2023年江西省南昌市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年江西省南昌市中考数学二模试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江西省南昌市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列各数中，有理数是（　　）
A．﹣π B．0 C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．﹣3a+2a＝﹣a B．（﹣x2）3＝x6
C．a3+a2＝a5 D．（m+n）2＝m2+n2
3．如图，把一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝37°，那么∠2的度数是（　　）

A．30° B．25° C．23° D．37°
4．如图所示的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为（　　）

A．9 B．8 C．6 D．4
6．2022年5月4日12时46分许，一套重达50公斤的自动气象现测站，在珠穆朗玛峰北坡海拔8830米处架设成功，实时数据传回正常．众所周知，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，以下说法错误的是（　　）

A．海拔越高，大气压越低
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为60千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．当有意义时，m的取值范围是 　 　．
8．不等式的解集为 　 　．
9．关于x的方程x2﹣bx﹣4a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的解，则a﹣b的值为 　 　．
10．体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下：
距离x（m）
1.2＜x≤1.4
1.4＜x≤1.6
1.6＜x≤1.8
1.8＜x≤2.0
2.0＜x≤2.2
频数
1
4
8
10
2
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生获得优秀的频率为 　 　．
11．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2＝　 　．

12．如图所示，⊙O的直径AB＝4，弦AC＝2，点E是直线AB上的一动点，直线CE与⊙O交于点D，则当AE＝　 　时，△ACD是等腰三角形．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）如图，六边形ABCDEF的内角都相等．若∠1＝60°，求∠ADC的度数．

14．先化简，再求值：，其中．
15．在“母亲节”前夕，某花店用1020元购进康乃馨和玫瑰两种鲜花共400枝，已知康乃馨的进价为1.2元/枝，玫瑰的进价为3元/枝，求购进康乃馨和玫瑰各多少枝？
16．如图，在两个等腰直角△ABC和△CEF中，∠ABC＝∠CEF＝90°，点B是CE的中点．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．
（1）如图①，在线段CF上找出一点G，使四边形AEFG为平行四边形；
（2）如图②，在线段EF上找出一点H，使四边形AEHB为平行四边形．

17．“唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌．南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A．《龙的传人》、B．《祖国有我》、C．《东方红》、D．《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等．
（1）选中《龙的传人》是 　 　事件，选中《唱支山歌给党听》是 　 　事件（填“不可能”、“必然”或“随机”）；
（2）请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方红》”的概率．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．“阳光运动亮风采，强国有我向未来．”某校七年级开展“阳光体育”活动，现从中随机抽取A．B两组各20名学生的体育成绩进行统计，并对数据（成绩为百分制，单位：分）进行整理、描述和分析．下面是A组学生样本成绩频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）和表1．
其中，B组20名学生成绩的数据是：54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87
87 90 71 68 91
组别
平均分
中位数
众数
方差
A组
76.7
77
89
150.2
B组
78.1
a
b
128.49
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）请你选择样本中的一种统计量，对比哪个组的成绩更好一些？（写出一条理由即可）
（4）若七年级共有200名学生参加此次活动，请你结合A、B两组数据的情况，估计七年级成绩在80分以及80分以上的学生有多少人？

19．如图，BD为⊙O直径，点A、C在⊙O上，∠BAC＝120°，AB＝AC，点E为DB延长线上一点，∠BEA＝30°．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AEBC的形状并说明理由．

20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝k1x+b（k1≠0）与x轴交于点A，它与双曲线交于B（2，m），两点．
（1）求直线y1和双曲线y2的解析式；
（2）若点D在y轴上，△ABD是等边三角形，将△ABD沿直线BD翻折，点A落在点C处，判断点C是否在双曲线的图象上并说明理由；
（3）在（2）的条件下，求sin∠BEC的值．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．“南昌之星”摩天轮，是国内最高的摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江市民公园．游客乘坐南昌之星摩天轮可以从高处俯瞰四周美景，饱览赣江两岸风光．据工作人员介绍，该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低点P）处等待，当座舱到达最低处点P时有序进入座舱．（结果保留小数点后一位）

（1）若摩天轮转动一周约30分钟，则摩天轮每分钟转多少度？
（2）若∠POQ＝120°，则点Q距离地面多少米？
（3）游客甲从点P进入车厢之后，又有7辆车厢经过，游客乙进入第8辆车厢，求出甲乙乘坐的车厢到地面的距离相等时，距离地面的高度．
（参考数据：sin24°≈0.40，sin27°≈0.45，cos24°≈0.91，cos27°≈0.89）
22．已知△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BE、CD，点O是CD的中点，连接AO，（AD＜AB），△ABC绕点A旋转．
特例探究
（1）如图①，当点D、E分别在AB、AC上时，线段AO与BE的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
深入探究
（2）在△ABC绕点A旋转的过程中，试判断（1）中的两个结论是否成立，若成立，请利用图②证明你的结论；若不成立，请说明理由；

