安徽省定远中学2023届高三下学期高考冲刺卷（四）数学试卷（含答案）

安徽省定远中学2023届高三下学期高考冲刺卷（四）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知全集，集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知n为正整数，则“n是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的条件(   )

A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既不充分也不必要

3、随着工业自动化和计算机技术的发展，中国机器人进入大量生产和实际应用阶段，如图为2022年中国服务机器人各行业渗透率调查情况.2022年中国服务机器人各行业渗透半调查情况根据该图，下列结论错误的是(   )

A.物流仓储业是目前服务行业中服务机器人已应用占比最高的行业

B.教育业目前在大力筹备应用服务机器人

C.末计划使用服务机器人占比最高的是政务服务业

D.图中八大服务业中服务机器人已应用占比的中位数是

4、已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则(   )

A. 4056 B. 4096 C. 8152 D.8192

5、泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为(    )

A. B. C. D.

6、如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

7、设，，则(    )

A. B. C. D.

8、定义在R上的偶函数，对任意的,，都有，，则不等式的解集是(   )

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题

9、设，是复数，则下列命题中正确的是(    )

A.若是纯虚数，则

B.若，则

C.若，则

D.若复数满足，则的最大值为3

10、已知定义在R上的奇函数对任意的有，当时，函数,，则下列结论正确的是(    )

A. 函数是周期为4的函数

B. 函数在区间上单调递减

C. 当时，方程在R上有2个不同的实数根

D. 若方程在R上有4个不同的实数根，则

11、已知函数，，有下列结论，正确的是(    )

A.任意的，等式恒成立

B.任意的，方程有两个不等实根

C.任意的，，若，则一定有

D.存在无数个实数k，使得函数在上有3个零点．

12、设定义域为R的函数，若关于x的方程有五个不同的解，且从小到大分别为，，，，，则(    )

A.  B.

C.  D.

三、填空题

13、如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A,B,C,D,E染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有______ 种不同的染色方法．

14、已知直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，且l与x轴、y轴分别交于M，N两点，若，，则l的方程为__________．

15、已知函数的导函数为，且，则___________．

16、对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前n项和的极限存在，则______．

四、解答题

17、已知等比数列的前n项和为，且

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．

18、设函数，若锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，外接圆的半径为R，．

(1)若，求B;

(2)求的取值范围．

19、近年我国新能源产业的发展取得了有目共睹的巨大成果.2020年国务院在正式发布的《新能源汽车产业发展规划(2021-2035年)》中提出，到2025年，新能源汽车新车销售量达到汽车新车销售总量的左右力争经过15年的持续努力，使纯电动汽车成为新销售车辆的主流在此大背景下，某市新能源汽车保有量持续增加，有关部门将该市从2018年到2022年新能源汽车保有量y(单位：万辆)作了统计，得到y与年份代码t(如代表2018年)的统计表如下所示．

(1)请通过计算相关系数说明与具有较强的线性相关性；(若，则变量间具有较强的线性相关性)

(2)求出线性回归方程，并预测2023年新能源汽车的保有量．

参考公式：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

参考数据：，，，．

20、如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，O为BC的中点，．

(1)证明：平面平面ABCD．

(2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积．

21、已知抛物线的焦点为F，直线交抛物线E于A，B点，当直线l过点F时，点A，B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4．

