期末考试仿真模拟试卷05（解析版）-2022-2023学年高一数学下学期期末考试（人教版2019必修第二册）

2022-2023学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷05

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在中，已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】在中，已知，，，

由余弦定理得：，

故选：A

2．设复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】依题意，

.

故选：D

3．已知向量.若，则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】因为向量，

所以，

因为，

所以，

解得，

故选：B

4．五月初，受疫情影响线下课暂停，某校组织学生居家通过三种方式自主学习，每种学习方式人数分布如图1所示，解封后为了解学生对这三种学习方式的满意程度，利用分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意率调查，得到的数据如图2所示． 则下列说法中不正确的是（    ）

A. 样本容量为240

B. 若，则本次自主学习学生的满意度不低于四成

C. 总体中对方式二满意的学生约为300人

D. 样本中对方式一满意的学生为24人

【答案】B

【解析】对A，由饼图可得总人数为，故样本容量为，故A正确；

对B，当时，满意的人数为，故满意度为，故B错误；

对C，总体中对方式二满意的学生约为人，故C正确；

对D，样本中对方式一满意的学生为人，故D正确；

故选：B

5．已知l，m是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ）

A. 已知，，则 B. 已知，，则

C. 已知，，则 D. 已知，，则

【答案】C

【解析】对于A，，，则可能平行，可能相交，可能垂直.所以A错误；

对于B，，，则或，所以B错误；

对于C，，，则，故C正确；

对于D，，，则或，故D不正确.

故选：C.

6．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】因为，

所以由正弦定理边角互化得，

因为，

，

所以，

整理得

所以，

所以或，

因为，

所以或，即的形状一定是等腰或直角三角形

故选：D

7．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑绪"，其中，，当“阳马”（即四棱锥）体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由已知得，

∴．

将三棱柱置于长方体中，如下图所示，

此时“堑堵”即三棱柱的外接球的直径为，

∴三棱柱的外接球的体积为，

故选：B

8．如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边，上的点，且，，其中，若线段，的中点分别为M，N，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】在等腰中，已知，,

则,，

因为别是边的点，M，N分别为线段，的中点，

所以，

而，

左右两边平方得，

又因为，所以，因为，即，所以当时，的最小值为，即的最小值为.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．有甲、乙两种套餐供学生选择，记事件A为“只选甲套餐”，事件B为“至少选一种套餐”，事件C为“至多选一种套餐”，事件D为“不选甲套餐”，事件E为“一种套餐也不选”．下列说法正确的是（    ）

A. A与C是互斥事件 B. B与E是互斥事件，且是对立事件

C. B与C不是互斥事件 D. C与E是互斥事件

【答案】BC

【解析】事件A为“只选甲套餐”；

事件B为“至少选一种套餐”，

包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种套餐都选；

事件C为“至多选一种套餐”，

包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种都不选；

事件D为“不选甲套餐”，

包括选乙套餐，甲乙两种都不选；

事件E为“一种套餐也不选”.

A.事件A与C既不互斥也不对立，故A错误；

B.事件B与E是互斥事件，且是对立事件，故B正确；

C.事件B与C不互斥，故C正确；

D.事件C与E不互斥，故D错误.

故选：BC.

10．将一组数据从小到大排列为：，中位数和平均数均为a，方差为，从中去掉第6项，从小到大排列为：，方差为，则下列说法中一定正确的是（    ）

A.  B. 的中位数为a

C. 的平均数为a D.

【答案】AC

【解析】由的中位数和平均数均为a，可知，，故A正确；

中位数为，不一定等于，故的中位数不一定为a，B错误；

，故的平均数为a，C正确；

，由于，

故，

故，D错误.

故选：AC

11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C. 当时，的面积最大值为 D. 当时，为直角三角形

【答案】BD

【解析】，

由正弦定理得：，即，，

由余弦定理得：，

又，，故A错误；B正确，

若，由得，即，当且仅当时取等号，，即面积的最大值为，故C错误；

由得将其代入中得： ，进而得 ， ，故 ，进而可得： ，所以满足 ，故 为直角三角形，D正确.

