2021届河北省衡水中学全国高三第二次联合考试（新高考）数学试题（解析版）

2021届河北省衡水中学全国高三第二次联合考试（新高考）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据集合交集的定义即可求解.

【详解】解：集合B中的元素在区间内的只有0，2，所以.

故选：B.

2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用除法运算化简后写出其共轭复数，进而作出判定.

【详解】，所以

所以其在复平面内对应的点位于第四象限.

3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的坐标表示写出向量，利用平面向量的夹角公式，即可计算得解．

【详解】解：由于，，

则：，

，，

可得．

故选：C．

4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，，，则

【答案】D

【分析】结合正方体的几何结构特征，根据线面位置关系的判定与性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，如图所示，在长方体中，

平面平面，平面，平面，

但与不平行，故错误；

对于B中，如图所示，平面，平面，，

但平面与平面不平行，故错误；

对于C中，如图所示，平面平面，平面且，但平面与平面不互相垂直，故错误；

对于D中，由平面与平面垂直的性质定理，得，又由，所以，

所以正确.

故选：D.

5．在五边形中，，，分别为，的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由向量的加法运算得到，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.

【详解】

,

故选：C

6．命题关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三个二次式的性质，求得命题的充要条件，结合选项和充分不必要的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，命题不等式的解集为，

即不等式的解集为，

可得，解得，即命题的充要条件为，

结合选项，可得，所以是的一个充分不必要条件.

故选：D.

7．面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段.科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联合攻关.其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线.若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（    ）

A．14700 B．16800 C．27300 D．50400

【答案】B

【分析】利用组合数以及分类、分步计数原理即可求解.

【详解】将其余的7个团队分成5个组，然后再分配给各技术路线.

第一类方案：按3，1，1，1，1分组，先从7个队中选择3个队，然后全排，有种.第二类方案：按2，2，1，1，1分组，先分组再分配，共有种.

综上，由分类加法计数原理知，共有16800种分配方案.

故选：B

8．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用三角恒等变换化简，然后将问题转化为对恒成立，由换元法，令，将问题进一步转化为对恒成立，然后利用柯西不等式求解最值即可．

【详解】解：因为，

所以对任意恒成立，转化为对恒成立，

令，则，所以对恒成立，即对恒成立，

因为，当且仅当时取等号，

所以，即，

所以实数的取值范围为．

故选：A．

二、多选题

9．已知，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用对数函数的单调性可得，再利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】已知因为在区间上单调递减，

所以所以故正确

因为函数在区间上单调递减，

因为所以故B错误

因为

又所以

故C正确；

因为函数为单调递增函数，

所以，故D正确.

故选：ACD

10．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的有（    ）

A．为奇函数

B．的周期为

C．，都有

D．在区间上单调递增，且是小值为

【答案】ABC

【分析】先根据三角函数的图像变换求出的解析式，然后根据正弦型函数的图像与性质对选项A、B、C、D逐一判断即可.

【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得再将得到的图象向左平移个单位长度，得，

因为，所以为奇函数，故A正确；

由周期公式，所以的周期为，故正确；

又在时取得最小值，所以的图象关于直线对称，故C正确；

令，解得

所以在区间)上单调递增，取得

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以最小值为，故错误.

故选：ABC.

11．提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（    ）

A．数列的通项公式为

B．数列的第2021项为

C．数列的前项和

D．数列的前项和

【答案】CD

【分析】由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和

【详解】数列各项乘以10再减4得到数列

故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；

从而所以故B错误

当时；

当时

0.3.

当时也符合上式，所以故C正确

因为所以当时

当2时，

所以

所以

又当时也满足上式，所以，故D正确.

故选：CD.

12．在一张纸上有一圆与点，折叠纸片，使圆上某一点好与点重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，点的轨迹为椭圆

B．当，时，点的轨迹方程为

C．当，时，点的轨迹对应曲线的离心率取值范围为

D．当，时，在的轨迹上任取一点，过作直线的垂线，垂足为，则(为坐标原点)的面积为定值

【答案】ACD

【分析】对于：根据题意可得，则点的轨迹是以，为焦点的椭圆，即可判断是否正确；

对于：根据题意可得，则的轨迹为以点，为焦点的双曲线，其中，，进而可得双曲线的方程，即可判断是否正确；

对于：根据题意可得点的轨迹是以，为焦点的双曲线及方程，进而可得离心率，即可判断是否正确．

对于：根据题意可得的轨迹方程为，设，直线的方程，它与的交点的坐标，即可计算是否为定值，即可判断是否正确．

【详解】解：当时，点在圆内，此时有故的轨迹是以为焦点的椭圆，故A正确；

当时，点在圆外，此时有，

故的轨迹是以为焦点的双曲线，其中

故双曲线方程为故错误；

当时时的轨迹是以为焦点的双曲线，

方程为，所以离心率，当时4，故正确；

当时，的轨迹方程为，设则，直线的方程为，它与的交点的坐标为，

所以

所以为定值，故正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩.若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为___________.

