2023年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，比小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若的部分图象如图所示，则关于的方程的另一个解为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 随的增大而增大 D. 时，

8.  我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，若一次函数的图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连按、、有以下结论：


当时，

存在点、，使得
其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  函数中，自变量的取值范围是______．

12.  如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为______．

13.  在平面直角坐标系中，抛物线开口向下，那么的取值范围是        ．

14.  已知是一元二次方程的一个根，那么该方程的另一个根是        ．

15.  如图，已知的直径为，弦，于点，则的值为        ．

16.  如图，平行于的直线把分成两部分，：：，则的值是        ．

17.  如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则______．

18.  如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处，若，，则：______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，然后从，，，中选一个合适的值代入求解．

21.  本小题分
为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：小时以内，小时含小时，小时含小时，小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．

本次调查共随机抽取了______名中学生，其中课外阅读时长“小时”的有______人；
扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数为______；
若该地区共有名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于小时的人数．

22.  本小题分
为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖恤衫，每件进价是元；超市规定每件售价不得少于元，根据调查发现：当售价定为元时，每周可卖出件，一件恤衫售价每提高元，每周要少卖出件若设售价为元，每周所获利润为元，请解答下列问题：
每周短袖恤衫销量为件，则        含的代数式表示，并写出与的函数关系式；
当售价定为        元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为        元；
该服装超市每周想从这款恤衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款恤衫定价？

23.  本小题分
如图，四边形是某水库大坝的横截面示意图，坝高米，背水坡的坡角为，现需要对大坝进行加固，使上底加宽米，且加固后背水坡的坡度：，求加固后坝底增加的宽度的长．

24.  本小题分
如图，是的直径，点、在上且，连接、，过点作交的延长线于点．
求证：直线是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点，为线段上一动点不与点，重合，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
证明：≌；
如图，连接，，交于点．
证明：在点的运动过程中，总有；
若，当的长度为多少时为等腰三角形？
 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点，与直线交于点．
求抛物线的解析式；
若点是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点使四边形的面积为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
平行于的一条动直线与直线相交于点，与抛物线相交于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，而，
，
故选：．
根据正数负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方、积的乘方，解题的关键是熟练掌握各计算法则．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘分别进行计算即可．
【解答】
解：、底数不变指数相加，即，故A错误；
B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即，故B错误；
C、底数不变指数相乘，即，故C错误；
D、底数不变指数相减，即，故D正确；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．据此解答即可．
【解答】
解：．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
解得．
故选：．
分式的分母不等于零．
考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图．

，，
．
．
故选：．
如图，由，，根据勾股定理得再根据余弦值的定义得．
本题主要考查勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图示知，抛物线与轴的一个交点是对称轴为，
根据对称性，抛物线与轴的另一交点为，
令，即，
方程的解是，．
即方程的另一解为，．
故选：．
根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与轴的两个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解．
本题考查了抛物线与轴的交点，解题时，注意二次函数与方程间的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，
，A错误；
函数值随的增大而减少，C错误；
图象与轴的交点为
，B正确；
图象与轴的交点为
时，，D错误．
故选：．
根据一次函数的性质结合图象即可的出结论．
本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，
；
将绳子对折再量木条，木条剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，
，，
二次函数的图象可能是：开口方向向下，对称轴在轴左侧，
故选：．
直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象，正确确定，的符号是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是正方形，

，
，，
∽，
，
，
∽，

，
是等腰直角三角形，
，
故正确；
在和中，

≌，
，
，
，
假设正方形边长为，设，则，
如图，连接，交于，

，，
是的垂直平分线，
，，
中，，
中，，
，
，
≌，
，
，
，
，
；
故不正确；
如图，

将绕点顺时针旋转得到，则，，
，
，
、、三点共线，
在和中，
，
≌，
，
故正确；
中，，，
，
故不存在点、，使得，
故不正确；
故选：．
如图，证明∽和∽，可得，则是等腰直角三角形可作判断；
先证明，假设正方形边长为，设，则，表示的长为可作判断；
如图，将绕点顺时针旋转得到，证明≌，则，可作判断；
在中根据比较对角的大小来比较边的大小．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
 

11.【答案】或 

【解析】解：由题意得，，
则或，
解得，或，
故答案为：或．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，基本都是在得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】
解：过作直线，
直线，
，
，，
，
，
故答案为：．
过作直线，推出，根据平行线性质得出，，根据求出，即可得出答案．
本题考查了平行线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
．
故答案为：．
根据抛物线开口向下可得，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：设方程另一根为，
则，
解得：．
故方程的另一个根是．
故答案为：．
设方程另一根为，根据根与系数的关系得到，然后解此方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的直径，弦，
，，
，
．
故答案为：．
由是的直径，弦，根据垂径定理，可求得的长，然后由勾股定理即可求得，继而求得的值．
此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
∽，
．
：：，
．
，
．
故答案为：．
利用相似三角形的判定与性质得到，再利用比例的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点，作轴，轴，分别于，．
设点的坐标是，则，．
，
．
，
．
，
∽．
，，
，
，
设，则，
点在反比例函数的图象上，
，
，
．
故答案为：．
要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点，作轴，轴，分别于，根据条件得到∽，得到：，然后用待定系数法即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点的坐标用含的式子表示是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形
，
，

