2023年山东省菏泽市单县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省菏泽市单县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若函数为常数的图象与轴只有一个交点，那么满足(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.  若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角标系，抛物线经过点和，点为抛物线的顶点，则下列结论：
；关于的不等式的解集为；
若为任意实数，则．
若是直角三角形，则点的坐标为
；
其中结论正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：______．

10.  月日，本溪市首条地下综合管理廊项目在咸宁大街开建，工程总投资元将数据用科学记数法表示为______ ．

11.  若关于的分式方程有增根，则的值为          ．

12.  公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：与的积为定值；随的增大而减小；当为时，抙动石头至少需要的力；关于的函数图象位于第一、第三象限，上面四种说法正确的是______ 只填序号

13.  如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，点、、在轴上，、、在直线上，若，且、都是等边三角形，从左到右的小三角形阴影部分的面积分别记为、、，则可表示为        ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
先化简再求值：，其中，是一元二次方程的两个根．

17.  本小题分
如图，在中，，为的中点，且，．
证明：四边形是菱形；
若，，求菱形的高．

18.  本小题分
如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知米，山坡坡度为即，且，，在同一条直线上求电视塔的高度及人所在位置点的铅直高度测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式

19.  本小题分
年月日亚奥理事会宣布将于年月日至月日在杭州举办第届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图某校准备举行“第届亚运会”知识竞赛活动，拟购买套吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”作为竞赛奖品某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵元．
若用元购买甲规格与用元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉样物的价格；
在的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的倍，如何购买才能使总费用最少？

20.  本小题分
如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．

21.  本小题分
我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级个班中随机抽取了个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．

王老师采取的调查方式是______填“普查”或“抽样调查”，王老师所调查的个班征集到作品共______件，其中班征集到作品______件，请把图补充完整；
王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？
如果全年级参展作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．要求写出用树状图或列表分析过程

22.  本小题分
如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接．
求证：与相切；
若，，，求的长．

23.  本小题分
中，，为的中点，以为顶点作．
如图当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，写出图中所有与相似的三角形．
如图，将绕点沿逆时针方向旋转，，分别交线段，于，点点与点不重合，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
在图中，若，，当的面积等于的面积的时，求线段的长．

24.  本小题分
如图，已知二次函数的图象经过，两点．
求该二次函数的解析式；
在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点的坐标；若不存在，请说明理由；
若点为线段上一动点不与，重合，过作轴的平行线，记该直线右侧与围成的图形面积为，试确定与的函数关系式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反而小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．
根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】
解：，
，
C、项为正数，、项为负数，
正数大于负数，
故选B．  

2.【答案】 

【解析】解：、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选：．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看该几何体它是一个斜边在左侧的三角形，
故选：．
根据左视图的定义解答即可．
本题考查了简单几何体的三视图，从左面看得到的视图是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数为二次函数，，
，
，
函数为一次函数，
，
的值为或；
故选：．
由题意分两种情况：函数为二次函数，函数的图象与轴恰有一个交点，可得，从而解出值；函数为一次函数，此时，从而求解．
此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组恰有个整数解整数解是，，，
，
故选：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的个整数解是，，，再求出的取值范围即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组的整数解得出的范围是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
由圆周角定理得到，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得的度数．
【解答】
解：，
．
是的弦，，
，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出即可．
本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，
，
，所以正确；
当时，，
关于的不等式的解集为，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最小值为，
为任意实数，时取等号，
即为任意实数，时取等号，所以正确；
为顶点，，
为等腰三角形，
当是直角三角形，点到的距离等于的一半，
即点坐标为，所以正确；
时，，
，
，
，
，
，所以正确．
故选：．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线对称性得到抛物线的对称轴为直线，则，利用抛物线与轴的交点位置得到，从而可对进行判断；观察函数图象得到，，从而可对进行判断；根据二次函数的性质，当时，有最小值为，所以为任意实数，时取等号，从而可对进行判断；为顶点，，利用等腰直角三角形的性质，当是直角三角形，点到的距离等于的一半，从而得到点坐标为，则可对进行判断；由于时，，则，再把代入得到，所以，从而可对进行判断．
本题考查了二次函数与不等式组：通过用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，从而得到不等式的解集．也考查了二次函数与系数的关系．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】解：将数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，
故的值是，
故答案为
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意知，，则，，
与的积为定值，正确，故不符合要求；
，
随的增大而减小，正确，故不符合要求；
当，，正确，故不符合要求；
由题意知，关于的函数图象位于第一象限，错误，故符合要求；
故答案为：．
由题意知，，则，根据反比例函数的图象与性质，反比例函数的实际应用对各说法进行判断即可．
本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图所示，
四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
由旋转的性质得，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
．
故答案为．
连接交于，由菱形的性质得出，，，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得，，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果．
本题考查菱形的性质，旋转的基本性质，含角的直角三角形的性质，以及平行线的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：由直线，设，
过点作轴于点，则，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
同理可得，，，
，，，，，
．
故答案为：．
先由直线得到，再由得到，由得到，从而得到，，然后求出，再求出，从而得到，最后求得，接下来依次按照上述方法求得，，，，最后得到．
本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征、特殊角的三角形函数值、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理，解题的关键是通过等边三角形和等腰三角形的性质求出对应阴影部分的直角边的长度．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：，是一元二次方程的两个根．
，，




