2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年北京冬残奥会会徽上半部分整体形如汉字“飞”的书法形态，巧妙地描绘出一个向前滑行、冲向胜利的运动员的形象下列四个图案中，能由左图平移得到的是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  下列运算中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，三根木条相交成，固定木条，，使得转动木条，当时，的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，，则与一定满足的关系是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  若能运用平方差公式计算，则，满足的条件可能是(    )
，；，；，；，．

A.  B.  C.  D.

6.  把长的铁丝截成三段，每段长度为整数若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  近年来，我国研发的北斗芯片实现了纳米制程的突破，纳米等于米用科学记数法表示是______ ．

8.  南京大报恩寺琉璃塔地基平面可以看成八边形，它的每个内角都相等，则每个内角的度数是______
 

9.  若，，则______．

10.  “有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是______ ．

11.  已知，，，比较、、的大小，并用“”号连接：______ ．

12.  我们学习的“幂的运算”有四种：同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方在“”的运算过程中，远用了上述幂的运算中的______ 填序号．

13.  若关于的多项式是完全平方式，则 ______ ．

14.  如图，，平分，若，，则 ______
 

15.  若，则的值是______ ．

16.  如图，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、正方形若这两个正方形的面积和为，的面积为，则的长度是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
；
水珠不断地滴在一块石头上，经过年，石头上形成了一个深为的小洞求平均每年小洞增加的深度．

18.  本小题分
计算：
；
．

19.  本小题分
先化简再求值：其中．

20.  本小题分
如图，点，，分别是的边、，上的点，，，求证．

21.  本小题分
如图，点、、是方格纸中的格点．
画出边上的中线；
画出边上的高线；
画出的平分线．

22.  本小题分
如图，将两个含角的三角尺与摆放在一起，、交于点、、交于点．
求证小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
当 ______ 时，．

 

23.  本小题分
研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？

【回顾】如图，请直接写出与、之间的数量关系：______ ．
【探究】如图，是四边形的外角，求证．
【结论】若边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则，与的数量关系是______ ．

24.  本小题分
已知为整数，且．
若为正奇数，则可以用含的代数式表示为______ ．
A.
若，为连续的奇数，且试说明：能被整除．

25.  本小题分
要度量作业纸上两条相交直线、所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接度量．

小明的方案：画直线与、相交，如图，测得，，则 ______ 用含、的代数式表示；
小刚的方案：画直线与、相交，再画、相邻的外角的角平分线交于点，如图，则得，则 ______ 用含的代数式表示；
你还有什么方法，请在图中补全，写出必要的文字说明．

26.  本小题分
如图，在和中，点与位于线段所在直线的两侧，分别延长、至点、．

【特殊化思考】
若时，请尝试探究：
当在内部时，请直接写出、与的数量关系为______ ；
当在外部时，请直接写出、与的数量关系为______ ；
若平分，平分无论点在内部如图还是外部如图时，都有，请选择一幅图进行证明；
说明：选择图证明得分，选择图证明得分．
【一般化探究】
若时，请尝试探究：
若射线、分别是，的等分线为大于的正整数，且，当时，直接写出与需满足的条件：______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是．
故选：．
根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．
本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据平行线的性质，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用等量代换即可解答．
本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：能运用平方差公式计算，
，或，，
故选：．
根据平方差公式的特点进行选项．
本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，最短的边是时，不成立；
当最短的边是时，三边长是：，，；
当最短的边是时，三边长是：，，；
当最短的边是时，三边长是：，，；
最短的边一定不能大于．
综上，有种不同的三角形．
故选：．
根据题目要求，根据构成三角形的条件，周长为，可逐步分析，将每个符合题意的三角形写出即可．
本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键在于找准小数点的位置．
 

8.【答案】 

【解析】解：一个八边形，它的每个内角都相等，
这个八边形的每个外角都相等，
每个外角的度数，
每个内角的度数．
故答案是：．
根据多边形的外角和为即可得出结果．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角与相邻的外角互补，且外角和为是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
 

