河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题

河北衡水中学2016～2017学年度

高三下学期数学第二次摸底考试（理科）

考生注意：

1．本试卷分必考部分和选考部分两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。[来源:]

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容

必考部分

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（   ）

A．   B．    C．   D．

2．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

3．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三人中，抽取90人进行问卷调查。已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（   ）

A．20    B．24     C．30    D．32

4．已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是 （   ）

A．   B．     C．   D．

5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（   ）[来源:]

A．      B．    C．    D．

6．若实数满足条件，则的最大值为（   ）

A．1       B．      C．      D．

7．已知，则二项式的展开式中的常数项为（   ）

A．       B．     C．    D．

8．已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为1的正三角形，那么（   ）

A．      B．        C．       D．

9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（   ）

A．

B．

C．

D．

10．执行如图所示的程序框图，输出的值等于（   ）

A．                        B．

C．                        D．

11．椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （   ）

A．   B．    C．    D．

12．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（   ）

A．    B．   C．   D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。

13．已知，若，则          ．

14．在中，分别为角的对边，，若，则          ．

15．已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为          ．

16．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为          ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）[来源:ZXXK]

已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设以2为公比的等比数列满足，求数列的前项和.

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

18．（本小题满分12分）

下图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.

（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天），求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；

（2）若该人到达后停留3天（到达当日算1天），设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，且与均为正三角形，为的重心.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

20．（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.

（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；

（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.

21．（本小题满分12分）

设函数.

（1）若直线和函数的图象相切，求的值；

（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.

选考部分

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.

（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；

（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知定义在上的函数，且恒成立.

（1）求实数的值；

（2）若，求证：.