，
原式． 

【解析】先根据根与系数的关系求出、的值，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把、的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

17.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
又，是的中点，
，
平行四边形是菱形；

解：过点作，垂足为点，如图所示：即为菱形的高，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，．
 

【解析】先证明四边形是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；
过点作，垂足为点；先证明是等边三角形，得出，，再由平行线的性质得出，在中，由三角函数求出即可．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：过点作于点，于点，
在中，
米，
设米，
，
米．
在中，，，，
，
，
解得
答：电视塔高为米，点的铅直高度为米．
 

【解析】在图中共有三个直角三角形，即、、，利用、以及坡度比，分别求出、、，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

19.【答案】解：设甲规格吉祥物每套元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
元，
答：甲规格吉祥物每套元，乙规格吉祥物每套元；
设乙规格吉祥物购买套，总费用为元，
根据题意，得，
解得，为正整数，
，
，
随着的增大而增大，
当时，取得最小值，
此时乙规格购买套，甲规格购买套，
答：乙规格购买套，甲规格购买套，总费用最少． 

【解析】设甲规格吉祥物每套元，用元购买甲规格与用元购买乙规格的数量相同，列分式方程，求解即可；
设乙规格吉祥物购买套，总费用为元，根据购买甲规格数量不超过乙规格数量的倍，列一元一次不等式，求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定总费用最少时的购买方案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
 

20.【答案】解：反比例函数图象经过点，
，
反比例函数为，
将代入，得，
，
，
将和代入，得，
解得，
一次函数为；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
，
，
此时，的周长最小，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当、、三点共线时，的周长最小，直线与轴交点即为所求点．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
 

21.【答案】抽样调查；；
把图补充完整如下：

王老师所调查的四个班平均每个班征集作品件，
所以，估计全年级征集到参展作品：件；

画树状图如下：

列表如下：

共有种机会均等的结果，其中一男一女占种，
所以，一男一女，
即恰好抽中一男一女的概率是． 

【解析】解：抽样调查，
所调查的个班征集到作品数为：件，
作品的件数为：件，
故答案为：抽样调查；；；


见答案
见答案
根据只抽取了个班可知是抽样调查，根据在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据的人数是，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去、、的件数即为的件数；
求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数，计算即可得解；
画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
解：在中，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据垂直定义可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，然后利用同角的余角相等可得，从而可证∽，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】图中与相似的有，，．
证明：，为的中点，
，，，
又，
∽，
同理可得：∽，
，
，，
，
，
，
∽，
∽，

∽∽，
证明：
，
又，，
由，得，
∽，
．
，
．
又，
∽∽  

连接，过点作，，垂足分别为，．
，是的中点，
，．
在中，，

．
．
又，
，
∽，
   
，，
．
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；
利用已知首先求出，即可得出∽，再利用相似三角形的性质得出，进而得出∽∽．
首先利用的面积等于的面积的，求出的长，进而利用的值求出即可．
此题主要考查了相似三角形判定与性质以及三角形面积计算，熟练应用相似三角形的性质与判定得出对应用边与对应角的关系是解题关键．
 

24.【答案】解：把，代入解析式，得：
，
解得：，
所以抛物线解析式是；

如图，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，连接，

则是等腰三角形，
，
，
∽，
，即，
，
，
的坐标为；
当，则是等腰三角形，
则，
所以点的坐标是；
当时，则是等腰三角形，
则，
所以点的坐标为；
当时，则是等腰三角形，
则，
所以点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或；

如图，当点在轴或轴右侧时，设直线与交于点，

，，
，
，
，
∽，
，
，
；
如图，当点在轴的左侧时，

设直线与交于点，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】把，代入解析式求解可得；
分、、三种情况分别求解可得；
当点在轴或轴右侧和点在轴的左侧两种情况分别求解可得．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．