2023年四川省乐山市犍为县中考数学调研试卷（含解析）

2023年四川省乐山市犍为县中考数学调研试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中，运算结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，是由个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有，，，的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级名学生，在近个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示：

根据小红调查的学生每人阅读课外书的数量，判断下列说法正确的是(    )

A. 样本为名学生 B. 众数是本 C. 中位数是本 D. 平均数是本

7.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  下列各选项中因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，连接、，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  用“”或“”符号填空： ______ ．

12.  计算：______．

13.  如图，已知，，，则的度数为______ ．

14.  在一次函数中，的值随着值的增大而减小，则点在第______ 象限．

15.  如图，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离即的长为______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线把分成、两部分，且与、分别交于点、．
连接，若，则点的坐标为______ ；
若内不含边界的整点横、纵坐标均为整数的点与内不含边界的整点个数比为：，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，是边上一点，且求证：．
 

20.  本小题分
小丽解分式方程的过程如下：
解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为，得
请指出她解答过程中从第______ 步开始出现错误填序号；
写出正确的解答过程．

21.  本小题分
某校为了解学生对“：古诗词，：国画，：武术，：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查每人限选一项，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图如图，根据图中的信息解答下列问题：

在这次调查中，一共调查了______ 名学生；扇形统计图中，项目对应扇形的圆心角为______ 度；
若该校共有学生人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“：古诗词”的有多少人；
若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率．

22.  本小题分
书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元．
求毛笔和宣纸的单价；
某超市给出以下两种优惠方案：
方案：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案：购买张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折学校准备购买毛笔支，宣纸张，请问选择哪种方案购买更划算？并说明理由．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．
求，的值；
请直接写出不等式的解集；
将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积．
 

24.  本小题分
如图，为的直径，是的一条弦，为弧的中点，过点作，垂足为的延长线上的点，连接．
求证：是的切线；
延长交的延长线于，若，，求的长．

25.  本小题分
【证明体验】
如图，为的角平分线，，点在上，求证：平分．
【思考探究】
如图，在的条件下，为上一点，连接交于点若，，，求的长．
【拓展延伸】
如图，在四边形中，对角线平分，，点在上，若，，，求的长．
 

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过坐标原点和点，顶点为点．
求抛物线的关系式及点的坐标；
点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求点的坐标；
将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是同类项，不能进行合并运算，选项A不符合题意；
B、，选项B不符合题意；
C、，选项C符合题意；
D、，选项D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的运算及整式的加减运算进行计算判断即可．
本题考查了同底数幂的运算及整式的加减运算，熟记同底数幂的运算的运算法则及整式的加减运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原几何体的主视图是：

故取走的正方体是．
故选：．
根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．
本题考查了简单组合体的三视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得
解得．
故选：．
根据根的判别式得到，然后解关于的不等式，即可求出的范围，并根据选项判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：样本为本校初二年级名学生近个月内每人阅读课外书的数量，故A选项不符合题意；
B.样本数据的众数为，故B选项不符合题意；
C.样本数据的中位数是，故C选项不符合题意；
D.平均数为本，故D选项符合题意；
故选：．
根据众数、中位数、平均数的定义求解即可．
本题主要考查众数、中位数和平均数，解题的关键是掌握众数、中位数和平均数的定义．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质和含角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段与已知线段的长度联系起来求解的．由直角三角形的性质得到，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到．
【解答】
解：在中，，，，
，则．
由旋转的性质知，，，
是的中垂线，
．
由旋转的性质知，．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：选项：，故A不合题意；
选项：，故B不合题意；
选项：，故C符合题意；
选项：，故D不合题意．
故选：．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作轴于，交于，如图：

四边形是正方形，，
，，
点是边上靠近点的三等分点，
，
将沿直线折叠后得到，
，，，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
解得：，
，
把代入得：
，
解得：，
故选：．
过作轴于，交于，由四边形是正方形，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，可得，，，证明∽，有，即可得，即可解得，再用待定系数法．
本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，涉及正方形性质，翻折变换，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，求出的坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：取的中点，作直线，
点是的中点，
，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
垂直平分，
，，
四边形是矩形，，
，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
取的中点，作直线，根据三角形的中位线定理得，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则，，由矩形的性质得，因为，所以是等边三角形，则，，所以，因为，所以，则，所以，即可根据勾股定理求得，由，得，则的最小值为．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：
根据同分母分式加减法则进行计算即可．
本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

14.【答案】四 

【解析】解：在正比例函数中，的值随着值的增大而减小，
，
一次函数的图象经过第二、四象限．
点在第四象限．
故答案为：四．
因为在正比例函数中，的值随着值的增大而减小，所以，再根据象限的坐标特征可得答案．
本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于点，

