2022-2023学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    )A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形5.  如图，由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点，，都在网格的格点上，则下列结论错误的是(    )A.
B.
C.
D. 6.  如图，已知正方形边长是，点是线段上一动点，过点作于点连接，若，则的面积是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.  将化为最简根式是        ．8.  已知，化简： ______ ．9.  已知，，是的三边长且，，满足关系式，则的最大内角为        ．10.  如图，在矩形中，对角线、的交点为，矩形的长、宽分别为、，过点分别交、于、，那么图中阴影部分面积为______ ．11.  如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为        ．12.  如图，点在轴上，且，点也在轴上，在上找点，以、、为顶点作正方形，则 ______ 如结果中有根号，请保留根号．
 三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.  本小题分
计算：；
计算：．14.  本小题分
设，．
求，的值；
求的值．15.  本小题分
我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
求出空地的面积；
若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？
16.  本小题分
如图，在菱形中，点为的中点，请只用无刻度的直尺作图
如图，在上找点，使点是的中点；
如图，在上找点，使点是的中点．
 17.  本小题分
如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线交于点，与交于点．
求证；
若点为的中点，于，且，，求的长．
18.  本小题分
如图，在中，、分别是、的中点．，延长到点，使得，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
19.  本小题分
如图，直角三角形，直角顶点在直线上，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点．

求证：；
如果．
求证：；
若设的三边分别为、、，试用此图证明勾股定理．20.  本小题分
如图，某中学的校门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱是宽度为的矩形，伸缩电动门中的每一行菱形有个，每个菱形边长为，当每个菱形的内角度数为如图时，校门打开了．

求该中学校门的总宽度是多少．
当每个菱形的内角度数为时，校门打开了多少？21.  本小题分
规定表示一对数对，给出如下定义：，将与称为数对的一对“对称数对”．
例如：数对的一对“对称数对为与
数对的一对“对称数对”是______ ．
若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？
若数对的一个“对称数对是，则的值是多少？若数对一个“对称数对”是，求，的值．22.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，，动点从开始沿边向以的速度运动；从点开始沿边向以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
当运动时间为秒时，用含的代数式表示以下线段的长：______，______；
当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？
当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？
 23.  本小题分
综合与实践
数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题：
已知四边形与四边形都为正方形，为的中点，连接，，如图，当点在上时，求证：．
独立思考：请你证明老师提出的问题；
合作交流：解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形绕点顺时针旋转，当点落在对角线上时如图，他们认为老师提出的结论仍然成立请你予以证明；
问题解决：解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形绕点顺时针旋转如图，当点，，在同一条直线上时，与交于点若，，请直接写出的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 3.【答案】 【解析】解：、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、与不是同类二次根式，故不能合并，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算即可求出答案．
本题考查合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算，本题属于基础题型．熟练掌握这些知识点是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
 5.【答案】 【解析】解：根据勾股定理可得，，故A选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，，故B选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，，故C选项正确，不符合题意；
，
，
，
，故D选项错误，符合题意．
故选：．
首先根据勾股定理求出，，的长度即可判断，，选项，然后利用勾股定理逆定理得到，最后根据度角直角三角形的性质即可判断选项．
此题考查了勾股定理和网格的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
 6.【答案】 【解析】解：作于点，如右图所示，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
即，
解得，
，
故选：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到和全等，然后即可得到和的关系，根据等腰三角形的性质可以得到和的关系，再根据勾股定理可以得到的值，然后即可计算出的面积．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出的值．
 7.【答案】 【解析】解：，
故答案为：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，
、，
则原式

，
故答案为：．
由知、，据此再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质．
 9.【答案】 【解析】解：由得：，，
解得：，，
，
，
的形状为直角三角形，且，
故答案为：．
根据算术平方根和平方式的非负性求得和值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查勾股定理的逆定理、算术平方根和平方式的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确求出和值是解答的关键．
 10.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，，，，
在和中，
，
≌，
的面积和面积相等，
，
，
在和中，
，
≌，
和的面积相等，
同理和的面积相等，
阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，即是，
故答案为：．
根据矩形的性质得出，，，，，证≌推出的面积和面积相等，证≌推出和的面积相等，同理得出和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半．
本题考查了矩形的性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的面积相等．
 11.【答案】 【解析】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为，
，
，
大正方形的面积为，
，
小正方形的面积为，
故答案为：．
观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理解大正方形面积为是解题关键．
 12.【答案】或或 【解析】解：设，
如图，当是正方形的边长时，

