四川省绵阳南山中学2023届高三下学期高考热身考试文科数学试题

2023年5月

绵阳南山中学2023年高考热身考试

数学试题(文科)

命题人：李若虚      审题人：郑  瑜

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共6页；答题卷共 6页，满分150分。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、   选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合，则（   ）

A． B． C． D．

2．复数在复平面内对应的点为，则（     ）

A． B． C． D．

3．已知命题，使得，则为（     ）

A．，使得 B．，使得

C．，使得 D．，使得

4．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法中不正确的是（    ）

A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一

B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个

C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元

D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元

5．如图所示，点是边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（     ）

　A． 　　　　B． 

　C． 　　　　D．

6．某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为），则该几何体的体积为（　    ）

A．        B．         C．         D．

7．函数的部分图象大致为（  　  ）

A． B．

C． D．

8．将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（    ）

A．           B．              C．             D．

9．已知，，，则（    ）

A．        B．          C．          D．

10．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（  　  ）

A． B． C． D．

11．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ 　  ）

A． B． C． D．

12．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式_________．①；

②数列的前n项和存在最小值．

14．已知曲线在点处的切线被圆所截弦长最短，则_____________．

15．一封闭圆台上、下底面半径分别为1,4，母线长为6.该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为_____________．

16．已知抛物线C：，为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），且，直线交抛物线的准线于点C，与的面积之比为4：9，则的值为____________．

三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答）

17．（本小题满分12分）的内角的对边分别为，且______．

在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（1）求的面积； 

（2）（2）若，求．

18．（本小题满分12分） 2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．

（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；

（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．

附： 刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．

19．（本小题满分12分）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.

（1）已知点满足，求证四点共面；

（2）求点到平面的距离．

20．（本小题满分12分）已知函数，．

（1）若，求函数的最小值及取得最小值时的值；

（2）若函数对恒成立，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．

（1）求的方程；

（2）若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

选考题：（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求曲线M，N的极坐标方程；

（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知定义在R上的函数的最大值为．

（1）求的值；

（2）设，，求证：．