安徽省固镇县2023届高三数学三模试卷（Word版附解析）

2023年安徽省固镇县高考数学三模试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，集合，则集合的元素个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数与的交点坐标，即可判断.

【详解】由，消去得，即，

解得或（舍去），

所以或，

即方程组的解为或，

即函数与有两个交点，

又集合，集合，

所以

即集合的元素个数为个.

故选：B

2. 直线的一个方向向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可.

【详解】因为直线可化为，

所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量为，

对于A，与不平行，故A错误；

对于B，与不平行，故B错误；

对于C，与不平行，故C错误；

对于D，，故与平行，则也是直线一个方向向量，故D正确.

故选：D.

3. 已知直线：，：，则条件“”是“”的（    ）

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件

C 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据两直线垂直的性质，可得，求出的值，即可判断.

【详解】若，则，

解得或.

故是的充分不必要条件.

故选：B

4. 标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.

【详解】由题意，对于，有

，

所以，分析选项B中与其最接近.

故选：B

5. 已知单位向量，满足，则（    ）

A. 2 B.  C.  D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据模的运算先求出，进而解出.

【详解】由题意，，由，所以.

故选：C.

6. 已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.

【详解】因为，

所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可，

故选：C.

7. 的展开式中各项系数之和为，则该展开式中常数项为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】取代入计算得到，确定展开式的通项，分别取和计算得到答案.

【详解】的展开式中各项系数之和为，令，可知，，

故，

展开式的通项为，

分别取和得到常数项为：，

故选：C

8. 若椭圆（）与双曲线（）有共同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（    ）

A. 3 B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，中，由三边的关系得出其为直角三角形，由的面积公式即可运算得到结果．

【详解】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为，

椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，

由它们有相同的焦点，得到，即．

不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①

由椭圆的定义，②

①2②2得，

即有，

又，

可得，

，即，

则的形状是直角三角形

即有的面积为．

故选：B．

【点睛】本题考查焦点三角形的面积，注意运用椭圆与双曲线的定义，求焦点三角形三边的关系，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，考查运算能力，属于中档题．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列命题中，错误的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用指数函数的单调性即可判断A；利用对数函数的单调性即可判断B；利用指数与对数函数的单调性即可判断C；利用指数与对数函数的单调性即可判断D.

【详解】，因此不正确；

，则，因此B正确；

取，则，因此C不正确；

，则因此D不正确．

故选：ACD

10. 某地区经过2022年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（    ）

A. 新农村建设后，种植收入增加

B. 新农村建设后，其他收入是原来的1.25倍

C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D. 新农村建设后，其他收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的

【答案】AC

【解析】

【分析】设建设前农村的经济收入为，则新农村建设后经济收入为，根据扇形图的比例关系计算选项中的各部分，即可对选项一一验证.

【详解】设建设前农村的经济收入为，则新农村建设后经济收入为，

建设前农村的种植收入为，则新农村建设后经济收入为，故A正确；

建设前农村的其他收入为，则新农村建设后其他收入为，倍，故B错误；

建设前农村养殖收入为，则新农村建设后养殖收入为，故C正确；

新农村建设后，其他收入与第三产业收入的总和占比，故D错误；

故选：AC.

11. 新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“冠状病毒病”，是指新型冠状病毒感染导致的肺炎，用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（    ）

A. 每人必有人患有新冠

B. 若，则事件与事件相互独立

C. 若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为

D. 若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为

【答案】BD

【解析】

【分析】用条件概率，对立事件，相互独立事件的概率的基本性质逐一对选项判断即可.

【详解】选项A，由，知每人中可能有人患有新冠，即选项A错误；

选项B，因为，所以，所以与相互独立，所以与相互独立，即选项B正确；

选项C，由，知若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，即选项C错误；

选项D，因为，所以，所以若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，即选项D正确．

故选：BD

12. 函数在上有定义，若对任意的，，有则称在上具有性质，则下列说法正确的是（    ）

A. 在上具有性质；

B. 在其定义域上具有性质；

C. 在上单调递增；

D. 对任意，，，，有

【答案】BD

【解析】

【分析】根据所给定义及基本不等式证明A、B、D，利用反例说明C；

【详解】解：对于A：定义域为，设任意的，，则，，，则，因为当且仅当时取等号，且在定义域上单调递增，所以，即，故A错误；

对于B：定义域为，设任意的，，则，，，则，因为当且仅当时取等号，

所以，故，故在其定义域上具有性质，故B正确；

对于C：若为常数函数，如，显然对任意的，，都有，满足性质，但是不具有单调性，故C错误；

对于，有

，故D正确．

故选：BD

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）

13. 已知，为虚数单位，若复数，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得．

【详解】因为

由，得，得．

故答案为：．

14. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”若将题中“关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第关”，则第关需收税金为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

依次算出前3关所收税金，找出规律即可.

