2021届河北省衡水中学全国高三下学期第二次联合考试（II卷）数学（文）试题（解析版）

2021届河北省衡水中学全国高三下学期第二次联合考试（II卷）数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据补集、交集的定义计算可得；

【详解】解：因为全集，集合

所以，所以．

故选：B

2．已知复数，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先化简复数，再求出共轭复数，根据几何意义即得.

【详解】复数，

则，

所以在复平面内对应的点 位于第四象限．

故选: D

3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】设第n天募捐到元，经分析数列是等差数列，利用前n项和即可解得．

【详解】设第n天募捐到元，则数列是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和．因为，所以至少需要8天可完成募捐目标．

故选：C

4．已知向量，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由平方结合数量积的定义可求.

【详解】因为，所以，即．

设与的夹角为，则，解得，

所以与的夹角为．

故选：D.

5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【分析】利用合情推理判断.

【详解】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；

假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；

假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；

假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求；

综上，优秀者为甲．

故选：A

6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】设左、右焦点分别为，以线段的中点为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设曲线上任意一点，由已知建立曲线方程化简得该卡西尼卵形线的方程为，由此可得选项.

【详解】设左、右焦点分别为，以线段的中点为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则．

设曲线上任意一点，则，化简得该卡西尼卵形线的方程为，显然其对称中心为．

由得，所以，所以，所以．当且仅当时等号成立，

所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为．

故选：B.

7．函数是一个求余函数，格式为，其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的，则输出的u的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的取值，可得答案.

【详解】模拟程序的运行可得：

当时，；

当时，；

当时，；

……

当时，，所以．

故选：A

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点作渐近线的垂线，垂足为P，且的面积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出点到渐近线的距离，在中，，从而可得，进而可求出离心率

【详解】双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，

在中，，

所以，离心率．

故选：D

9．已知函数的部分图象如图所示，函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先由图像求出的解析式，再由函数利用图像变换，即可求出正确的答案.

【详解】根据图像分析得：周期,解得：，

又有且解得：，所以.

要由的图象得的图象，只需将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得．

故选：C

10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的解析式，代入计算可得选项.

【详解】由题意得，所以当时，有最大值，

所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为．

故选：A.

11．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，圆心C的坐标为，可得以线段为直径的圆N的方程，两圆方程作差，得两圆公共弦的方程可得答案．

【详解】因为P为直线l上的动点，所以可设，

由题意可得圆心C的坐标为，

以线段为直径的圆N的圆心为，半径为，

所以方程为，两圆方程作差，

即得两圆公共弦的方程为，，

所以直线过定点．

故选：A.

12．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数进而判断为奇函数，且在R上是减函数，利用函数性质解不等式.

【详解】构造函数．

故函数定义域为 ,因为

所以是奇函数，

因为，

且 随 的增加而增加, 在 上单调递减.

，

在 上单调递减.

故在区间上是减函数．因为是奇函数且，所以在R上是减函数．

不等式等价于，

即即，

所以，

故不等式解集为.

故选: D

二、填空题

13．已知角的终边上有一点，则的值为___________．

【答案】

【分析】由任意角的三角函数的定义求出，再利用余弦的二倍角公式可求得结果

【详解】由题意得，则．

故答案为：

14．若x，y满足约束条件则的最小值为__________．

【答案】

【分析】作出可行域,根据截距的几何意义即得.

【详解】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，

所以当目标函数过直线的交点时，

z取最小值，所以．

故答案为：

15．已知直线为曲线的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为__________．

【答案】4或

【分析】先根据直线为曲线的切线，求出直线l的方程；根据直线l与曲线相切，利用判别式，解出m的值.

【详解】设直线与曲线相切于点，

由，得，所以切点坐标为，

所以直线l的方程为．

又由直线l与曲线相切，联立方程，消去y得：，

化简得，

因为直线l与曲线也相切，所以

解得或．

故答案为：4或.

16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则外接圆半径的最小值为______________．

【答案】

【分析】利用两角和的正弦公式，正弦定理，余弦定理可得，进而利用同角的正余弦关系和正弦定理即得.