【答案】70

【分析】利用正态分布的对称性求解即可

【详解】由题意20).

又所以200，

所以

故答案为：70

14．在中，，，分别是内角，，的对边，其中，，为线段的中点，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】利用向量的线性运算得到，利用向量的模和数量积运算求得|AM|关于b,c的表达式，进而利用基本不等式求最小值.

【详解】

因为，所以当且仅当时，

等号成立，所以

故答案为：

四、双空题

15．已知四棱锥的底面为正方形，，，若四棱锥的体积为，则以点为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度约为___________，该四棱锥外接球的体积为___________.(参考数据).

【答案】       

【分析】由题意画出图形，求得正四棱锥的斜高为，再求出的大小，由弧长公式求得以点为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度；再由勾股定理求出四棱锥外接球的半径，由球的体积公式可得四棱锥外接球的体积．

【详解】解：如图，连接，交于，连接，

由底面为正方形，且，得底面，

可得为四棱锥的高，

，又四棱锥的体积为，，即．

，则，

取中点，连接，则，可得，即，

则，，

以点为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度约为；

设四棱锥外接球的球心为，半径为，连接，

在中，可得，

即，解得．

该四棱锥外接球的体积为．

故答案为：，．

五、解答题

16．已知抛物线，其准线与轴交于点，则过点的抛物线的切线方程为___________.

【答案】或

【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，设出切点坐标，结合斜率写出切线方程，把点代入切线方程求出斜率及切点坐标，从而求出切线方程.

【详解】由题意知，抛物线的准线方程为，所以，

由得，所以

设切点坐标为则切线的斜率为，

所以切线方程为，

因为切线过点，所以，解得，

当时，，切线方程为；

当时，，切线方程为.

故答案为：或.

17．在①的外接圆面积为②的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.

问题：在中，内角，，的对边分别为，，，是边上一点已知，，，若___________，求的长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】条件选择见解析；.

【分析】由，结合二倍角公式进行化简可求，由，结合和差角公式及辅助角公式进行化简可求得为等边三角形，

选①，结合正弦定理及余弦定理可求，，再由余弦定理即可求解；

选②，由已知可知的面积，然后结合面积公式可求，，然后结合余弦定理可求；

选③，由已知可求，进而可求，，由的周长为，可直接求解．

【详解】解：因为，

所以

解得或舍去，

所以在中.

因为所以

所以由余弦定理得

又所以即，

所以为等边三角形.

因为

所以在中，由余弦定理得

选择条件①：由的外接圆面积为得

所以所以故.

选择条件②：由的面积为，

得的面积为，

所以解得故.

选择条件③：由的周长为，

得

所以故.

18．已知等差数列的前项和为，且

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据，计算得到，，从而得到，再求的通项公式即可.

（2）首先根据题意得到，再利用分组求和求解即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

因为，所以.

因为，所以.

所以，

所以

（2）由题意知，

因为，所以，即：.

因此.

所以

19．如图，已知圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为，，为母线，平面平面为的中点，为上的任意一点.

（1）证明：；

（2）当点为线段的中点时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）证明：过点作平面的垂线，垂足为，连接易证根据平面平面，由面面垂直的性质定理可得平面，进而有线面垂直的判定定理得平面进而证得

（2）以为坐标原点，OA，OB，OO所在直线分别为轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量计算.

【详解】（1）证明：过点作平面的垂线，垂足为，

如图，则是的中点，所以

又所以

连接因为，

所以为等边三角形.

因为点为的中点，所以

因为平面平面，

平面平面且

平面

所以平面

因为平面所以.

又因为平面平面，

所以平面

因为平面所以

（2）解：以为坐标原点，OA，OB，OO所在直线分别为轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

设平面的一个法向量为，

则，即

取得，

所以

因为平面，

所以平面的一个法向量为

所以

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定和性质，考查二面角的计算，关键是熟练掌握面面垂直的性质定理和利用线面垂直的判定定理与定义进行空间垂直的转化，利用空间直角坐标系和空间向量求二面角时要注意计算的准确性.

