精品解析：海南省西南大学东方实验中学2023届高三模拟考试(5月押轴模拟)数学试题（解析版）

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西南大学东方实验中学2023届高三高考模拟考试数学第Ⅰ卷  选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据并集与补集的性质求解即可.【详解】因为全集，所以.故选：B2. 已知复数，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可得答案.【详解】，所以.故选：C3. 已知，则（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】计算，，再利用和差公式计算得到答案.【详解】，则，则，，则，.故选：A.4. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A，则事件A共包含以下10种情况：，而有放回的连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，则故选：D5. 某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（    ）A. 5 B. 10 C. 20 D. 30【答案】D【解析】【分析】由正态分布的对称性求出，即可求出的学生人数.【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称，则，所以，所以的学生人数为：人.故选：D.6. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前项和形式满足，再根据拼凑对应的形式，进而用表达求解即可.【详解】即，又等差数列的前项和形式满足，故.则，故.故选：A7. 已知是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用题给条件和椭圆定义构造不等式，进而求得椭圆离心率的取值范围.【详解】设椭圆左右焦点分别为，，连接, 由椭圆及直线的对称性知：四边形 为平行四边形，且，，在△中，，∴，（当且仅当时等号成立）可得，即，则，∴椭圆的离心率.故选：C8. 已知函数，其中为正整数，且为常数．若对于任意，函数在内均存在唯一零点，则实数的取值范围为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求导函数可以判断函数单调递增，再应用零点存在定理列式求范围即可.【详解】当时，恒成立，所以函数在上单调递增，所以函数在内均存在唯一零点只需即可，即，因为正整数，，所以对一切成立，因为当时，，当且仅当时等号成立，所以．故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列关于双曲线说法正确的是（    ）A. 实轴长为6 B. 与双曲线有相同的渐近线C. 焦点到渐近线距离为4 D. 与椭圆有同样的焦点【答案】ABD【解析】【分析】先求出双曲线的基本量，然后逐一分析每个选项是否正确.【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.故选：ABD10. 已知函数，若存在，使，则的值可以是（    ）A. 2 B.  C. 3 D. 【答案】BD【解析】【分析】由题设，令得且，结合给定定义域区间有且，在满足存在两个整数，进而确定范围，即可得结果.【详解】存在，使，即，令，则且，故且，所以，结合ω范围知：且，即在内至少存在两个值，若，则，可得满足；若，则，可得，又，故；综上，.故选：BD11. 如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，过AE的截面与棱BB、分别交于点F、G，则下列说法中正确的是（    ）A. 当点F为棱中点时，截面的周长为B. 线段长度的取值范围是C. 当点F与点B重合时，三棱锥的体积为D. 存在点F，使得【答案】ABC【解析】【分析】延长交延长线于，连接，利用比例式及勾股定理计算判断A；用长表示长并求出范围判断B；利用割补法求出体积判断C；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断D作答.【详解】在直三棱柱中，，，E为的中点，有，延长交延长线于，连接，如图1，令，于是，即，由，得，即，对于A，当点F为棱中点时，，，，，，所以截面的周长为，A正确；对于B，显然在上单调递增，所以，B正确；对于C，当点F与点B重合时，如图2，，，，三棱锥的体积：，C正确；对于D，以点C为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，则，，，显然与不垂直，因此不存在点F，使得，D错误.故选：ABC12. 已知x，y，z都为正数，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】令，利用指对数互化得，，，进而有，应用基本不等式判断A、C，构造且，应用导数研究单调性并判断其符号判断D.【详解】令，则，，，所以，B错误；（注意等号不成立），故，A正确；（注意等号不成立），则，C正确，由，令且，则，由，因为，故，综上，，即在上单调递减，所以，故恒成立，即，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意构造且，利用导数研究其函数符号即可.第Ⅱ卷  非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知，则的值等于______.【答案】【解析】【分析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.【详解】令，则；令，则，上述两式相加得，故故答案为：.14. 一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2，另一个数由6改为8，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为______．【答案】2【解析】【分析】由方差公式求出原一组数的方差和新数据的方差，相减即可得出答案.【详解】一个数由4改为2，另一个数由6改为8，故该组数据的平均数不变，设没有改变的6个数分别为，，…，，原一组数的方差，新数据的方差，所以．故答案为：2.15. 