10.【答案】直角三角形的两个锐角互余 

【解析】解：“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题“直角三角形的两个锐角互余”．
故答案为直角三角形的两个锐角互余．
命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的题设为三角形中有两个锐角互余，结论为这个三角形为直角三角形，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故答案为：．
直接利用有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了有理数的乘方运算、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：
积的乘方得到
利用幂的乘方得到，
故运算过程中，运用了上述幂的运算中的．
故答案为：．
根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，是正整数；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是正整数进而得出答案即可．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法运算法则是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的多项式是完全平方式，
，
，
故答案为：．
根据完全平方公式得出，求出即可．
本题考查了对完全平方式的应用，解题关键是正确记忆完全平方式有两个：和．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作，如图，

，
，
，，
，，
，，
，
平分，
．
故答案为：．
过点作，从而可得，则有，，可求得，的度数，从而求得的度数，利用角平分线的定义即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 

15.【答案】 

【解析】解：，



，
故答案为：．
根据，可得，进一步计算即可．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】设，，则，
这两个正方形的面积和为，的面积为，
，
，
负值舍去，
的长度，
故答案为：．
设，，则，根据题意列方程组即可得到结论．
本题考查了完全平方公式的几何背景，正方形的面积公式，三角形的面积公式，正确地得出方程组是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；



；
根据题意，得，
答：平均每年小洞增加的深 

【解析】先算幂的运算，再算减法；
根据幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除的运算法则计算；
根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式法则计算．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：

；



． 

【解析】根据幂的乘方与积的乘方计算法则计算；
先提取公因式，然后由单项式乘多项式法则作答．
本题主要考查了单项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方等知识点，注意：幂的乘方的底数指的是幂的底数；性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
 

19.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

20.【答案】证明：，
，
，，
． 

【解析】根据平行线的性质证明即可．
本题考查了平行线性质定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图线段即为所求；
如图，射线即为所求．
 

【解析】取的中点，连接即可；
取点使得，连接交的延长线于点，线段即为所求；
取的中点，作射线交于点，射线即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的中线，高，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

22.【答案】 

【解析】证明：，，
，
，
，
与是对顶角，
．
故答案为：；；与是对顶角；
解：，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据三角形外角的性质得出，，故可得出，由得出，根据与是对顶角即可得出结论；
根据可知，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的判定及三角形外角的性质，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：【回顾】，，
；
故答案为：；
【探究】，，
，
．
【结论】边形的某一个外角的度数是，
与这个外角相邻的内角是，
与这个外角不相邻的所有内角的和是，
，
整理得：，
故答案为：．
【回顾】根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案；
【探究】根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论；
【结论】根据边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案．
本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握边形的内角和公式：且为整数．
 

24.【答案】 

【解析】解：奇数可以用含的代数式表示为或，
且为整数，
，
当时，，
为正奇数，
可以用含的代数式表示为；
故答案为：；
，为连续的奇数，
设，，
，
，
为整数，
为整数，
能被整除．
根据正奇数的定义即可解答；
根据题意可设，，则，根据整除的定义即可判断．
本题主要考查列代数式、整式的混合运算、整除的定义，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：，，，
；
故答案为：；
如图，

，
，
，分别平分，，
，，
，
，
；
故答案为：；
如图，

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得．
利用三角形内角和定理即可求出答案；
利用角平分线的性质，邻补角的定义计算即可；
利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质即可求出答案．
本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
 

26.【答案】     

【解析】解：在中，，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
在中，，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
选择图，
证明：如图，

过点作，
，
平分，平分，
，，
由知，
，
，
，
，
，
；
选择图，
证明：如图，设与交于点，

平分，平分，
，，
同可得：，
，
，
，
是的一个外角，
，
即，
，
；
证明：，
只能在内部，
如图，过点作，

，
，
连接，
，
，
又，
，
又，，
，，



，
又，，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论；
根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论；
选图证明，根据角平分线的定义及中的结论得出，再根据平行线的性质与判定证明即可；
先根据平行公理的推论得到，再根据平行线的性质及角平分线的定义即可得出与的关系．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，熟记三角形内角和是是解题的关键，同时应熟练掌握平行线的性质与判定及角平分线的定义．