，
，
又，
，
；

如图，是正方形的对角线，且时

，
，
，
又，
，
解得，
；

如图，是正方形的对角线，且时，

，

，
又，
，
解得，
．
综上所述，的值为：或或．
故答案为：或或．
根据题意，因为是边还是对角线没有明确，所以分是正方形的边长，是正方形的对角线，且与两种情况进行讨论，设出的长度是，然后表示出正方形的边长与的长度，再根据的长度列式求解．
本题主要考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，利用了正方形的性质，角的正弦与余弦，难度不是很大，但要注意分情况讨论，容易漏解而导致出错．
 13.【答案】解：

；



． 【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 14.【答案】解：

；


；
；


． 【解析】将，的数值直接代入计算即可；
将拆分组合成完全平方公式，然后代入数值即可．
本题考查了二次根式的计算，相关知识点有：完全平方公式，熟记运算法则是解题关键．
 15.【答案】解：连接
，，，
，
，，
，
，
；
即空地的面积为．

元，
即总共需投入元． 【解析】直接利用勾股定理，再用勾股定理的逆定理得出，进而得出答案；
利用中所求得出所需费用．
此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，将四边形化为三角形后，正确用勾股定理及其逆定理是解题关键．
 16.【答案】解：
如图所示：

如图所示：
 【解析】本题考查的是作图的应用，掌握菱形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．
先连接对角线和，相交于点，再连接并延长交于；
先连接和相交于点，再连接并延长交于点．
 17.【答案】证明：为的平分线，
．
四边形是平行四边形，
，．
．
．
．
．
解：四边形是平行四边形，
，
．
．
．
为的中点，，
．
，，
．
．
．
在和中，
，
≌．
，
． 【解析】由平行四边形的性质和角平分线证出得出，即可得出结论；
同证出，由为中点，，求出与的长，得出三角形为等腰三角形，根据三线合一得到为中点，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再由三角形与三角形全等，得出，即可求出的长．
此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 18.【答案】证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，且，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
．
是等边三角形．
．
过点作于点，
．
，
． 【解析】由三角形中位线定理得，且，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，再证是等边三角形．得过点作于点则然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．
本题考查了菱形判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 19.【答案】证明：，于点，
，，
；
于点，于点，
，
由知：，
在和中，
，
≌，
；
由图可知：
，
，
化简，得：． 【解析】根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；
根据可以证明结论成立；
根据，代入字母计算即可证明结论成立．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 20.【答案】解：如图，连接．
四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，，
，
所以，该中学校门的总宽度是．
当菱形的时，
，
四边形是正方形，
如图，连接，
则，，
所以，当每个菱形的内角为时，校门打开了． 【解析】如图，连接根据菱形和等边三角形的性质即可得到结论；
根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，如图，连接，根据正方形的性质即可得到结论．
此题考查了矩形的性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 21.【答案】与 【解析】解：，
数对的一对“对称数对”是与；
故答案为：与；
数对的一对“对称数对”相同，
，
，
答：的值为；
数对的一个“对称数对”是，
，
，
数对的一个“对称数对”是，
或，
或．
根据新定义即可得出结论；
根据新定义，列等于，解方程进而得出结论；
根据新定义，列等于，解方程进而得出结论；根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．
此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
 22.【答案】解：，；

由题意可得：，，
，
，
设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形．
由得，，解得，
当运动时间为秒时，四边形为平行四边形．

，
，
设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形．
由得：，解得：，
又
平行四边形为矩形．
当运动时间为秒时，四边形为矩形． 【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的判定以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
根据题意可直接得出；
由在梯形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案；
由在梯形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，，
故答案为：，；
见答案．  23.【答案】证明：延长交于，

四边形和四边形都是正方形，
，，
，
，
点是线段的中点，
，
又，
≌，
，
又，，
，
；
证明：连接，过点作于，

四边形是正方形，
点，关于对称，
，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
垂直平分，
，
；
解：延长至，使，连接，，，

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
又，
，，
设，则，
，
，
舍去，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
． 【解析】延长交于，证明≌，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
连接，过点作于，证出，则，证出，可得出，由垂直平分线的性质得出，则可得出结论；
延长至，使，连接，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出为等腰直角三角形，得出，，设，则，由勾股定理得出，解方程求出，求出和的长，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．