初中人教版9.3 一元一次不等式组同步练习题

这是一份初中人教版9.3 一元一次不等式组同步练习题，共35页。试卷主要包含了阅读乘法法则确定解集，阅读新定义，阅读|a|型不等式，阅读特殊不等式等内容，欢迎下载使用。
尖子生培优题典
不等式与不等式组中的阅读理解题
类型一、阅读乘法（或除法）法则确定解集
例1．阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则
即可以写成：
解不等式组得：
②当若，则
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集：或．
（以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)；
(2)．
针对训练1
1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为_______；
(2)试解一元二次不等式；
(3)试解不等式．
2．阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式
①
②
3．解不等式：．
解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以．
所以不等式的解集为或．
请你根据上面的解法解不等式：．
4．自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则．
（1）反之：若，则或；若，则______或_______．
（2）根据上述规律，求不等式的解集．
（3）直接写出分式不等式的解集___________．
5．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
类型二、阅读新定义
例1．定义一种新运算“ab”：当a≥b时，ab=a+2b；当a＜b时，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，．
（1）填空：（-3） （-2）=　　 ；
（2）若则x的取值范围为　　；
（3）已知，求x的取值范围；  
（4）利用以上新运算化简：．
针对训练2
1．对x，y定义一种新的运算G，规定：（其中m≠0），例如：G（1，1）=m×1+n×1=m+n．已知G（2，1）=0，G（0，2）=2．
（1）求m，n的值；
（2）若关于正数p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围；
（3）请直接写出时，满足条件的x2与y2的关系式为_________．
2．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．若．
（1）求a，b的值．
（2）解关于m的不等式：T（2m，3–4m）≤8．
3．已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为．
（1）求有理数对的“求真值”；
（2）求证：有理数对与的“求真值”相等；
（3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值．
4．我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________．
类型三、阅读|a|型不等式
例1．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．

由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是 ．
②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
针对训练3
1．阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题：

(1)不等式的解集为______；
(2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集．
2．数学实验室：
、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　；
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　；
(3)若x表示一个有理数，且，则＝　　；
(4)若x表示一个有理数，且＞4，则有理数x的取值范围是　　．
3．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时：
解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即时，
解这个不等式，得：
由条件，有：

∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：
（1）；    
（2）．
4．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．  
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．

∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：

③.当为何值时，代数式的最小值是2
类型四、阅读特殊不等式
例1．阅读下列材料：
[数学问题]已知x−y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x−y＝2，∴x＝y+2
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞−1
又∵y＜0，
∴−1＜y＜0①
同理得：1＜x＜2②
由①+②得：−1+1＜x+y＜0+2
即：0＜x+y＜2
(1)[类比探究]在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ．
(2)已知x−y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
(3)已知y≥1，x＜−1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x−2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
针对训练4
1．【阅读思考】阅读下列材料：
已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2
又∵x＞1
∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0 ①
同理1＜x ＜2 ②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y 的取值范围是0＜x+y ＜2
【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x ﹣y ＝3，且x ＞ 2，y ＜1，则x+y的取值范围是 ；
【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围．
2．阅读下列材料：已知，且，，试确定的取值范围.
解：


......①
又......②
由①与②组成不等式组，得
解得
将代入得：

（依据不等式性质）
（依据不等式性质）
即
的取值范围为：
（1）请仿照上述方法，完成问题：已知，且，，试确定的取值范围.
（2）若设（1）中，，求的最大值与最小值差的平方根.
3．已知实数满足，且，设，则的取值范围是_____．





尖子生培优题典
不等式与不等式组中的阅读理解题（解析版）
例1．阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则
即可以写成：
解不等式组得：
②当若，则
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集：或．
（以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可；
（2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可．
【详解】（1）当时，，
可以写成,
解得：；
当时，，
可以写成,
解得：，
综上：不等式解集：或；
（2）当时，，
可以写成，
解得；
当时，，
可以写成，
解得：无解，
综上：不等式解集：．
【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算
针对训练1
1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为_______；
(2)试解一元二次不等式；
(3)试解不等式．
【答案】(1)或
(2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5
(3)的解集为1＜x＜4

