在，求出l、m（用k表示），若不存在，请说明理由.
参考答案：1．C【解析】根据集合的基本运算性质可得答案.【详解】集合， 则，故选：C.【点睛】本题考查了集合的基本运算、集合间的基本关系，属于基础题.2．C【解析】利用复数的除法法则将复数化为一般形式，进而可求得复数的共轭复数，由此可得出复数的共轭复数在复平面对应的点所在的象限.【详解】，则，因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.3．A【分析】先求得等比数列的公比，然后根据等比数列前项和公式列方程，解方程求得的值.【详解】由题意可得公比，则，即.故选：A【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.4．D【分析】利用向量的数量积去求的值.【详解】故选：D5．A【分析】可求得，根据奇偶性的定义可知为奇函数；设，则，根据单调性可证得，根据单调性定义可知为增函数，从而得到结果.【详解】为定义在上的奇函数设，则    为定义在的增函数    ，为定义在上的增函数综上所述：必为增函数且为奇函数本题正确选项：【点睛】本题考查利用定义判断函数的奇偶性和单调性，考查学生对于函数性质定义的掌握，属于基础题.6．A【分析】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，然后结合图形可得答案【详解】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，所以，故选A.7．B【分析】根据函数奇偶性排除，由排除，由此得到结果.【详解】，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；，可排除.故选：.【点睛】本题考查函数图象的识别问题，解决此类问题通常采用排除法，排除依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等，属于常考题型.8．D【分析】由双曲线的性质求解【详解】双曲线的渐近线为，而双曲线的离心率为，所以，即，得，故选：D9．B【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件.【详解】若在上单调递减，则，解得.所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B10．C【分析】依据选项将点代入验证即可.【详解】当时，，将代入A得：成立，故，即A错误；若时，此时将代入不成立，即B错误；当时，此时将代入不成立，即C正确；若时，此时将代入A得成立，即D错误；故选：C.11．【分析】，求得，令，求得，即可得解.【详解】解：令，则，令，则，所以故答案为：.12．③⑥【详解】试题分析：可举反例来说明其错误；‚当奇函数在处无定义的时候，图象就不通过原点，比如；ƒ奇函数在处有意义，所以；„若图象过原点的奇函数在单调时，其在定义域内必是单调函数，而当过原点的奇函数在不单调时，它在定义域内就不是单调函数，比如；…函数的零点即函数与的交点，作出图象可以发现它们在轴左侧有一个交点，右侧有两个交点，所以函数的零点个数为；†结合反函数的定义可知原函数的反函数互为逆运算，所以原函数图象若过点，则点必定在反函数的图象上，即它们的图象关于直线对称.考点：函数奇偶性的图象与性质，函数与方程及互为反函数的函数图象之间的关系.【方法点晴】多选题往往在一套试卷中对要考查的知识点起着补充作用，内容比较零碎，需要对每个命题都要做出准确的判断方能得分，正是这一要求导致其得分率比较低.在判断的过程中思维一定要考虑全面，从正、反两个方面进行考虑，特别是从正面不好直接判断时，可以从命题的反面看能否找出反例进行排除，比如在本题中‚„是用反例来进行否定，ƒ…†则是从正面直接判断.13．，【分析】由于三角函数既有中心对称又有轴对称，故选三角函数即可得解.【详解】易知三角函数的图像既有中心对称点，又有对称轴，由满足此条件，故答案为：.14．【分析】根据球的截面圆外心与球心连线垂直于截面所在的平面，分别寻找、的外接圆圆心，进一步找到分别垂直于这两个截面的垂线，其交点即为外接球球心.【详解】如图所示，在中，，所以，所以,又，得平面，设的中点分别为，连接，因为，所以平面，由平面，得，由 是边长为 的正三角形，所以，所以平面，过作平面，则，设的中心为，过作，交于点，则平面，所以点即为三棱锥外接球的球心，在中，，所以，在中，所以三棱锥的体积为.故答案为：.15．          【解析】根据三角函数的定义，求得的值，进而确定角的最小正值.【详解】由于是角的终边上一点，所以.由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以，当时，取得最小正值为.