北京市海淀区2022-2023学年高三数学下学期查缺补漏试题（Word版附答案）

这是一份北京市海淀区2022-2023学年高三数学下学期查缺补漏试题（Word版附答案），共22页。试卷主要包含了选择题部分，填空题部分，三角函数解答题部分，立体几何解答题部分，概率统计解答题部分，解析几何解答题部分，函数综合题部分，第21题等内容，欢迎下载使用。

2023届高三数学查漏补缺题
一、选择题部分
1． 已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的 （    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2． 数列的前n项和为，且，则“”是“”的 （    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3． 已知数列满足，，若，则 （    ）
A．10 B．15 C．20 D．25
4. 已知是首项为正数，公比不为的等比数列，是等差数列，且，那么（ ）
A. B.
C. D. 的大小关系不能确定
5. 已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的 （    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 已知点,．若点在函数的图象上，记的面积为，则使得
的点的个数为 （    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A, B两点,若F是线段AB的中点,则|AB|= （    ）
A. 1 B.2 C.3 D.4
8. 已知点M(2,0),点P在曲线上运动,点F为抛物线的焦点,则的最小值为 （    ）
A.3 B.2(5-1) C.45 D.4
9. 设，则“是第一象限角”是“”的 （    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10. 若角,是锐角三角形的两个内角，则 “”是“”的 （    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11. 函数，则 （    ）
A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数
C.若，则为偶函数 D.若，则为奇函数
12. 函数，则“对任意的实数，”是“”的 （    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13. 已知,故“存在使得”是“”的 （    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14. 已知则“”是“”的 （    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15. 在中，, ，则“”是“的面积为”的 （    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题部分
16. 与双曲线渐近线相同，且一个焦点坐标是的双曲线的标准方程是 .
17. 已知分别是双曲线的左右焦点，P是C上的一点，且,
则的周长是__________.
18. 已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 .
19. 如图，是半径为3的圆O的两条直径，
，则__________.


20. 函数在的图象如图所示. 则
①的最小正周期为 ；
②距离轴最近的对称轴方程__________.


21. 将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象
向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则__________.
22. 设函数
① 若，则的单调递增区间是_________；
② 若的值域为R，则的取值范围是_________.
23. 已知函数有2个零点，且过点，则常数的一个取值为_______.
24. 已知数列的前n项和为，，则_______.
25. 设等差数列的前n项和为，若，，，则公差 ；____.
26. 设函数
①当时，的值域为____________；
②若恰有2个解，则的取值范围为____________.
27. 已知平面直角坐标系中的点集，给出下列四个结论：
①当直线l为时，l与S没有公共点；
②存在直线l与S有且只有一个公共点；
③存在直线l经过S中的无穷个点；
④存在直线l与S没有公共点，且S中存在两点在l的两侧.
其中所有正确结论的序号是________.
三、三角函数解答题部分
28．已知函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）直接写出的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数在区间
上的最小值.
条件①：直线为函数的图象的一条对称轴；
条件②：为函数的图象的一个对称中心



29．在△ABC中，．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）给出以下三个条件：
①； ②，； ③.
若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）∠ABC的平分线交AC于点D，求线段BD的长．

30. 设函数（是常数，）. 若在区间上具有单
调性，且，
（Ⅰ）直接写出的解析式；
（Ⅱ）求的单调递减区间；
（Ⅲ）已知，求函数在上的值域.




四、立体几何解答题部分
31. 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，
AA1＝A1D.
（Ⅰ）求证：A1D⊥AB；
（Ⅱ）若.
（ⅰ）求直线与直线所成角的余弦值；
（ⅱ）求点到平面的距离；
（ⅲ）设点为线段上任意一点（不包含端点），证明：直线与平面相交。

32．正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD翻折成直二面角．
（Ⅰ）求二面角E－DF－C的余弦值；
（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？
证明你的结论．

五、概率统计解答题部分
33．为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，，第6组，从第5组，第6组中
任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；
（Ⅱ）根据上述频率分布直方图，估计月均用电量的样本数据的第90百分位数；
（Ⅲ）该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民
用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%．请根据此次
调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）．
34．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：

（Ⅰ）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3
所，记X为可作为“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校中恰有一所参与“自由式滑雪”超过40人
的条件下，抽到学校中恰有一所学校“单板滑雪”超过30人的概率；
（Ⅲ）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行
了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为
“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影
响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那
么理论上至少要进行多少轮测试？

六、解析几何解答题部分
35. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上一点, 不与顶点重合, 点与点关于坐标原点中心对称, 过作垂直于轴的
直线交直线于点, 再过作垂直于轴的直线交直线于点. 求证: 三点共线.