【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得；
（3）需要分类讨论：①     ②据此求解可得．
【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0
∴ 或
解得：x＞3或x＜-3．
故答案为：或 ；
（2）∵，
∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得
①     ②
解不等式组①，得0＜x＜5；
解不等式组②，无解，
∴的解集为0＜x＜5，
即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5．
（3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得
①     ②
解不等式组①，得1＜x＜4；
解不等式组②，无解，
∴的解集为1＜x＜4．
【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则．
2．阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式
①
②
【答案】（3）①或；②
【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可；
②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可．
【详解】解：（3）①，
∴当时，解得：；
当时，解得：；
∴原不等式的解集为或；
②

∴当时，解得：；
当时，不等式组无解；
∴原不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解
3．解不等式：．
解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以．
所以不等式的解集为或．
请你根据上面的解法解不等式：．
【答案】或
【分析】根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
【详解】由题意得：①或②．由①得，
∴．由②得，，
∴．所以不等式的解集为或．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确分析是解题的关键．
4．自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则．
（1）反之：若，则或；若，则______或_______．
（2）根据上述规律，求不等式的解集．
（3）直接写出分式不等式的解集___________．
【答案】（1）或；（2）或；（3）或
【分析】（1）根据有理数的运算法则，两数相除，同号得正，异号得负即可解答.
（2）根据不等式大于0得到分子分母同号，再分类讨论即可.
（3）观察不等式后，发现分子相同且为正数，故只需要比较分母，再对分母的正负性进行分类讨论即可.
【详解】解：(1)若，则分子分母异号，故 或
故答案为： 或 .
(2)∵不等式大于0，∴分子分母同号，故有：
或
解不等式组得到：或.
故答案为：或.
(3)由题意知，不等式的分子为是个正数，故比较两个分母大小即可.
情况①：时，即时，，解得：.
情况②：时，即时，，解得：.
情况③：时，此时无解.
故答案为：或.
【点睛】本题借助有理数的除法法则考查了不等式的解法，题目比较新颖，需要进行分类讨论，将分式型不等式化成不等式组的形式处理是解决此题的关键；第3问中分子相同且为正数，故对分母的大小及正负性分类讨论.
5．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式
【答案】
【分析】根据题意，由材料中的解不等式的方法进行解不等式，即可求出答案.
【详解】解：根据题意，
∵，则；
∵，
分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：无解，
∴原不等式的解集为：.
【点睛】本题考查了解不等式组，以及解分式不等式，解题的关键是熟练掌握材料，利用材料的方法进行解题
类型二、阅读新定义
例1．定义一种新运算“ab”：当a≥b时，ab=a+2b；当a＜b时，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，．
（1）填空：（-3） （-2）=　　 ；
（2）若则x的取值范围为　　；
（3）已知，求x的取值范围；  
（4）利用以上新运算化简：．
【答案】（1）1 ；（2）；（3）或；（4）
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知，解之可得；
（3）分类讨论，列出不等式组，分别求解可得；
（4）先利用作差法判断出，再根据公式计算可得．
【详解】（1）∵，
∴(-3)( -2)=-3-2×(-2)=1，
故答案为： 1；
（2）∵
∴，
解得：，
故答案为：；
（3）由题意可知分两种情况讨论：
①，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：；
②，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：；
综上所述：x的取值范围为或；
（4）∵
=
=
∴，
∴


．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减运算．解题的关键是根据新定义列出关于不等式(组)或代数式．
针对训练2
1.对x，y定义一种新的运算G，规定：（其中m≠0），例如：G（1，1）=m×1+n×1=m+n．已知G（2，1）=0，G（0，2）=2．
（1）求m，n的值；
（2）若关于正数p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围；
（3）请直接写出时，满足条件的x2与y2的关系式为_________

