2023年福建省宁德市寿宁县中考数学质检试卷（含解析）

这是一份2023年福建省宁德市寿宁县中考数学质检试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省宁德市寿宁县中考数学质检试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的相反数是，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 2.  数用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  计算：(    )A.  B.  C.  D. 5.  抛物线的顶点坐标(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，，是上的三点，，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 7.  设，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书如图，将，，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部包括边上的一点，则的最大值与最小值之差为(    )
A.  B.  C.  D. 10.  若二次函数图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  因式分解： ______ ．12.  的立方根是          ．13.  在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度得到的点的坐标是______ ．14.  已知，是一元二次方程的两根，若，则 ______ ．15.  如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为          ．

 16.  如图，在平面直角坐标中，平行四边形顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，与轴交于点，若，，则的值为______ ．
 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.  解方程：．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
计算：．19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．20.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点，交于点．
求该反比例函数的解析式；
求的面积．
21.  本小题分
如图，中，，平分交于．
尺规作图：求作，使得圆心在上，且经过、两点；
求证：直线是的切线．
22.  本小题分
已知销售部型手机和部型手机共获利元，销售部型手机和部型手机共获利元．
请问部型手机和部型手机的利润分别为多少元？
若某营业厅计划购进，两种型号手机共部，总利润不超过元，问型手机至少销售多少部？23.  本小题分
如图，在中，，，，在的内部作一个矩形，其中、在两直角边上，设矩形的一边
______ ______ ．
设矩形的面积为，
求与的关系式；
当取何值时，的值最大？最大值是多少？
24.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，连接，是切线，交的延长线于点．
求证：；
求证：；
若，，
求的长；
求．
25.  本小题分
经过点，，、的抛物线与轴只有一个公共点，其中．
求抛物线的对称轴；
求抛物线所对应的函数表达式；
连接，，若与垂直，交轴于点，
求点坐标；
求面积的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为的相反数是，的相反数是，
所以的值为．
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
故选：．
先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集．
 4.【答案】 【解析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
解：．
故选：．
 5.【答案】 【解析】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标，
故选：．
已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标．
考查了二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
故选：．
根据圆周角定理得出，再代入求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出是解此题的关键．
 7.【答案】 【解析】【分析】
直接得出，进而得出的取值范围．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的范围是解题关键．
【解答】
解：，
，
．
故选：．  8.【答案】 【解析】解：根据题意得：，
解得：，
的值为．
故选：．
根据第三横行及第三竖行的和相等，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：点是内部包括边上的一点，
点在直线上，如图所示，

当为直线与直线的交点时，取最大值，
当为直线与直线的交点时，取最小值，
中令，则，
中令，则，
的最大值为，的最小值为．
则的最大值与最小值之差为：．
故选：．
由于的纵坐标为，故点在直线上，要求符合题意的值，则点为直线与题目中两直线的交点，此时存在最大值与最小值，故可求得．
本题考查一次函数的性质，要求符合题意的值，关键要理解当在何处时存在最大值与最小值，由于的纵坐标为，故作出直线有助于判断的位置．
 10.【答案】 【解析】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，
、、、
点关于对称轴的对称点在与之间，
对称轴的取值范围为，
，
点到对称轴的距离小于，点到对称轴的距离大于，
，
故选：．
由解析式可知抛物线开口向上，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
故答案为：．
利用平方差公式，进行分解即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】
解：因为，
所以的立方根为，
故答案为：．  13.【答案】 【解析】解：点向右平移个单位长度得到的点的坐标是，即．
故答案为．
将点的横坐标加，纵坐标不变即可求解．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 14.【答案】 【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，
把代入，得：，
故答案为：．
由一元二次方程的根与系数的关系得，再把代入求出即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 15.【答案】 【解析】【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式的解集．
【解答】
解：由图象可得，
当时，，该函数随的增大而减小，
不等式的解集为，
故答案为：．  16.【答案】 【解析】解：作轴于，于，交轴于，
的坐标为，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
点在反比例函数的图象上，
，即，
解得或舍去，
，
，
点的横坐标为，
，
平行四边形顶点的坐标为，，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
点在反比例函数的图象上，
，
解得，
故答案为：．
作轴于，于，交轴于，根据题意求得点的坐标为，进而得到，根据平行四边形的性质，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得四边形顶点的坐标是解题的关键．
 17.【答案】解：方程两边同乘以，
得：，
解得，
检验：时，，
是原分式方程的解． 【解析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．去分母时有常数项的不要漏乘常数项．
观察可得，所以可确定方程最简公分母为：，然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．
 18.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
 20.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
该反比例函数的解析式为；
四边形是正方形，，
，，
，
把代入得，，
，
． 【解析】利用待定系数法即可求得；
根据正方形的性质求得，即可得出的横坐标为，代入反比例函数的解析式求得的纵坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得反比例函数的解析式是解题的关键．
 21.【答案】解：如图，即为所求；


证明：连接．
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线． 【解析】作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可；
证明即可．
本题考查作图复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 22.【答案】解：设部型手机的利润是元，部型手机的利润是元，
根据题意得：，
解得：．
答：部型手机的利润是元，部型手机的利润是元；
设销售部型手机，则销售部型手机，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：型至少销售部． 【解析】设部型手机的利润是元，部型手机的利润是元，根据“销售部型手机和部型手机共获利元，销售部型手机和部型手机共获利元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设销售部型手机，则销售部型手机，利用总利润每部手机的销售利润销售数量，结合总利润不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 23.【答案】   【解析】解：矩形在的内部，矩形的一边，
，，
∽，
中，，，，
，即，
，，
故答案为：，；
根据题意得：；
；
当时，值最大，．
通过三角形相似，相似比列等式，求出，；
根据题意列出关于，的关系式；
根据二次函数的性质求出自变量取何值时函数的最大值．
本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的性质，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定与性质，矩形的性质，二次函数的最值求法．
 24.【答案】证明：，
，
，
，
；
证明：如图，连接，

是切线，
，
、、、四点共圆，
，
由可知，，
，
，
，即，
，
，
，
；
解：为的直径，
，
在中，，
由于，
而知，，
∽，
，即，
；
，
，
，
，即，
，
∽，
，即，
，
，
为的直径，
，
在中，． 【解析】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟知圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题关键．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
利用等边对等角可得，利用同弧所对圆周角相等得，以此即可证明；
连接，则，利用四点共圆的性质可得，于是，利用等边对等角得，进而得到，以此可得，由同旁内角互补得，即可证明；
根据勾股定理求出，易证∽，利用相似三角形的性质即可求解；
易证∽，根据相似三角形的性质求出，则，再根据正弦的定义即可求解．
 25.【答案】解：抛物线经过点、，
抛物线的对称轴为直线；
对称轴为，
，
抛物线与轴只有一个公共点，
，
，
，
，
抛物线的解析式为：；
如图，过点，分别作轴，轴，
由题意，点在第二象限，点在第一象限，

，
，
，
，
∽，
：：，
，，，，，
，，，，
，
设直线的解析式为：，
把，代入解析式得：，
解得，
，
，
直线的解析式为：，
令，则，
；
由得，，
当且仅当时取等号，
面积的最小值． 【解析】根据题抛物线经过点、，由求出对称轴；
由方程的判别式为，以及，即可求得，的值，进而求得抛物线的解析式；
根据，坐标用待定系数法求出直线的解析式，令求出的坐标；
由三角形的面积公式求出三角形的面积，再根据不等式的性质求得最小值即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题关键．