河北省衡水中学2018届高三9月大联考数学（文）试题

衡水金卷2018届全国高三大联考文数

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题得，集合，所以.

集合中元素的个数为3.

故选C.

2. 已知命题：，，则命题为（   ）

A. ，    B. ，

C. ，    D. ，

【答案】D

【解析】全称命题的否定是特称命题，则：

若命题：，，则命题为，.

本题选择D选项.

3. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】D

【解析】结合复数的运算法则可得：，

即复数在复平面内对应的点位于第四象限.

本题选择D选项.

4. 已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题意得，，则，即.

所以双曲线的渐近线方程为，即.

故选A.

5. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，

设军旗的面积为S，由题意可得：.

本题选择B选项.

6. 下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】函数为奇函数，且在R上单调递减，

对于A，是奇函数，但不在R上单调递减；

对于B，是奇函数，但在R上单调递增；

对于C，

对于D，画出函数图象可知函数是奇函数，且在R上单调递减，

故选D.

7. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（   ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为A.

故选A.

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

8. 设，，，则，，的大小关系为（   ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】由题意得，.

得，而.

所以，即<1.

又.故.

选A.

9. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由框图可知，.

故选B.

10. 将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（   ）

A. 最小正周期为    B. 图象关于直线对称

C. 图象关于点对称    D. 初相为

【答案】C

【解析】易求得，其最小正周期为，初相位，即A，D正确，

而.故函数的图象关于直线对称，即B项正确，故C错误.

选C.

11. 抛物线有如下光学性质：过焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】令，代入可得，即.

由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点，所以.

故选B.

点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.

12. 已知的内角，，的对边分别是，，，且，若，则的取值范围为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由题意可得：,

且，，

据此可得：，即：，

据此有：，

当且仅当时等号成立；

三角形满足两边之和大于第三边，则，

综上可得：的取值范围为.

本题选择B选项.

点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．

2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知向量，，若，则__________.

【答案】1

【解析】由,得.即.

解得.

14. 已知函数，若曲线在点处的切线经过圆：的圆心，则实数的值为__________.

【答案】

【解析】结合函数的解析式可得：，

对函数求导可得：，故切线的斜率为，

则切线方程为：，即，

圆：的圆心为，则：.

15. 已知实数，满足约束条件则的取值范围为__________（用区间表示）.

【答案】

【解析】作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分表示)

设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；

当直线过点时，取得最大值.

即,所以.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.

16. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________.

【答案】

【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别与，则.即.

由.得.

所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在递增的等比数列中，，，其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：（1）由及得，，进而的，可得通项公式；

（2）利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列.

试题解析：

（1）设数列的公比为，

则，

又，

∴，或，（舍）.

∴，即.

故（）.

（2）由（1）得，.

∴

.

18. 如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：（I）连接交于点，连接，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．
（II）要求三棱锥的体积，转化为即可求解．

试题解析：

（1）连接交于点，连接.

在三棱柱中，四边形是平行四边形.

∴点是的中点.

∵点为的中点，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

（2）∵，，

∴.

在三棱柱中，

由平面，得平面平面.

又平面平面.

∴平面.

∴点到平面的距离为，且.

∴

.

19. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）

（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？

（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.

（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；

（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关；

(2)(i)经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2人.(ii)

【解析】试题分析：

(1)由列联表可得，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.

(2)（i）依题意可知，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.

（ii）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.

试题解析：

（1）由列联表可知，

.

因为，

所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.

（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.

（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为，.

则从5人中选出2人的所有可能结果为，，，，，，，，，共10种.

其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，

故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.

20. 已知椭圆：（）过点，离心率为，直线：与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在实数，使得（其中为坐标原点）成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；(2)存在实数，使得成立.

【解析】试题分析：（1）根据题意得，从而可得方程；

（2）直线和椭圆联立得，设，，由，得，即，由韦达定理代入即得.

试题解析：

（1）依题意，得

解得，，，

故椭圆的标准方程为.

（2）假设存在符合条件的实数.

依题意，联立方程

消去并整理，得.

则，

即或.

设，，

则，.

由，

得.

∴.

∴.

即.

∴.

即.

即，即.

故存在实数，使得成立.

21. 已知函数， .

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2).

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式可得，，结合导函数与原函数的单调性的关系可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)原问题等价于方程有实数根，构造函数，利用导函数研究函数存在零点的充要条件可得：当时，方程有实数根.

试题解析：

（1）依题意，得，.

令，即，解得；

令，即，解得，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题得， .

依题意，方程有实数根，

即函数存在零点，

又，

令，得.

当时，，即函数在区间上单调递减，

而， ，

所以函数存在零点；

当时，，随的变化情况如表：

所以为函数的极小值，也是最小值.

当，即时，函数没有零点；

当，即时，注意到，，

所以函数存在零点.

综上所述，当时，方程有实数根.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.

【答案】(1)曲线的普通方程为，直线的普通方程为；(2).

【解析】试题分析：（1）利用消去参数得曲线的普通方程为，利用得直线的普通方程为学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...

（2）利用圆的参数方程得，进而由三角求最值即可.

试题解析：

（1）由曲线的参数方程（为参数），

得曲线的普通方程为.

由，

得，

即.

∴直线的普通方程为.

（2）设曲线上的一点为，

则该点到直线的距离

（其中）.

当时，

.

即曲线上的点到直线的距离的最大值为.

23. 已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的值域为，若，试证明：.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为.

(2)结合绝对值三角不等式的性质可得，结合二次函数的性质可得，，则.

试题解析：

（1）依题意，得 则不等式，即为

或或解得.

故原不等式的解集为.

（2）由题得， ，

当且仅当，

即时取等号，

∴，

∴，

∵，∴，，

∴，

∴.