【答案】（1）；（2）；（3）当x2＞y2时，x2＝2y2；当x2＝y2时，x2＝－y2；当x2＜y2时，y2＝2x2．
【分析】（1）根据新定义可得G（2，1）＝2m＋n，G（0，2）＝2m，进而得出方程组求解即可；
（2）代入m，n的值化简，然后根据新的运算G列出不等式组并求解，再根据不等式组恰好有3个整数解得出关于a的不等式组，计算即可；
（3）根据新运算G，分情况列方程求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：G（2，1）＝2m＋n，G（0，2）＝2m，
∴，
∴；
（2）由（1）化简得：，
∵p为正数，
∴3p＞p，－1－3p＜（－2p），
∴不等式组可化为：，
∴，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴整数解为－2，－1，0，
∴，
∴；
（3）∵，
∴当x2＞y2时，x2－2y2＋x2－2y2＝0，
∴x2＝2y2，
当x2＝y2时，x2－2y2＋y2－2x2＝0
∴x2＝－y2；
当x2＜y2时，y2−2x2＋y2−2x2＝0，
∴y2＝2x2，
∴满足条件的x2与y2的关系式为：当x2＞y2时，x2＝2y2；当x2＝y2时，x2＝－y2；当x2＜y2时，y2＝2x2.
故答案为：当x2＞y2时，x2＝2y2；当x2＝y2时，x2＝－y2；当x2＜y2时，y2＝2x2.
【点睛】本题考查新定义的运算，解二元一次方程组及解一元一次不等式组，根据新定义的运算列出方程组或不等式组是解题的关键．
2.对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．若．
（1）求a，b的值．
（2）解关于m的不等式：T（2m，3–4m）≤8．
【答案】（1）（2）m≥
【分析】（1）根题意把分别代入式子，列出方程组，解方程即可得出答案.
（2）由（1）得T（x，y）=，然后代入T（2m，3–4m）≤8，得出一元一次不等式，计算即可得出答案.
【详解】（1）根据题意得： ，，
整理得出： ，
解得： ；
（2）由（1）得T（x，y）=；
由题意得： ≤8
2m+9－12m≤24
m≥
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式，弄清题目的新运算是解题的关键.
3. 已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为．
（1）求有理数对的“求真值”；
（2）求证：有理数对与的“求真值”相等；
（3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值．
【答案】（1）；；（2）见解析；（3）或．
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）利用已知的新定义化简，比较即可；
（3）已知等式利用题中的新定义化简，求出a的值即可．
【详解】解：（1）；
；
（2）设，
则，，
∴；
（3）当时，
若时，则，
解得：（舍去）或；
若时，则，
解得：；
当，
若时，则，
解得：（舍去）或；
若时，则，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及乘方的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4. 我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________．
【答案】．-5
【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解．
【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3，
则3＜xy＜5，
又∵x、y均为整数，
∴x=1，y=4；此时，x+y=5；
x=2，y=2；此时，x+y=4；
x=-1，y=-4；此时，x+y=-5；
x=-2，y=-2；此时，x+y=-4；
故x+y的最小值是-5，
故答案为-5．
【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．
类型三、阅读|a|型不等式

例1．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．

由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是 ．
②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3；
（2）①或；②；（3）或，见解析．
【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集．
【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于；
②
令，

使不等式“”成立的整数为，，
故答案为：，．
（2）①由题意可知，
不等式的解集是或，
故答案为：或；
②由题意可知，不等式的解集为：
，
即，
故答案为：；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值，
如下图所示，

可知不等式的解集是或．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
针对训练3
1．阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题：

(1)不等式的解集为______；
(2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】（1）根据题中所给出的例子进行解答即可；
（2）根据题中所给的实例列出关于的不等式组，求出其解集即可．
【详解】（1）解：的解集是，
不等式的解集为：．
故答案为：；
（2）解：的解集是，
求的解集是，
可化为，
求的解集实质上是求不等式组，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键．
2．数学实验室：
、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　；
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　；
(3)若x表示一个有理数，且，则＝　　；
(4)若x表示一个有理数，且＞4，则有理数x的取值范围是　　．
【答案】(1)3
(2)
(3)4
(4)或
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可；
（2）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可；
（3）由结合绝对值的性质可得，进而合并同类项即可；
（4）分别根据、、结合绝对值的性质解，解答即可．
【详解】（1）解：和的两点之间的距离，
数轴上表示2和5的两点之间的距离是3．
故答案为：3；
（2）解：和的两点之间的距离为：，
数轴上表示和的两点之间的距离表示为：．
故答案为：；
（3）解：，
．
故答案为：4；
（4）解：当时，原式，解得，，
当时，原式，解得，，
当时，原式，不符合题意，故舍去，
有理数的取值范围是：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了绝对值，两点间的距离公式，解题的关键是明确的几何意义．
3.阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时：
解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即时，
解这个不等式，得：
由条件，有：

∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：
（1）；    
（2）．
【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．
【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得；
（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得．
【详解】解：（1）|x+1|≤2，
①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，
解这个不等式，得：x≤1
由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；
②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2
解这个不等式，得：x≥-3
由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1
∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．
（2）|x-2|≥1
①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1
解这个不等式，得：x≥3
由条件x≥2，有：x≥3；
②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1，
解这个不等式，得：x≤1，
由条件x＜2，有：x≤1，
∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键．
4．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．  
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．

∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：

③.当为何值时，代数式的最小值是2

【答案】①6；②或；③或
【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；
②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，
∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
且线段AB的长度为6，
∴的最小值为6.
故答案为：6.
②设A表示-3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
的几何意义表示为PA+PB，
∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
③设A表示-a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为，
的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，
∴
∴或，
即或；
故答案为：或.
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键.
类型四、阅读特殊不等式
例1．阅读下列材料：
[数学问题]已知x−y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x−y＝2，∴x＝y+2
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞−1
又∵y＜0，
∴−1＜y＜0①
同理得：1＜x＜2②
由①+②得：−1+1＜x+y＜0+2
即：0＜x+y＜2
(1)[类比探究]在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ．
(2)已知x−y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
(3)已知y≥1，x＜−1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x−2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)当时，；当时，；当时，

【分析】（1）仿照阅读材料求出的取值范围；
（2）①仿照阅读材料求出y的取值范围；②仿照阅读材料求出x的取值范围，再利用不等式的同号可加性，即可求出x+2y的取值范围；
（3）仿照阅读材料分情况讨论出x、y的取值范围，再可以利用不等式的同号可加性，即可求出x−2y的取值范围；
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴①，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，②，
由①+②得：，
即：，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②∵，
∴①，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，②，
由①+②得：，
即：；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴当时，，则，故①，
当时，，则，故②，
当时，，则，故③，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴当时，，则④，
当时，，则⑤，
当时，，则⑥，
∴当时，①+④得，则，即，
当时，②+⑤得，则，即，
当时，③+⑥得，则，即．
故答案为：当时，；当时，；当时，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，二元一次方程的解，理解例题的解题思路，和注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件是解题的关键．
针对训练4
1．【阅读思考】阅读下列材料：
已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2
又∵x＞1
∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0 ①
同理1＜x ＜2 ②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y 的取值范围是0＜x+y ＜2
【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x ﹣y ＝3，且x ＞ 2，y ＜1，则x+y的取值范围是 ；
【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围．
【答案】（1）1＜x+y＜5；（2）0＜x﹣y＜10．
【分析】（1）模仿材料的计算方法，即可求出答案；
（2）根据已知算式求出y、x的范围，再求出答案即可．
【详解】解：（1）∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1①
同理可得：2＜x＜4②
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是：1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）∵x+y＝2，
∴x＝2﹣y，
又∵x＞1，
∴2﹣y＞1，
∴y＜1，
又 ∵y＞﹣4，
∴﹣4＜y＜1，
∴﹣1＜﹣y＜4①，
同理得：1＜x＜6②，
由①+②得：0＜x﹣y＜10，
∴xy的取值范围是：0＜x﹣y＜10．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、列代数式等知识点，能分别求出x、y的范围是解此题的关键，注意：求解过程类似．
2．阅读下列材料：已知，且，，试确定的取值范围.
解：


......①
又......②
由①与②组成不等式组，得
解得
将代入得：

（依据不等式性质）
（依据不等式性质）
即
的取值范围为：
（1）请仿照上述方法，完成问题：已知，且，，试确定的取值范围.
（2）若设（1）中，，求的最大值与最小值差的平方根.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可；
（2）由（1）得，，得到n=2m-2,在进行分析即可得出的最大值与最小值，再求差的平方根即可.
【详解】解: (1)


①
②
由①和②组成不等式组得

解得
将代入得



, 即
的取值范围为:
(2)




的最大值为, 最小值为
的最大值与最小值差的平方根为
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难度一般．
3．已知实数满足，且，设，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据得到，通过解不等式得出x的取值范围，表达出即可求出k的取值范围．
【详解】解：由得：，
∵
∴
解得
又∵
∴
∴
∴
即
故答案为：
【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围，求代数式的取值范围，解题的关键是对已知条件进行变形．