36. 已知椭圆的左、右顶点为，，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：以为直径的圆恒过定点.

七、函数综合题（导数）部分
37. 设函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行，求a；
（Ⅱ）求的单调区间.

38. 已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．

39. 设函数，曲线在点处的切线与y轴垂直．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．


八、第21题
40．设A是如下形式的2行3列的数表：
a
b
c
d
e
f
满足性质，且a+b+c+d+e+f=0.
记为A的第i行各数之和（i=1,2）, 为A的第j列各数之和（j=1,2,3）记为中的最小值．
（Ⅰ）对如下表A，求的值；
1
1

0.1


（Ⅱ）设数表A形如
1
1

d
d

其中，求的最大值；
（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求的最大值．


41．已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足， ， ，.
（Ⅰ）写出数列前4项的所有可能取法；
（Ⅱ）判断：是否存在正整数k，满足，并说明理由；
（Ⅲ）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值.
（2）解：不存在，下面证明：

42．已知集合P的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A, B, C，即， ， ， ，其中，，，且满足，，，则称集合为“完美集合”．
（Ⅰ）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（Ⅱ）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（Ⅲ）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.

2023届高三数学查漏补缺题
参考答案

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
A
C
C
B
D
D
题号
9
10
11
12
13
14
15

答案
C
C
B
A
C
D
C


16. 17. 34 18. 60°
19. －8 20. ； 21.
22. ①（或）; ② 23. ，取内部任意值均可 24. 36
25. ， 26. ①； ② 27. ②④

28．解：（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，，则；
（2）选择条件①：因为直线为函数的图象的一条对称轴，
所以，，即，
，，则，，，
当时，，
所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即；
选择条件②：因为是函数图象的一个对称中心，
则，解得，
，，则，，，
当时，，
所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即.
29．解：（1）由题设，
而，
所以，故；
（2）若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由，则，即，
又，可得，
所以，可得，则，
故；
（ii）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．
30. 解：（1）；
（2）
（3）由（1）知，

因为,所以，
令，
所以的值域为
31. 【解析】（Ⅰ）因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD，
又因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面A1ADD1.
因为A1D平面A1ADD1，所以AB⊥A1D.
（Ⅱ）（i）如图建立空间直角坐标系O－xyz，
则，，，，，
所以，，
设直线与直线所成角为，则

（ii），，
设平面A1DC1的法向量为n＝（x，y，z），则

令z＝1，则y＝，x＝，
于是n＝（，，1）.
所以点到平面的距离
（iii）
设是线段上一点，设（）.
则
因为，
所以直线与平面相交。

32．【解】（1）由已知，
所以为二面角的平面角，
又二面角为直二面角，所以，
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以
设平面EDF的法向量为，则，即，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
又为平面的一个法向量，
，
∴二面角E－DF－C的余弦值为．
（2）设，则，
因为，
所以，
∴，
又，，
∵，
∴，
∴，
把代入上式得，
∴，
∴，
∴在线段BC上存在点，使AP⊥DE．
33．解：(1)由频率分布直方图可知，户居民中，第组的居民户数为，
第组的居民户数为，
从第组、第组中任取户居民，他们月均用电量都不低于的概率为.
(2)前个矩形的面积之和为，
前个矩形的面积之和为，设月均用电量的样本数据的第百分位数为，则，则，解得，因此，估计月均用电量的样本数据的第百分位数为.
(3)前个矩形的面积之和为，
设月均用电量的样本数据的第百分位数为，则，
则，解得，
故应定为较为合适.


