2023年浙江省宁波市北仑区郭巨学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省宁波市北仑区郭巨学校中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省宁波市北仑区郭巨学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共11小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是(    )
 
 A.
B.
C.
D. 4.  某篮球队名队员的年龄如表：年龄岁人数则这名队员年龄的众数和平均数分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，5.  九章算术中的数学问题：亩好田是元，亩坏田是元，一人买了好田坏田一共是亩，花费了元，问他各买了多少亩好田和坏田？设买了好田为亩，坏田为亩，根据题意列方程组得(    )A.  B.
C.  D. 6.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为，则平面镜的垂线与水平地面的夹角的度数是(    )A.
B.
C.
D. 8.  “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作九章算术中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为(    )A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺9.  如图，在矩形纸片中，，，是上的点，且将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 11.  (    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）12.  若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．13.  某市前年的年均浓度为微克立方米，去年比前年下降了，如果今年的年均浓度比去年也下降，那么今年的年均浓度将是______ 微克立方米．14.  如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，经过，两点，已知，则的值为______．

 15.  如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边，都在轴上，点在边上，，反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．
 16.  如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到，连结、若，，，
与重叠部分的面积为，则下列结论：
≌；
当时，四边形是菱形；
当时，为等边三角形；
 ；
其中正确的是______ 填序号．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.  计算：
；

 四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
如图，已知、、、四点在同一条直线上，，，且．
求证：≌；
若，，，请直接写出使四边形为菱形时的长度．
19.  本小题分
某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
甲、乙两位同学得分的折线图：

丙同学得分：
，，，，，，，，，
甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数根据以上信息，回答下列问题：
求表中的值；
在参加比赛的同学中，如果某同学得分的个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致填“甲”或“乙”；
如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是______填“甲”“乙”或“丙”．20.  本小题分
如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端、的距离，飞机在距海平面垂直高度为米的点处测得端点的俯角为，然后沿着平行于的方向水平飞行了米，在点测得端点的俯角为，求岛屿两端、的距离结果精确到米，参考数据：

 21.  本小题分
如图，是的直径，点在上，且，点是外一点，分别连接，、，交于点，交于点，的延长线交于点，连接，，且．
求证：是的切线；
连接，若的半径为，，求的长．
22.  本小题分
某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米．建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元．用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍．求建造这个摊位的最大费用．23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值；
点为抛物线对称轴上一点．
当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标；
若是锐角三角形，求点的纵坐标的取值范围．

 24.  本小题分
某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图、图、图中，、是的中线，于点，像这样的三角形均称为“中垂三角形”．
【特例探究】
如图，当，时，______，______；
如图，当，时，______，______；
【归纳证明】
请你观察中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你的结论．
【拓展证明】
如图，在中，，，、、分别是边、、的中点，连结并延长至，使得，连结，当于点时，求的长．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反数是：．
故选：．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式是解答本题的关键．分别根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式化简即可．
【解答】
解：和不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B.，故选项B不合题意；
C.，故选项C不合题意；
D.，故选项D符合题意．  3.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握主视图的概念．
找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
【解答】
解：从正面看有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．  4.【答案】 【解析】解：年龄为岁的队员人数最多，众数是；
平均数．
故选：．
根据众数及平均数的概念求解．
本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．
 5.【答案】 【解析】解：买了好田坏田一共是亩，
；
又亩好田是元，亩坏田是元，且买田共花了元，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
利用总价单价数量，结合“买了好田坏田一共是亩，花费了元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，，
在数轴上表示为：
故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 7.【答案】 【解析】解：如图，作平面镜，垂足为，
平面镜，
，
，

根据题意可知：，
，
，
，
．
故选：．
作平面镜，垂足为，根据平面镜，可得，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角的度数．
本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线平分．
 8.【答案】 【解析】解：依题意有∽，
：：，
即：：，
解得，
尺．
故选：．
根据题意可知∽，根据相似三角形的性质可求，进一步得到井深．
考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到∽．
 9.【答案】 【解析】解：连接，如图，
设，
，，
，，
由折叠性质可知，
，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
解得：，
．
故选：．
连接，设，可得出，，根据折叠的性质可得，，在中和中，根据勾股定理，，，，因为是公共边，所以可得，即，求出的值即可得出答案．
本题主要考查了翻折变化、矩形的性质及勾股定理，熟练应用翻折变化的性质及矩形的性质进行计算是解决本题的关键．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，含角的直角三角形，和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分．
首先根据菱形的性质知垂直平分，再证出是正三角形，由勾股定理求出，即可求出的长．
【解答】
解：四边形菱形，
，，
，
是正三角形，
，
，
，
，
．
故选D．  11.【答案】 【解析】解：．
故选：．
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．依此即可求解．
考查了算术平方根，注意非负数的算术平方根有双重非负性：被开方数是非负数；算术平方根本身是非负数．
 12.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握增长率问题的关系式．
根据增长率问题的关系式得到算式，再根据有理数的混合运算的顺序和计算法则计算即可求解．
【解答】
解：依题意有



微克立方米．
答：今年的年均浓度将是微克立方米．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：由图形可知：是等腰直角三角形，，
，，
，
点坐标是，点坐标是
一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，
将，两点坐标代入，得，，
．
故答案为：．
由图形可知：是等腰直角三角形，，可得，两点坐标，利用待定系数法可求和的值，进而得到答案．
本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出，两点的坐标对解题是关键之举．
 15.【答案】 【解析】解：连接，