(1)求抛物线E的方程；

(2)当时，设线段AB的中点为M，在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．

22、已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案

1、答案： C

解析：，，且，

，0，，

．

故选：C．

2、答案： C 

解析：的二项展开式的通项公式为，

令，解得，，

所以，若的二项展开式中存在常数项，则n是3的倍数，反之，亦成立．

故“n是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的充要条件．

故选：C．

3、答案： D

解析：对A，由图易知，物流仓储业在目前服务行业中服务机器人已应用占比最高，A对；

对B，由图易知，教育业在目前服务行业中服务机器人筹备中占比最高，B对；

对C，由图易知，政务服务业在目前服务行业中服务机器人未计划占比最高，C对；

对D，由图易知，八大服务业中服务机器人已应用占比已经排好序，故中位数是，D错．

故选：D．

4、答案： C

解析：插入n组共个，，前面插入12组数，最后面插入9个-13，1，个，2，个，，个，，⋯，，个，，个，

，

，

又数列的前13项和为，

．

故选：C．

5、答案： D 

解析：由题可知，即，解得，

故，，

故两个站台各有1个乘客候车的概率为．

故选：D．

6、答案： C

解析：由题可知，当点P在点C处时，最小，

此时，

过圆心O作交圆弧于点P，连接AP，此时最大，

过O作于G，的延长线于F，

则，

所以的取值范围为．

故选：C．

7、答案： C

解析：设，，

所以在区间，，单调递减；

在区间，，单调递增，，

，，

由于，

所以，即．

故选：C．

8、答案： A

解析：对任意，，

都有，

可得在上单调递减，

由函数是定义在R上的偶函数，

可得在上单调递增，

且，

由可得，

时，，即，可得，

时，即，可得．

综上可得所求不等式的解集为，故选A．

9、答案： CD

解析：A,时，，故A错误；

B.，时，，得不出，故B错误；

C.设，，则时，，

又，，

，故C正确；

D.设，则，

，

，故D正确．

故选：CD．

10、答案： ABC

解析：对于A，，

，

是周期为4的函数， A正确；对于B，时，，

函数在区间上单调递减， B正确；

对于C，函数是R上的奇函数，，

又，

，的图象关于直线对称，

时，当时，，

当时，，，

函数在上单调递增，在上单调递减，，

函数在R上的值域为，

当时，，当时，，

方程在上无解，

当时，令，，

当时有，在上递增，

当时，，函数在上有唯一零点，

当时，令，显然函数在上单调递减，

又，，函数在上有唯一零点，

当时，，即方程在上无解，

当时，方程在R上有个不同的实数根， C正确；

对于D，函数在上单调递增，在上单调递减，

又，而函数的周期为4，

，，，

由选项C知，当时，，

即方程在上有一个根，当时，，

函数在上单调递减，，，

即方程在上有一个根，

显然函数在上单调递增，在上单调递减，当，即时，

方程在上有两个根，要方程在R上有4个不同的实数根，

必有，即，又，

因此当时，方程在上无解，

所以方程在上有个不同的实数根，，D错误．故选：ABC．

11、答案： ACD 

解析：，

，，即函数为奇函数，

恒成立，∴ A正确；

为奇函数，

为偶函数，

当时，，

当时，方程只有一个实根，当时，方程有两个不等实根， B错误；

当时，，为减函数，

当时，，为减函数，

综上函数在上为单调函数，且单调递减，

，，若，则一定有成立，即C正确；

由得，

，即是函数的一个零点，

又函数为奇函数，且在上单调递减，

可以存在无数个实k数，使得函数在上有个零点，如图：

D正确．

故选：ACD．

12、答案： BCD

解析：令，则方程转化为，

方程有五个不同解，等价于方程有两个实数解，

由题意得，

由图可知，，，且，

，

，故A错误，B正确；

因为，则，而，

，故C正确；

由基本不等式可得，所以，即，D正确．

故选：BCD．

13、答案： 420

解析：第一步：A，则有5种染色方法；

第二步分两种情况，

第一种，B，D同色，则B，C，D，E有种染色方法；

第二种，B，D不同色，则B，C，D，E有种染色方法；

综上，共有种染色方法．

故答案为：420．

14、答案： 

解析：设，，线段AB的中点为E，

由，，

相减可得：，

则，

设直线l的方程为：，，，，，

，，

，解得，

，，

，，解得．

的方程为，

故答案为：．

15、答案：-1 

解析：因为，

则，

故，解得．

故答案为：-1．

16、答案：或 

解析：对任意，函数满足，则，解得，，

，化为：，

数列的前15项和为，

，解得，

，，．

，解得，或．

时，数列满足，

，

数列的前n项和的极限存在，，解得．

时，数列满足，

，

数列的前n项和的极限存在，，解得．

故答案为：或．

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)，

当时，，二者相减可得，，

故等比数列的公比为2

，

，

故数列的通项公式为．

(2)由(1)得：，，

故，即，

①，

②，

①-②得：，故． 

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)由题意

得．

又根据正弦定理，有，，，

由，有，得，

因为A，，所以，．

(2)由(1)知，，所以，

因为即，所以

则

，

，有，所以，

所以的取值范围为．

19、答案：(1) y与t具有较强的线性相关性

(2)7.33万辆

解析：（1），，，

，

y与t具有较强的线性相关性；

(2)，，

，．

关于t的线性回归方程为，取，可得．

预测2023年新能源汽车的保有量为7.33万辆． 

20、答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明：在中，，O为BC的中点，

．

又在四棱锥中，，且，AC，平面ABC，

平面ABCD，

平面PBC，

平面平面ABCD．

(2)由题意及(1)得，连接OA．

在中，三角形为等边三角形，

，

OB，OA，OP两两垂直，

建立空间直角坐标系如下图所示：

设，则,,,，

，，

,．设平面EAB的法向量为，则，令，得．平面ABD的一个法向量为，

二面角的大小为，

，解得，

． 

21、答案：(1)

(2) 见解析

解析：(1)设，，

因为当直线l过点F时，点A,B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4．

所以，，

解得，

所以抛物线E的方程为；

(2)当时，可设直线

联立，可得，

，，，

则，，

假设在x轴上存在点，使得为定值，

即可得，当t变化时，要使上式为定值，必有，所以，在x轴上存在点，使得为定值． 

22、答案：(1)

(2)

解析：(1)，则，

若时，则，，

即切点坐标为，切线斜率，

切线方程为，即．

(2)，即，整理得，

故原题等价于对任意实数，都有恒成立，

构建，则，

注意到，则，

构建，则在上单调递增，且,，

故在内存在唯一的零点，

可得当，则；当，则；

即当，则；当，则；

故在上单调递减，上单调递增，则，

又为的零点，则，可得且，

，

即在上的最小值为0，

故实数a的取值范围．