20．国务院办公厅印发了《关于防止耕地“非粮化”稳定粮食生产的意见》，意见指出要切实稳定粮食生产，牢牢守住国家粮食安全的生命线.为了切实落实好稻谷､小麦､玉米三大谷物种植情况，某乡镇抽样调查了村庄部分耕地(包含永久农田和一般耕地)的使用情况，其中永久农田100亩，三大谷物的种植面积为90亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为10亩；一般耕地50亩，三大谷物的种植面积为30亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为20亩.

（1）以频率代替概率，求村庄每亩耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率；

（2）上级有关部门要恪促落实整个乡镇三大谷物的种植情况，现从本乡镇抽测5个村庄，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为村庄每亩耕地(永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率.若抽测的村庄三大谷物的种植情况符合要求，则为本乡镇记1分，若不符合要求，记-1分.表示本乡镇的总积分，求的分布列及数学期望；

（3）目前在农村的劳动力大部分是中老年人，调查中发现，80位中老年劳动力中有65人种植三大谷物，其余种植棉､油､蔬菜等农作物；20位青壮年劳动力中有15人种植需要技术和体力，短期收益大的棉､油､蔬菜等农作物，其余种植三大谷物.请完成下表，并判断是否有的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关？

附：，其中.

【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）表格答案见解析，有的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关.

【分析】
（1）求得谷物种植总亩数与总耕地亩数的比值，即可作为所求概率；
（2）利用二项分布求得X的取值的相应概率，即可得到分布列，并计算期望值；
（3）计算K2的值与临界值比较即得.

【详解】解：（1）设事件为“耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物”，

则.

所以村庄每亩耕地种植三大谷物的概率为

（2）由（1）知，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为

由题意知的所有可能取值为

则，

则该乡镇的总积分的分布列为

（3）

的观测值

因为

所以有的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关.

【点睛】本题关键是熟练使用二项分布进行计算

21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，满足，且以线段为直径的圆过点

（1）求椭圆的标准方程；

（2）为坐标原点，若直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当的面积为定值1时，是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，值为.

【分析】（1）根据题意，借助向量工具得到，又根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程进行求解椭圆方程即可；（2）首先当直线的斜率不存在时，分别计算和，从而计算得到，接着当直线的斜率存在时，利用的面积为定值1得到关系式，从而可以化简得到.

【详解】解：（1）设

以线段为直径的圆过点，所以.

所以

所以

所以

将代人

解得

所以椭圆的标准方程为

（2）当直线的斜率不存在时，

设直线的方程为，

设则①.

又

所以②.

由①②得所以

当直线的斜率存在时，

设直线的方程为

设点

联立

得，

所以，

所以

所以③.

又

点到直线的距离，

所以

即

解得，

代入③式，得，

综上可知，当的面积为定值1时，是定值.

【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．设函数，.

（1）若，，试判断函数的极值点个数；

（2）设，若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）求得导函数，根据导函数的零点情况对m分类讨论，根据导数的正负研究函数的单调性，进而确定不同情况下极值点的个数；

（2）分离参数，转化为求函数的最值问题，然后利用导数研究函数的单调性从而解决问题.

【详解】解：（1）由题意得

则

①当时，

当时单调递增，当时单调递减.

所以在处取到极大值，有唯一的极大值点

②当时，极值点的个数与关于的方程的正实数根有关，

即与函数与函数的图象的交点个数有关.

令则

所以在区间上单调递增

结合图象知，（i）当时恒成立，

当时单调递增，当时单调递减.

所以在处取到极大值，有唯一的极大值点；

（ii）当时，存在唯一的，使得

若则方程1)有两个相等的实数根

当时单调递减，当时单调递减，

所以没有极值.

若则方程有两个不相等的实数根1和

此时有两个极值点.

综上，当时，函数有一个极值点，当且时函数有两个极值点，当时，函数无极值点；

（2）由题意知恒成立即恒成立，

等价于.令

则，令，易知在区间上单调递增，

当时，当时，

所以在区间(0，1)上存在唯一的零点且，

在区间上，单调递减，在区间上单调递增，

所以.

又因为所以即.

令，所以在区间上单调递增，

所以即所以，

所以，即

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题和不等式恒成立中的参数取值范围问题，关键是分类讨论思想和参数分离方法的运用，特别是利用零点存在定理，结合利用导数研究函数的单调性，确定有关无法直接求得的零点的范围，进而研究单调性的思想方法.