故选：BD

12．如图，在长方体中，,分别为棱的中点，则下列说法中正确的有（    ）

A. DB1⊥CE

B. 直线与为相交直线

C. 若P是棱C1D1上一点，且D1P=1，则E、C、P、F四点共面

D. 平面CEF截该长方体所得的截面可能为六边形

【答案】BC

【解析】由题意，在正方体中，因为平面，

所以在平面内射影为，

在长方形中，因为，可得与不垂直，

结合三垂线定理可得与不垂直，所以A错误；

因为且，可得四边形为梯形，

所以与必相交，所以B正确；

点是棱上一点，且，取的中点，连接，

因为分别是和的中点，所以，

由四边形为平行四边形，所以，所以四点共面，所以C正确；

由选项C可知，为截面的边，截面又与平面及相交，

可得截面的两条边，所以截面共有五边形，所以D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为________

【答案】8

【解析】因为，所以第80％分位数为第8个数，

故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8.

故选：D．

14.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________．

【答案】

【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，

因为圆锥的表面积为，

所以，即，

又圆锥的侧面展开图是一个半圆，

所以，即，

所以，

所以这个圆锥的体积为.

故答案为：

15.已知矩形的边长满足，点满足，则的值为___________.

【答案】

【解析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设，

则点A（0，0）、B（1，0），C（1，3）、D（0，3），

，则点P（1，），

∴，，

因此，，，．

．

故答案为：

16．如图，在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为_________

【答案】

【解析】设，则，

在中，由余弦定理，得

，

在中，由余弦定理，得

，

由于，得，

即，整理，得，

在中，由余弦定理，得

,即，代入式化简整理，得

由基本不等式得，即，

当且仅当即时，等号成立，

当时，取得最大值为.

所以面积的最大值为

.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知复数，i是虚数单位）．

（1）若是纯虚数，求m的值和；

（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．

【答案】（1），；    （2）.

【解析】（1）依题意得，

，

若是纯虚数，则，解得，

，.

（2）由（1）知，，

，，

复数在复平面上对应的点位于第二象限，

，解得，即.

18．已知向量，.

（1）当实数为何值时，？

（2）若，，且、、三点共线，求实数的值.

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）因为，，则，，

因为，则，

解得.

（2）因为、、三点共线，则，

因为，，

所以，，解得.

19．如图所示，直三棱柱中，为中点．

（1）求证：平面；

（2）若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．

【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析

【解析】（1）连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，

因为为中点，

所以MF是的中位线，

所以，

因为平面，平面，

所以平面

（2）因为直三棱柱上下底面为正三角形，，，

所以，

所以，

所以，即，

由三线合一可得：，

又因为平面ABC，平面ABC，

所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以

因为

所以平面，

因为平面，

所以平面平面

20．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示

（1）求出a值；

（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．

【答案】（1）；    （2）41.5岁，42.1岁；    （3）.

【解析】（1）由，得.

（2）平均数为：岁；

设中位数为，则，∴岁.

（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为，，，，，设从5人中随机抽取2人，为，，，，，，，，，共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件，，，共4个，所以.

21．如图，在三棱柱-中， ，， ，在底面 的射影为的中点， 为的中点.

（1）证明：D 平面；

（2）求二面角-BD- 的平面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）设为 的中点，由题意得平面，∴，∵，

∴，故 平面，由 ，分别 ，的中点，得 且

，从而 ，∴四边形为平行四边形，故 ，又∵

平面，∴ 平面；（2）作 ，且，连结，

由， ，得，由，

，得 ，由，得 ，因此为二面角

的平面角，由 ，， ，得，

，由余弦定理得，.

22．锐角的三个内角是，满足．

（1）求角的大小及角的取值范围；

（2）若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围．

【答案】（1），角的取值范围为；    （2）

【解析】（1）设的外接圆的半径为，

因为，

由正弦定理可得，，，

所以，又，

所以，因为，

所以，

因为为锐角三角形，

所以，，

所以，

所以角的取值范围为；

（2）由已知为的外接圆的圆心，所以，

因为，所以，

又，所以，

所以，所以，

设，则，

又，所以

所以

因为，所以，

所以，

所以，

所以的取值范围为.