是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
过作于，
，
．
反比例函数的图象经过点，
的值为，
故答案为：．
利用同位角相等证明，此时和等底等高，故两个三角形的面积相等．的面积等于反比例函数比例系数的绝对值的．
本题考查反比例函数中值的几何意义、菱形的四条边相等，掌握法比函数的的几何意义是解题关键．
 16.【答案】 【解析】解四边形为矩形，
，

把沿方向平移得到，
，，，
在与中，
，
≌，
故正确；

，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
又，
四边形是菱形，
故正确；
如图所示：

则可得，
为等边三角形，故正确．
易得∽，
，
解得： ；故正确；
综上可得正确的是．
故答案为：．
根据矩形的性质，得，再由平移的性质，可得出，，从而证出结论；
根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当在中点时四边形是菱形．
当时，点与点重合，可求得，从而可判断为等边三角形．
易得∽，根据面积比等于相似比平方可得出与的函数关系式．．
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含角的直角三角形的性质，有一定难度．
 17.【答案】解：原式

；
原式


． 【解析】本题主要考查分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式与整式的混合运算顺序和运算法则．
先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可得；
先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可．
 18.【答案】证明：，
，
，
，
即，
，
≌．

如图，连接交于．

在中，，，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
． 【解析】根据即可证明．
解直角三角形求出、、即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 19.【答案】解：；
甲；
丙． 【解析】【分析】
本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
根据平均数的定义即可求解；
计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；
根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．
【解答】
解：见答案；
甲同学的方差，
乙同学的方差，
，
评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：甲；
甲同学的最后得分为；
乙同学的最后得分为；
丙同学的最后得分为，
在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．  20.【答案】解：过点作于点，过点作于点，
，
，
四边形为矩形，
，，
由题意可知：米，米，
在中，，米，
米，
在中，，米，
米，
米  
答：岛屿两端、的距离为米． 【解析】此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
首先过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，根据矩形的性质，可得，由题意可知：米，米，然后分别在与中，利用三角函数即可求得与的长，继而求得岛屿两端、的距离．
 21.【答案】解：，，
，
，
，
即，
是的切线；
过点作于，
的半径为，，
，
，
，
在中，
，
由三角形的面积公式可得，
，
即，
，
又，
在中，
． 【解析】根据圆周角定理和等量代换可得，进而得出，由可得，从得出结论；
由，可得，在直角三角形中又锐角三角函数可求出、、，由勾股定理求出，由三角形的面积公式求出，再根据圆周角定理可求出，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出即可．
本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数以及勾股定理是解决问题的前提．
 22.【答案】解：设每个类摊位的占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
所以，
答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位的占地面积为平方米；
设建摊位个，则建摊位个，
由题意得：，
解得，
，
建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元，
要想使建造这个摊位有最大费用，所以要多建造类摊位，即取最大值时，费用最大，
此时最大费用为：元，
答：建造这个摊位的最大费用是元． 【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．
设每个类摊位的占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，根据用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的这个等量关系列出方程求解即可．
设建摊位个，则建摊位个，结合“类摊位的数量不少于类摊位数量的倍”列出不等式求出范围，根据要想使建造这个摊位有最大费用，所以要多建造类摊位，即取最大值时，费用最大，据此列式解答．
 23.【答案】解：把，代入得，解得，
抛物线的解析式为；
易得的解析式为，
直线与直线平行，
直线与直线垂直，
，
为等腰直角三角形，
作轴于，轴交于，如图，为等腰直角三角形，，
设，则，
，，
，
，
当时，的最大值为；
如图，抛物线的对称轴为直线，
设，则，，，
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，即，解得，此时点坐标为；
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，即，解得，此时点坐标为；
当是以为斜边的直角三角形时，，即，解得，，此时点坐标为或，
所以是锐角三角形，点的纵坐标的取值范围为或． 【解析】利用待定系数法求抛物线的解析式；
易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，如图，则为等腰直角三角形，，设，则，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题；
如图，抛物线的对称轴为直线，设，利用两点间的距离公式得到，，，讨论：当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，；当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，分别解方程求出即可得到对应的点坐标；
由于是以为斜边的直角三角形有，解得，，得到此时点坐标为或，然后结合图形可确定是锐角三角形时点的纵坐标的取值范围．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题．
 24.【答案】       【解析】解：如图，，
，
，，
，

如图，连接，
，是的中线，
是的中位线，
且 ，
，
，
由勾股定理得：，
，
如图，，，，
，
，，
、是的中线，
，，
由勾股定理得：，
，
，，
故答案为：，，，；

解：猜想：、、三者之间的关系是：，
证明：如图，设 ， 则，，
在中，，
在中，  ，
在中，  ，
由得：，由得： ，
；

解：如图，连接，，过点作交于点，与交于点，

，，
，
是的中点，
是的中点，
、分别是、的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
是的中点，
是中垂三角形，
，，
，，
由中结论可知：，
即，
．
如图，由等腰直角三角形的性质得到，根据三角形中位线的性质和平行线分线段成比例定理可得，利用勾股定理可得和的长；如图，根据特殊三角函数值可得，计算和的长，同理由中线的性质和勾股定理可得结论；
设 ， 则，，根据勾股定理分别列等式，可得结论；
如图，作辅助线，证明四边形是平行四边形，得是的中点，根据中垂三角形的定义可知：是中垂三角形，利用中三边的关系可得的长．
本题考查三角形综合题、中垂三角形的定义和应用、勾股定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造中垂三角形解决问题，属于中考压轴题．