【详解】由，

得

即

，所以由正弦定理得:

．

所以，

所以，

设外接圆半径为R，

由正弦定理可得：，

所以，即外接圆半径的最小值为．

故答案为：

三、解答题

17．已知在公比为2的等比数列中，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用等比数列的基本量代换，求出，套公式求出通项公式；

（2）分别分析出奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，利用分组求和法求和即可.

【详解】解：（1）因为数列的公比q为2，

所以．

因为成等差数列，

所以，

解得，所以．           

（2）由（1）可得

所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以

．

18．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：

从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．

（1）求列联表中p，q，x，y的值；

（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？

（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？

参考公式及数据：，其中．

【答案】（1）8，32，24，76；（2）没有；（3）.

【分析】（1）由女性的概率是，结合列联表即可求出；

（2）根据列联表中数据计算的值，对照临界值得出结论；

（3）利用分层抽样和列举法求得基本事件数，计算所求的概率值.

【详解】（1）由题意得，

解得，所以，     

所以．     

（2）由列联表中的数据可得的观测值．     

所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关．           

（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，

所以抽样比 ，    

因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性人，记为，

女性人，记为，     

从这6人中抽取2人的所有方式为，，，，，，，，，，，，，，，

共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为．

【点睛】本题考查了独立性检验以及列举法求古典概型的概率，解题的关键点是熟练掌握相关知识，考查了学生对数据的分析和计算能力，属于基础题.

19．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．

（1）证明：平面；

（2）若M是上一点，且，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明；

（2）先根据平面，得到，进而求出，得到为等腰三角形，再根据余弦定理求出，即可得到，再根据，即可求解.

【详解】解：（1）证明：因为四边形为菱形，

,

又平面平面，平面平面平面，

平面，    

平面，

，     

又，

，

即．           

又平面，

平面；           

（2）解：由（1）得平面，

平面，

，           

即，

为等腰三角形，

在中，由余弦定理得：，

又，

，

即，

故，           

又，

．

20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用点在椭圆上及即得；

（2）利用直线与椭圆联立方程，韦达定理及可得直线方程.

【详解】解：（1）由椭圆E的方程可得．

设，则，

所以．

又点在椭圆E上，

所以，所以，

所以，

所以椭圆E的离心率．           

（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，

所以椭圆E的标准方程为．     

设直线l的方程为，线段的中点为，

联立消去y，得，

则，

解得，

所以，           

所以，

所以．           

由，得，     

所以，

解得．           

又因为以线段为直径的圆过点R，

所以，

所以．

又，代入上式整理得，

即，

解得．

所以直线l的方程为．

21．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）在区间上，是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）存在，最大值为，最小值为.

【分析】（1）求出导数，根据导数正负可得单调性；

（2）判断得出a是函数的唯一零点，可得，根据单调性可求.

【详解】解：（1）由题意得函数的定义域为，     

则，

令，得．

因为，所以．

当x在定义域上变化时，的变化情况如下表：

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．           

（2）令，得，

则a是函数的唯一零点．           

因为，

所以，所以．

当时，；当时，．           

由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，     

所以在区间上的最大值为，最小值为，其中．

22．在直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．

（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；

（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当面积最大时，求直线l的直角坐标方程．

【答案】（1），；（2）或．

【分析】（1）直接消去参数化为普通方程，进而可化为极坐标方程；

（2）求得点的直角坐标和圆的圆心坐标和半径，运用三角形的面积公式和正弦函数的最值，可得面积的最大值，求得圆心到直线的距离，分别讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式，解方程可得结果

【详解】解：（1）由得，

所以圆C的普通方程为，

即，，

所以圆C的极坐标方程为，

（2）点的直角坐标为，圆：的圆心为，半径为，

，当时，面积最大，

此时圆心到直线的距离，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为，即，

综上，直线l的直角坐标方程为或

23．设函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分类讨论得出函数的解析式，再分别代入解不等式，可得解集；

（2）根据（1）化简得的函数的解析式，分别讨论建立不等式组可求得实数a的取值范围．

【详解】解：（1）由题意得  ，

当时，令，解得；

当时，令，解得．     

综上所述，的解集为．     

（2）由（1）得

当，，即，此时，应有解得；     

当时，，即，此时，应有解得．     

综上所述，实数a的取值范围是．