河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（三）数学试题

河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（三）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集，且，，且（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则复数（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，的夹角为，，，则（    ）

A．2 B． C． D．

4．函数，的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

5．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是

A． B． C． D．

6．不等式“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数，则的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则等于（    ）

A．7 B．8 C．9 D．6

二、多选题

9．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则下列各选项正确的是（    ）

A．变量与具有正相关关系

B．去除后的估计值增加速度变快

C．去除后的方程为

D．去除后相应于样本点的残差平方为0.0625

10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则（    ）

A．

B．双曲线的离心率

C．双曲线的渐近线方程为

D．原点在以为圆心，为半径的圆上

11．已知函数，，关于函数的性质的以下结论中正确的是（    ）

A．函数的值域是

B．是函数的一条对称轴

C．函数在内有唯一极小值

D．函数向左平移个单位后所得函数的一个对称中心为

12．P为正方体对角线上的一点，且.下面结论确的是（    ）

A．； B．若平面PAC，则；

C．若为钝角三角形，则； D．若，则为锐角三角形.

三、填空题

13．在等比数列中，，则的公比为_____．

14．的二项展开式中的系数为________．

15．已知函数．在中，角，，的对边分别是，，且满足，则的取值范围是________．

16．设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点. 若这样的直线恰有4条，则的取值范围是__________.

四、解答题

17．已知在中，，，且.

（1）求的值；

（2）求的长度.

18．已知数列满足，（）.

（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）数列满足：（），求数列的前项和.

19．在直角梯形中，，，，为的中点，如图1．将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2．

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的正切值．

20．某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．

（1）求选手甲在射击中得0分的概率；

（2）设选手甲在比赛中的得分为，求的分布列和数学期望．

21．设函数，其中

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设的最小值为，证明函数在上没有零点.

22．已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围．

参考答案

1．C

【分析】

求出集合，利用交集的定义可得结果.

【详解】

，因此，.

故选：C.

2．A

【分析】

利用复数的除法化简可得出复数.

【详解】

由已知可得.

故选：A.

3．A

【分析】

将，两边平方再解方程组即可.

【详解】

由，得，

由，得，

从而有，即．

故选：A

4．D

【分析】

利用辅助角公式化简，再由正弦函数的周期公式即可求解.

【详解】

，

所以的最小正周期为，

故选：D

5．D

【详解】

由题意几何体的体积，就是正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，

V正方体−8V三棱锥＝.

考点：组合几何体的面积、体积问题

6．B

【分析】

分别解不等式后即可判断.

【详解】

由，可得，充分性不成立；由，可得，可得，必要性成立．

故选：B

7．C

【分析】

利用特殊值法结合排除法可得出合适的选项.

【详解】

，则，

，排除A选项，

，排除D选项，

，排除B选项.

故选：C.

8．D

【分析】

先将函数变形为，再根据奇函数的性质求出即可得解.

【详解】

定义域为的函数有最大值和最小值，所以．则，令，则是奇函数，故，故，又，故．

所以.

故选：D

9．AC

【分析】

重新求解的回归方程的斜率大于0，故具有正相关关系；且，所以去除后的估计值增加速度变慢；根据线性回归方程一定过样本中心点求解去除后重新求得的回归直线；利用新的线性回归方程求解残差平方.

【详解】

因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项A正确；因为，所以去除后的估计值增加速度变慢，故选项B错误；将代入回归直线方程，解得，则样本中心为，去掉两个数据点和后，样本中心还是，又去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，所以，解得，所以去除后的回归方程为，故选项C正确；因为，所以，则残差的平方为0.0025，故选项D错误．

故选：AC

10．AB

【分析】

根据双曲线定义及题干中的线段的长度关系，可以得到；利用余弦定理得到与的关系，进而得到离心率和渐近线，从求出的离心率可以得到D选项的正误.

【详解】

设，则，

由双曲线的定义知，，即，

，即，∴，，

故选项A正确；

由余弦定理，知在中，，

在中，

，

化简整理得，∴离心率，故选项B正确；

双曲线的渐近线方程为，故选项C错误；

若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项D错误．

故选：AB

11．BC

【分析】

先将函数变形，再根据其性质判断即可.

【详解】

∵.

对于A，函数的值域为，故不正确；

对于B，对称轴为，，，当时，，故B正确；

对于C，，，令，得，，令，得，；令，得，，当时，有极小值，故C正确；

对于D，，，，其对称中心为，故D不正确．

故选：BC

12．ABD

【分析】

建立如图所示的空间直角坐标系，再根据用表示的坐标，利用向量法逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，则，设正方体的棱长为3，

则，

故，所以，

故，故，

而，，

所以，故A正确.

，，，

因为平面，故，

所以，解得，故B正确.

由正方体的对称性可知，故为等腰三角形且.