故答案为：（1）；（2）【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.16．(1)(2)  【分析】（1）利用倍角公式及两角和与差正弦化简化为，利用整体法可求函数的单调增区间.（2）先根据，求出角A,再根据一角三边关系，利用余弦定理求，最后代入面积公式计算即可.【详解】（1），令，其中，解得，.∴函数的单调递增区间是，其中.（2）.又.，故.在中，，，即，,.17．(1)证明见解析 (2)12. 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行；（2）分别选择条件，设PD边长，建系应用二面角余弦值求参数即得.【详解】（1）取的中点M，连接，∵M，F分别为的中点，∴是的中位线，∴且，又E为的中点，∴且，∴且，∴四边形是平行四边形，∴平面平面，∴平面.（2）选择条件①：,平面ABCD，,平面PCD，平面PCD, 平面PCD, ,,底面ABCD为菱形，E为AB的中点．,是等边三角形，以为z轴，为y轴,为x轴，建立空间直角坐标系， 设,则,设平面法向量为,设平面法向量为,,,,令,则,二面角的大小为∴，,选择条件②：．平面ABCD，,,取的中点O，,平面PDO，平面PDO, 平面PDO, ,,底面ABCD为菱形，O为BC的中点．,是等边三角形，以为z轴，以为x轴，以为y轴设,则,设平面法向量为,,,,令则,设平面的法向量为,,,,令,则,二面角的大小为∴，,18．(1)3,4,2,1(2)分布列见解析，2.8(3) 【分析】（1）根据分层抽样计算可得；（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；（3）计算1班每位同学获奖的概率，然后根据二项分布求解即可.【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为，故班分别抽取（人），（人），（人），（人）.（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，,,,,所以的分布列为：1234（3）由题意，1班每位同学获奖的概率为,设1班获奖人数为，则，所以至少1人获奖的概率为.19．（1）；（2）.【分析】（1）求出函数的导函数，再分别求出，根据倒数的几何意义，即为曲线在点处的切线的斜率，从而可得答案；（2）由对，恒成立，即恒成立，求出函数的单调区间，从而求得函数在上的最大值，即可得出答案.【详解】解：（1）因为，所以.所以又所以曲线在点处的切线方程为即.（2）由题意知：，.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又所以实数的取值范围为.20．（1）．（2）见解析【分析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，的面积，构建方程组，求得ab，代入椭圆方程得答案； （2）设有，分别表示直线和的方程，从而表示与，可得与长度关系式，进而可以表示，化简即证..【详解】（1）∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴．∵的面积为1，∴，，解得，．∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可知，，设，则，即．则直线的方程为．令，得，即．同理，直线的方程为，令，得，即．∴因为且，则原式．∴四边形的面积为定值2．【点睛】本题考查椭圆问题的综合问题，涉及求由abc表示椭圆的标准方程已经平面图形的面积为定值问题，属于难题.21．（1），；（2）存在；，.【分析】（1）根据通项公式与求和公式的关系求出，利用等差数列基本量运算求得，利用分类讨论思想求出结果．（2）由（1）可知：，若对于任意给定的正整数存在正整数，，使得，，成等差数列，利用分类讨论思想和整除问题，结合反证法可得结果．【详解】（1）因为，于是数列 是首项为1，公差为 的等差数列，所以，则：，当时，，又因为，所以，又因为，于是数列是等差数列，设的前 项和为，由于，则：，由于：，则：，解得：．所以：；当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，则：数列的前项和．当时，．当时，．当时，；进一步整理得：．（2）由（1）可知：，若对于任意给定的正整数存在正整数，，使得，，成等差数列．则：，即：，解得：，即：．则对于任意的正整数能整除，且．由于当时，中存在多个质数．所以：只能取1和或．若时，则，．于是，，符合．若时，出现矛盾，则舍去．若，则：，于是，出现矛盾，故舍去．综上所述：当时，存在正整数，，满足，使得，，成等差数列．【点睛】本题考查的知识要点：通项公式与求和公式的关系，等差数列基本量运算，整除问题，以及分类讨论思想和反证法的应用，同时考查了运算求解能力与转化思想，属于综合题．