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______．【答案】##【解析】【分析】结合投影向量的概念得到，再根据平面向量垂直及数量积的运算律列式计算即可求解.【详解】因为向量在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以，因为，所以，所以，所以，故，故答案为：.16. 已知函数的图象与函数和的图象分别交于点，则________．【答案】【解析】【分析】确定，，设，根据函数单调递增得到，得到答案.详解】，则；，即，设，函数在上单调递增，，则，即.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．（1）求的解析式；（2）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）运用三角函数周期性、五点法求出解析式，运用图象平移变换及诱导公式求出解析式.（2）运用二倍角公式、平方公式求得、、、的值，运用诱导公式及和角公式求得，结合正弦定理可求得c，运用三角形面积求解即可.【小问1详解】由图可知，，解得：，所以，即：，将点代入得，所以，，解得：，，所以，所以，因为将函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，所以．【小问2详解】因为，所以，由，得，，因为，所以，即：，所以由，得，所以由，得，所以，由正弦定理，得，所以△的面积．18. 设等差数列前n项和为，已知，且是与的等差中项．（1）求的值；（2）若集合中最小的元素为6，求实数t的取值范围．【答案】（1）；    （2）【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程组，解之即可求得的值；（2）利用题给条件列出关于实数t的不等式，解之即可求得实数t的取值范围．【小问1详解】设等差数列的首项为，公差为d，则，解之得，则【小问2详解】由（1）得等差数列的首项为1，公差为2，则，由集合中最小的元素为6，可得满足不等式的最小正整数n为6，则，解之得则实数t的取值范围为19. 如图，在正六棱柱中，，，分别为，的中点.（1）证明：，，，四点共面；（2）求平面与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据证明线线平行证明四点共面即可；（2）空间向量法求面面角余弦值，再根据同角三角函数关系求正弦值即得.【小问1详解】取的中点 ，连接,又 为的中点，再结合正六棱柱的性质易得： ，且,四边形为平行四边形，，又 均为对应棱的中点，，，，，四点共面；【小问2详解】根据正六棱柱的性质可得： 两两相互垂直，分别以直线 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间坐标系，则根据题意可得： ,,根据正六棱柱的性质知平面的法向量 ,设平面的法向量为,则,令，则,设平面与平面所成角平面与平面所成角的余弦值为：所以平面 与平面所成角的正弦值为20. 为了解某班学生喜爱打羽毛球是否与性别有关，故对本班60名学生进行问卷调查，得到了如下的列联表：  喜爱不喜爱合计男 6 女16  合计  60已知在全班60人中随机抽取1人，抽到喜爱打羽毛球的学生的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整，并推断是否有99.9%的把握认为学生喜爱打羽毛球与性别有关；（2）采用分层抽样的方法在喜爱打羽毛球的学生中抽取5人，再选出2人参加学校组织的羽毛球比赛，记选出的2人中女生数为，求的分布列及数学期望.附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828 【答案】（1）列联表见解析，没有    （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用条件求出喜爱打羽毛球学生的人数，从而得出列联表，根据列联表求出，进而判断出结果；（2）利用条件可知的可能取值，再利用古典概率公式求出相应的概率，从而求出分布列及期望.【小问1详解】因为全班60人中随机抽取1人，抽到喜爱打羽毛球的学生的概率为，所以喜爱打羽毛球的学生的人数为40，其中男生为24人，女生16人，故可得到列联表： 喜爱不喜爱合计男24630女161430合计402060又，所以没有99.9%的把握认为学生喜爱打羽毛球与性别有关.【小问2详解】用分层抽样的方法在喜爱打羽毛球的学生中抽取5人，其中男生3人，女生2人，所以的可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为012的数学期望.21. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程．【答案】（1）    （2）或．【解析】【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得、，结合求出a、b即可求解；（2）设直线l的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，根据弦长公式表示，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】椭圆C的离心率为，又点M到右焦点距离的最大值为，即，解得，．又由，可得．∴椭圆C的方程为：．【小问2详解】由题意，设直线l的方程为，联立得，设，，则，，，当且仅当即时取等号．∴所求直线l的方程为或．22 已知，函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；(2)将原不等式变形为，设，构造函数，根据导数研究函数m(t)的最小值和零点的存在性定理可得(当且仅当时“=”成立)，进而求出结果.【小问1详解】当时，，所以所以，所以切线方程为，即.【小问2详解】由题意得，即，因为，所以设，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，又时，，又时，，所以存在，使，令，因为，所以当时，，即在区间上单调递减，当时，，即在区间上单调递增，所以，所以，即，得到，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，又，所以a的取值范围是.【点睛】解恒（能）成立问题，通常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解.