问题解决
（3）当△ABC旋转到图③位置时，点B落在DE延长线上，若BE＝12，DE＝6，求线段CD的长．
六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23．已知，抛物线L：y＝x2﹣4mx（m≠0），直线x＝m将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x＝m的对称图形，得到的整个图形L′称为抛物线L关于直线x＝m的“L双抛图形”；
感知特例
如图所示，当m＝1时，抛物线L：y＝x2﹣4mx上的点B，C，A，D，E分别关于直线x＝m对称的点为B′，C′，A′，D′，E′如下表：
…
B（1，﹣3）
C（2，﹣4）
A（3，﹣3）
D（4，0）
E（5，5）
…
…
B′（1，﹣3）
C′（ 　 　，　 　）
A′（ 　 　，　 　）
D′（﹣2，0）
E′（﹣3，5）
…
①补全表格；
②在图中描出表中对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到图象记为L′；
③若双抛图形L′与直线y＝t恰好有三个交点，则t的值为 　 　；
④若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为 　 　；
探究问题
（2）①若双抛图形L′与直线y＝t恰好有三个交点，则t的值为 　 　；（用含m的式子表达）
②若双拋图形L′的函数值随着x的增大而增大，直接写出x的取值范围；（用含m的式子表达）
③抛物线L的顶点为点C，点C关于直线x＝m对称点为C′，直线x＝m与双抛图形L′交点为点B，若△BCC′为等边三角形时，求m的值．



参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列各数中，有理数是（　　）
A．﹣π B．0 C． D．
【分析】根据实数的定义即可解答．
解：﹣π，，是无理数；
0是有理数．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数，熟知有理数和无理数统称实数是解题的关键．
2．下列运算正确的是（　　）
A．﹣3a+2a＝﹣a B．（﹣x2）3＝x6
C．a3+a2＝a5 D．（m+n）2＝m2+n2
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式进行计算，再得出选项即可．
解：A．﹣3a+2a＝﹣a，故本选项符合题意；
B．（﹣x2）3＝﹣x6，故本选项不符合题意；
C．a3和a2不能合并，故本选项不符合题意；
D．（m+n）2＝m2+2mn+n2，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式等知识点，能熟记合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式是解此题的关键．
3．如图，把一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝37°，那么∠2的度数是（　　）

A．30° B．25° C．23° D．37°
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，进而可以得出答案．
解：如图，
∵直尺的两条边平行，∠1＝37°，
∴∠1＝∠3＝37°，
∵直角三角板的一个角为30°，
∴∠2+∠3＝60°，
∴∠2＝60°﹣37°＝23°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，注意隐含条件，直尺的两条对边平行和直角三角板的一个锐角是30°是解题的关键．
4．如图所示的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，直接判断即可．
解：几何体的俯视图是：
．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是明确俯视图是从上往下看到的图形．
5．幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为（　　）

A．9 B．8 C．6 D．4
【分析】根据题意可知，第一行和第三列的数字之和是15，则第一行第一个数字为6，第三列最后一个数字为13﹣m，再由斜对角线的数字之和也为15得第三列最后一个数字为4，则13﹣m＝4，解出m即可选择．
解：∵第一行的数字之和是15，
∴第一行第一个数字为15﹣7﹣2＝6，
∵第三列的数字之和是15，
∴三列最后一个数字为15﹣2﹣m＝13﹣m，
∵斜对角线的数字之和也为15，
∴三列最后一个数字为15﹣5﹣6＝4，
∴13﹣m＝4，
解得：m＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题关键是仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
6．2022年5月4日12时46分许，一套重达50公斤的自动气象现测站，在珠穆朗玛峰北坡海拔8830米处架设成功，实时数据传回正常．众所周知，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，以下说法错误的是（　　）