折叠
，
在中，
，
，
，且
∽

故答案为：
由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由相似三角形的性质可求：的值．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证∽是本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：原式

，
，，，时分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：，  ；
；
人，
答：估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于小时的有人． 

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，从图表中正确获取信息．
根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数和课外阅读时长“小时”的人数；
根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数；
根据统计图的数据可以计算出该地区中学生一周课外阅读时长不少于小时的人数．
【解答】
解：本次调查共随机抽取了：名，
其中课外阅读时长“小时”的有：人，
故答案为：，；
扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
见答案．  

22.【答案】     

【解析】解：每周短袖恤衫销量为，
，
故答案为：；
根据题意得：，
与的函数关系式为；
，
，
当时，有最大值，最大值为，
故答案为：，；
当时，，
解得，，
尽量给客户实惠，
．
答：这款恤衫定价为元件．
根据“当售价定为元时，每周可卖出件，一件恤衫售价每提高元，每周要少卖出件．“即可得出每天的销售量与每件售价元之间的函数关系式；根据利润每件的利润销售量列出函数解析式；
把中关于的解析式化为顶点式，由函数的性质求最值；
当时，解一元二次方程求出方程的根，取较小的值．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是找出等量关系，列出函数解析式．
 

23.【答案】解：分别过点、作、交于、，

四边形是梯形，且，
平行且等于，
故四边形是矩形，
，
在中，米，
在中，：，
米，
米．
答：加固后坝底增加的宽度的长是米． 

【解析】分别过、作的垂线，设垂足为、在中，根据坝高和坡角，求出的长；同理在中，根据坝高及坡比，即可求出的长，可由求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，

，
，
，
是的直径，
，
，
，，，
，
，
或舍去，
，
的长 

【解析】根据圆周角定理得，而，则，可判断，由于，所以，然后根据切线的判定定理得到是的切线；
连接，根据圆周角定理、邻补角定义求出，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理求出，则，根据弧长计算公式求解即可．
此题考查了切线的判定、圆周角定理、弧长计算公式，熟练掌握切线的判定、圆周角定理、弧长计算公式是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，

由旋转得：，，
，
，
，
≌；
证明：如图，在等腰直角三角形中，，

，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，，，
，，，
，，
≌，
，
；
分两种情况：
如图，时，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
如图，当时，，

，，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
综上，当的长度为或时，为等腰三角形． 

【解析】根据可证明≌；
证明≌，可得，从而根据两角的和可得结论；
分两种情况：如图，时，如图，当时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．
 

26.【答案】方法一：
解：抛物线过点，
．
对称轴，
．
抛物线过点，
，
由解得，，，，
抛物线的解析式为；

假设存在满足条件的点，如图所示，连结、、，过点作轴于点，轴于点．
设点的坐标为，其中，
则，，
，
，
．
令，
即，
则，
方程无解，
故不存在满足条件的点；

设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为．
由，
顶点，
又点在直线上，则点，
于是．
若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，因为，只须，
设点的坐标是，则点的坐标是．
当时，，
由，
解得：或．
当时，线段与重合，舍去，
，．
当或时，，
由，
解得，经检验适合题意，
此时，
综上所述，满足题意的点有三个，分别是，，
方法二：
略．
，，
：，
过点作轴垂线，交于，设，
，
，
，
，
，
方程无解，故不存在满足条件的点．

，
当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
：，
，
，
设点的坐标是，则点的坐标是，
，
或，
，，，，
经检验，当时，线段与重合，故舍去．
，， 

【解析】方法一：
先把代入，得出，再由抛物线的对称轴，得到，抛物线过点，得到，然后由可解得，，，，即可求出抛物线的解析式为；
假设存在满足条件的点，连结、、，过点作轴于点，轴于点设点的坐标为，则，，先根据三角形的面积公式求出，，再由，得到令，即，由，得出方程无解，即不存在满足条件的点；
先运用待定系数法求出直线的解析式为，再求出抛物线的顶点，由点在直线上，得到点，于是若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，因为，只须，设点的坐标是，则点的坐标是分两种情况进行讨论：当时，，解方程，求出的值，得到；当或时，，解方程，求出的值，得到，
方法二：
略．
利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出的面积函数，进而求出点坐标，因为，所以无解．
因为，所以只需即可，求出的参数长度便可列式求解．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．