34．解：（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校有4所，则X的可能取值为0，1，2，3．
．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




所以．
（2）由题可知，参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为C、G，
参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为D、I，
参与“自由式滑雪”的人数不超过40人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为A、B、E、H，
参与“自由式滑雪”的人数不超过40人，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为F、J，
设事件A为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘自由式滑雪’的人数超过40人”．
事件B为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘单板滑雪’的人数超过30人”．
则．
若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人为同一个学校，则有种情况，
若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人非同一个学校，则有种情况，，
所以．
（3）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：．
所以小明在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足，由，得．
所以理论上至少要进行12轮测试．

35. 解: 可得, 因此.
设. 联立方程可得: ,
解得 代入得, 于是.
的方程为, 代入, 得: .
再代入得: , 即.
所以, ,
而, 总之三点共线.

36. 解： （Ⅰ） 所以；
（Ⅱ）. 联立
消元得，，.
设，，
可得，，，
，直线的方程为：,
令，可得 , .
，直线的方程为：,
令，可得 , .
取定点, 则:

,
同理, ,
因此以为直径的圆恒过定点.


37. 解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
1） 当时，令，，
所以的变化情况如下表：










极大值

2）当，令，或
①当时，，所以的变化情况如下表：














极小值

极大值

②当时，
（i）当即时，














极大值

极小值

（ii）当即时，恒成立，所以在上单调递增；
（iii）当即时，














极大值

极小值

综上，
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.


38. 解：（Ⅰ）函数的定义域是，
导函数为．
所以， 又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）由已知．
所以只需证明方程 在区间有唯一解．
即方程 在区间有唯一解．
设函数 ，
则 ．
当 时，，故在区间单调递增．
又 ，，
所以 存在唯一的，使得．
综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为．
（Ⅲ）．证明如下：
首先证明：当时，．
设 ，
则 ．
当 时，，，
所以 ，故在单调递增，
所以 时，有，
即当 时，有．
所以 ．

39. 解：（Ⅰ）因为，由题意，，即：，则．
（Ⅱ）由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，
即或.
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，所有零点的绝对值都不大于1.
40．【详解】（1）因为，，所以
（2），
因为，所以，
所以
当d=0时，取得最大值1
（3）任给满足性质P的数表A（如图所示）
a
b
c
d
e
f
任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表仍满足性质P，并且，因此，不妨设，，
由得定义知，，，，
从而

所以，，由（2）知，存在满足性质P的数表A使，故的最大值为1

41．【详解】（1）解：由得或，
所以或，
因为足，，
所以或，
所以，当时，或；
当时，或
因为数列是由正实数组成的无穷数列，
所以舍，
所以，数列前4项的所有可能取法有，，，或，，，或，，，.
（2）解：不存在，下面证明：
因为，
所以，或，
当时，
因为数列是由正实数组成的无穷数列，
所以，即
或，
所以；
当时，
因为数列是由正实数组成的无穷数列，
所以，即
所以或（舍），
综上，，
所以，，.
综上，不存在正整数，满足.
（3）解：由，
所以，①或②，
对于任意的，均可以使用①递推，只有满足时，才可以使用②递推；
若，显然，下次只能用①递推，即
所以，②不能连续使用.
记且，
若，则；
若，则，所以，
所以且，
所以，中至少有共51项，即.
举例如下：

所以，此时，
所以，的最小值为51.

42．【详解】（Ⅰ）是“完美集合”，此时，，，，
满足，.
不是“完美集合”，
若为“完美集合”，将分成3个集合，每个集合中有两个元素，则，.
中所有元素之和为21 ， 不符合要求.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
若，，根据 “完美集合”的定义，
则，.
若，，根据 “完美集合”的定义，
则，.
若，，根据 “完美集合”的定义，
则，.
综上：正整数的值为，9，7，11中任一个.
（Ⅲ）设集合中所有元素的和为，
而，
因为，
所以，，
，
等号右边为正整数，
则等式左边可以被4整除，
所以或 ，
即或 ．