若为钝角三角形，则为钝角，

则即，解得，故C错，

若，则，故为锐角，故为锐角三角形.

故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

思路点睛：与正方体有关的计算与判断问题，可建立合适的空间直角坐标系，把位置关系问题转化为向量的计算问题.

13．1

【分析】

先设等比数列的公比为，根据题中条件，由等比数列的通项公式，即可得出结果.

【详解】

设等比数列的公比为，

因为，

所以，解得：，

即等比数列的公比为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记公式即可，属于基础题型.

14．135

【分析】

利用二项式展开式的通项公式求出的系数.

【详解】

展开式的通项为，易知，所以，含项的系数为．

故答案为：135

15．

【分析】

先利用正弦定理将边角关系转化为角与角的关系，利用两角和的正弦公式、诱导公式求出，再根据和正弦函数的图象和性质求其范围.

【详解】

由及正弦定理，

得，

即，

即，

所以，即，

所以，

所以，

所以．

故答案为：.

16．（2，4） 

【详解】

设直线的方程为，，

把直线的方程代入抛物线方程，整理可得：

则，，

则

线段的中点

由题意可得直线与直线垂直，且

当时，有

即，整理得

把代入到

可得，即

由于圆心到直线的距离等于半径

即

，此时满足题意且不垂直于轴的直线有两条

当时，这样的直线恰有条，即，

综上所述，若这样的直线恰有条，则的取值范围是

点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题．设直线的方程为，，，把直线的方程代入抛物线方程，根据判别式求得线段的中点的坐标，分别讨论时，时的取值范围，即可得到答案

17．（1）；（2）5.

【分析】

（1）利用，结合二倍角的余弦公式可得，再利用进行计算即可；

（2）由正弦定理得到与的关系，再利用已知数量积得到向量模的积，从而解出与，再由余弦定理求得.

【详解】

（1）∵，∴，

∴，，

∴；

（2）∵，，

∵，，

∴，∴，解得：，故，

∴.

【点睛】

本题考查平面向量的应用，考查正、余弦定理的应用，考查简单的三角恒等变换，考查运算能力，属于常考题.

18．(1)证明见解析，；(2).

【分析】

(1)将给定等式变形为，计算即可判断数列类型，再求出其通项而得解；

(2)利用(1)的结论求出数列的通项，然后利用错位相减法求解即得.

【详解】

(1)因数列满足，，

则，而，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，，即，

所以数列是等比数列，，；

(2)由(1)知，

则

于是得， ，

所以数列的前项和.

19．（1）见解析（2）

【详解】

试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，

为正方形，所以在图中，，

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为，ABBC，

所以BC平面SAB，

又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，

所以SA平面ABCD，

（2）在AD上取一点O，使，连接EO．

因为，所以EO//SA

所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，

则AC平面EOH，所以ACEH．

所以为二面角E—AC—D的平面角，

在中，…11分

，即二面角E—AC—D的正切值为

考点：线面垂直的判定及二面角求解

点评：本题中第二问求二面角采用的是作角求角的思路，在作角时常用三垂线定理法；此外还可用空间向量的方法求解；以A为原点AB,AD,AS为x,y,z轴建立坐标系，写出各点坐标，代入向量计算公式即可

20．

（1）

（2）分布列见解析，

【分析】

（1）先由在100m处击中目标的概率为求出，进而求出，，再利用相互独立事件同时发生的概率进行求解；

（2）先写出的可能取值，求出每个变量的概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解.

（1）

解：记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为

事件、、，三次都没有击中目标为事件，则．

设选手甲在m处击中目标的概率为，则．

由m时，得，

所以，，

所以，．

由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为

．

（2）

解：由题设知，的可能取值为0，1，2，3．

，，

，．

则的分布列为

所以数学期望为．

21．（1）在上单调递增，在上单调递减，（2）证明见解析

【分析】

（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式即可得答案；

（2）由，通过的范围，从而得答案

【详解】

解：（1）由（），得，

由，得，由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

（2）由（），得，

由，得，由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以

因为，所以，所以，

所以函数在上没有零点

22．

（1）

（2）

【分析】

（1）把代入椭圆方程结合求出，，得到椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，进而得到的中点坐标，利用中点在四边形内（包括边界），得到直线斜率的取值范围.

（1）

由题设条件知，，，

解得：，．

故椭圆的方程为．

（2）

易证四边形为正方形，点的坐标，

显然直线的斜率存在，设直线的方程为．

如图，设点，的坐标分别为，，线段的中点为，

由，得，①

由，解得．②

因为，是方程①的两根，所以，于是

，．

因为，所以点不可能在轴的右边，

又直线，的方程分别为，，

所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为．

即，亦即．

解得，此时②也成立，

故直线斜率的取值范围．