【详解】第关收税金，第关收税金，

第关收税金，……第关收税金

故答案为：

15. 已知函数，若函数在区间上的最大值为，最小值为.则实数的值为_______.

【答案】2

【解析】

【分析】由，得到，得到，结合和题意，列出方程组，求得的值，即可求解.

【详解】由题意，函数，

因为，则，所以，

又因为，所以，解得，所以.

故答案为：.

16. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

【详解】函数有两个零点，

和的图象有两个交点，

画出和的图象，如图，要有两个交点，那么

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 已知函数的最小正周期是，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．

（1）求的解析式；

（2）在中，角A，，的对边分别为，，，若，，的面积为，求边长的值．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式化简，再结合三角函数图象的变换计算即可；

（2）由题意结合三角形面积公式先求，再由余弦定理计算.

【小问1详解】

由题意可得：

的最小正周期为，且，，．

．

将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，

得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，

得到函数的图象，

故；

【小问2详解】

由1知，，

，．

的面积为，，

又，，得．

由．

得．

18. 近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：

（1）计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.0001），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数的相关性很强；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程.

参考公式：，，.

参考数据：，.

【答案】（1），可以   

（2）

【解析】

【分析】（1）由表中数据求出，，，，再根据相关系数公式计算相关系数，即可判断；

（2）根据所给数据求出，，即可得到回归直线方程；

【小问1详解】

解：由表中数据得：，

，

所以

∴.

由此可以认为发布的视频个数与收到的点赞数的相关性很强.

【小问2详解】

解：由数据知：，，

∴，

故.

19. 如图，在三棱锥中，，，，，平面平面．

（1）求证：；

（2）求的长度；

（3）求二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）证明由面面垂直的性质，又，得到平面，进而证明；

（2）先求，再求，用勾股定理计算的长度；

（3）作于点，于点，证明，是二面角的平面角，在中，求出和，可求的正切值．

【小问1详解】

证明：平面平面，平面平面，

且，平面．

平面，．

【小问2详解】

，，．

，，．

平面，，．

【小问3详解】

作于点，于点，连接平面平面，

平面，根据三垂线定理得，是二面角的平面角．

在中，，

因为，

，

即二面角的大小是．

20. 已知数列满足，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）等差数列满足，，求数列的通项公式；

（3）设数列的前项和为，求．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意，将原式变形为即可证明；

（2）根据题意，由（1）可得数列的通项公式，从而可得，再结合等差数列的通项公式即可得到结果；

（3）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.

【小问1详解】

证明：数列满足，．

变形为：．

数列为等比数列，首项为，公比为．

【小问2详解】

由（1）可得：，即．

等差数列满足，，

，．

设数列的公差为，则，，

解得，．

．

【小问3详解】

．

．

所以数列的前项和为

21. 如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.

（1）求所在直线的一般式方程；

（2）当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直线平行求出所在直线的斜率，然后代入点斜式写出所在的直线方程；

（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用平行四边形，推出与坐标关系，利用相关点法求点的轨迹方程即可.

【小问1详解】

，所在直线的斜率为：.

所在直线方程是，即；

【小问2详解】

设点的坐标是，点的坐标是，

由平行四边形的性质得点的坐标是，

是线段中点，，，

于是有，，

点在线段上运动，

，

，即，

由得，

线段的中点的轨迹方程为.

22. 已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）函数，当时，恒成立，求整数的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

【分析】（1）求导后，分类讨论，解不等式可得结果；

（2）分离参数后，构造函数，分两种情况利用导数可得结果.

【详解】（1）因为，

当时，，所以函数的单调递增区间是；

当时，由得，

所以函数的单调增区间是；

当时，由得，

所以函数的单调递增区间是；

（2）因为，即，因为，

所以，令，

（1）当时，因为，所以，

因此，所以只需；

（2）当时，因为，则，

所以，

因此只需，即，

构造函数，

，

当时，在上单调递减，；

当时，，

则，不满足题意；

当时，，

则，故不满足题意；

综上可知，整数的最小值为2.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于中档题.