由题意知，，，
则，
，
在中，，
，
在中，，
，
故答案为：．
作于点，根据题目条件得出、、，再分别求出、、的长，从而得出答案．
本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．
 

16.【答案】   

【解析】解：的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，
的坐标为，
：，
，
，
当时，用，
点坐标为．
故答案为：．

如图，由图得中的整点共个，
若内的整点与内的整点个数比为：，
则内个，内个，
，
反比例经过点时，，
，
反比例经过点时，，
反比例函数需满足在、之间，
．

连接，求出的面积，求出反比例函数的关系式，由点坐标求出关系式，与反比例函数组成方程组，求出交点即可．
绘图判断若内的整点与内的整点个数，按要求需满足在、之间，求出经过点及点的反比例关系式，从而判断的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的几何意义是解题关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
由不等式得：，
由不等式得：，
不等式组的解集为． 

【解析】先分别求得每个不等式的解集，再求它们的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
． 

【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
根据等边对等角的性质求出，在由得，所以，得出四边形是平行四边形，进而得出结论．
 

20.【答案】 

【解析】解：她解答过程中从第步开始出现错误．
故答案为：；
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
经检验是原方程的解，
原方程的解为．
根据等式的两边同乘，即可判断；
根据解分式方程正确的步骤求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：在这次调查中，一共调查的总人数人；项目对应扇形的圆心角，
故答案为：，；
项目人数为人，
则项目的人数为：人，
人，
该校最喜爱项目的学生约有人；
列表得：

由列表可见，所有可能出现的结果共有种，并且这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中项目和的结果有种，
恰好选中项目和．
由项目人数及其所占百分比可得总人数，用乘以项目人数所占比例即可；
根据所给项的百分比求得项人数，总人数减去其余各项人数为项人数，用总人数乘以样本中项目人数所占比例即可；
列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：毛笔的单价为元，宣纸的单价为元．
设购买宣纸张．
选择方案所需费用为元；
选择方案所需费用为．
当时，解得：，
当时，选择方案更划算；
当时，解得：，
当时，选择方案和方案所需费用一样；
当时，解得：，
当时，选择方案更划算．
答：当购买的宣纸数量超过张不足张时，选择方案更划算；当购买的宣纸数量等于张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过张时，选择方案更划算． 

【解析】设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，根据“购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买宣纸张，利用总价单价数量，可找出选择方案和选择方案所需费用，分，和三种情况，求出的取值范围或的值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式或一元一次方程．
 

23.【答案】解：将代入，得，
，
将代入，
得，
，；
根据函数图象可知：
或；
将，代入，得，，
一次函数的关系式为，
与轴交于点，
图象沿轴翻折后，得，
，
的面积为． 

【解析】将点坐标代入中求出，进而求出点的坐标；
用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
求出对称点坐标，求面积．
本题是一次函数和反比例函数综合题，考查了待定系数法，用函数的观点解决不等式问题．
 

24.【答案】证明：连接．
，
，
 是弧 的中点，
，
，
，
，
，
，
是半径，
 是 的切线；
解：在 中，
，，
，
，
连接，
为直径，
，
，
∽，
，
，
 的半径为，
，，
∽，
，
，
解得． 

【解析】根据切线的判定方法，连接，证出即可；
利用圆周角定理以及相似三角形的性质即可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

25.【答案】证明：如图

平分，
，
在≌中，

≌，
，
，
，
平分；
解：如图，

，
；
，
∽，
；
≌，
，
，
；
解：如图，在上取一点，使，连接．

平分，
，
在和中

≌，
，，，
，
，即，
，即，
∽，
，，
，，
；
，，
，
公共角，
∽，
，
，，
． 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角的平分线等知识，解第题时，应注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形；此题难度较大，属于考试压轴题．
由≌得，因而，所以平分；
先证明∽，其中，再由相似三角形的对应边成比例求出的长；
根据角平分线的特点，在上截取，连接，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出的长．
 

26.【答案】解：对于，令，解得；令，则，
故点、的坐标分别为、，
抛物线经过坐标原点，故，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
，
则抛物线的对称轴为，点的坐标为；

如图，过点作轴交于点，

设点的坐标为，则点，
则的面积，
即，
解得或，
故点的坐标为或；
由平移，可得直线的表达式为，
直线向下平移后过点，
得到，解得
得直线的表达式为，
令，解得，
故点；
过点作于点，过点作轴于点，

可得，，，
则，，
在和中，
，，
∽，
，
，，
，
在中，，
故，
利用三角形的外角性质，可得，
． 

【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、相似三角形的判定和性质、面积的计算、三角形的外角性质等，其中，利用是本题解题的关键．
先求出点、的坐标，用待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
利用平移和待定系数法求出直线的表达式，过点作于点，过点作轴于点，求出、、、，证明∽，进而求出、、的长，然后在中，求出，知，再利用三角形的外角性质，可得结论．