A．海拔越高，大气压越低
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为60千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【分析】根据函数图象中的信息即可得到结论．
解：A．根据图象知，海拔越高，大气压越低，故不符合题意；
B．∵图象经过（2，80），（4，60），
∴2×80≠4×60，
∴图中曲线不是反比例函数的图象；故符合题意；
C．根据图象知海拔为4千米时，大气压约为60千帕；故不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，函数图象，正确地识别图象是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．当有意义时，m的取值范围是 　m≥﹣4　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：m+4≥0，
解得：m≥﹣4，
故答案为：m≥﹣4．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8．不等式的解集为 　x＞7　．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
解：，
x﹣1＞6，
x＞6+1，
x＞7，
故答案为：x＞7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
9．关于x的方程x2﹣bx﹣4a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的解，则a﹣b的值为 　4　．
【分析】根据方程的解的概念，将x＝a代入原方程，然后利用等式的性质求解．
解：由题意可得x＝a（a≠0），
把x＝a代入原方程可得：a2﹣ab﹣4a＝0，
∵a≠0，
∴等式左右两边同时除以a，可得：a﹣b﹣4＝0，
即a﹣b＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键．
10．体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下：
距离x（m）
1.2＜x≤1.4
1.4＜x≤1.6
1.6＜x≤1.8
1.8＜x≤2.0
2.0＜x≤2.2
频数
1
4
8
10
2
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生获得优秀的频率为 　0.48　．
【分析】用该班女生获得优秀的频率除以总人数即可．
解：该班女生获得优秀的频率为：＝0.48．
故答案为：0.48．
【点评】本题考查频数分布表，解答本题的关键是掌握“频率＝频数÷总数”．
11．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2＝　4：9　．

【分析】设大正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．
解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴S1＝S正方形ABCD，
∴S1＝x2，
∵＝，
∴＝，
∴S2＝S正方形ABCD，
∴S2＝x2，
∴S1：S2＝x2：x2＝4：9．
故答案是：4：9．

【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．
12．如图所示，⊙O的直径AB＝4，弦AC＝2，点E是直线AB上的一动点，直线CE与⊙O交于点D，则当AE＝　1或+1　时，△ACD是等腰三角形．

【分析】易证△OAC是等边三角形，当E点在O点左边由题可得CD⊥OA，通过Rt△OCE可求出OE，再求出AE；当E点在O点右边时，过C点作CF⊥AB，求出∠CEA＝45°，再求出AF和EF，即可求出AE．
解：∵AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
∵AC＝2，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠COE＝60°，
如图，当E点在O点左边，且△ACD是等腰三角形时，

∴AD＝AC，易得CE⊥AB，
在Rt△COE中，
∵∠COE＝60°，OC＝2，
∴EO＝OC＝1，
∴AE＝2﹣1＝1．
如图，当E点在O点右边时，过C点作CF⊥AB，垂足为F点，

由题意得，△ACD是等腰三角形，
∴，
∴∠ACD＝75°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠CEA＝45°，
在Rt△ACF中，
∵AC＝2，
∴AF＝×2＝1，
∴CF＝＝，
在Rt△CFE 中，EF＝CF＝，
∴AE＝+1．
故答案为：1或+1．
【点评】本题考查了圆周角定理的相关应用，勾股定理及等腰三角形的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）如图，六边形ABCDEF的内角都相等．若∠1＝60°，求∠ADC的度数．

【分析】（1）根据绝对值，零指数幂以及有理数的乘方的计算方法进行计算即可；
（2）根据正六边形的性质，求出每一个内角的度数，再根据四边形的内角和进行计算即可．
解：（1）原式＝3+1﹣4＝0；
（2）六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴每个内角的度数为：720°÷6＝120°，
又∵∠1＝60°，
∴∠ADC＝360°﹣∠DAB﹣∠B﹣∠C
＝360°﹣60°﹣120°﹣120°
＝60°．
【点评】本题考查绝对值，零指数幂以及有理数的乘方，正多边形的性质，掌握绝对值，零指数幂以及有理数的乘方的计算方法以及正六边形的性质是正确解答的前提．
14．先化简，再求值：，其中．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．
解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣（2+）＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
15．在“母亲节”前夕，某花店用1020元购进康乃馨和玫瑰两种鲜花共400枝，已知康乃馨的进价为1.2元/枝，玫瑰的进价为3元/枝，求购进康乃馨和玫瑰各多少枝？
【分析】设购进康乃馨x枝，购进玫瑰y枝，由题意：花店用1020元购进康乃馨和玫瑰两种鲜花共400枝，列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：设购进康乃馨x枝，购进玫瑰y枝，
依题意得：，
解得：，
答：购进康乃馨100枝，购进玫瑰300枝．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．如图，在两个等腰直角△ABC和△CEF中，∠ABC＝∠CEF＝90°，点B是CE的中点．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．
（1）如图①，在线段CF上找出一点G，使四边形AEFG为平行四边形；
（2）如图②，在线段EF上找出一点H，使四边形AEHB为平行四边形．

【分析】（1）延长AB交FC于G点，连接AE，由于△ABC和△CEF都为等腰直角三角形，则AB∥EF，由于点B是CE的中点，所以AB＝EF，BG＝EF，所以AG＝EF，加上AG∥EF，于是可判断
四边形AEFG为平行四边形；
（2）利用（1）所作的平行四边形AEFG，连接AF、EG，它们的交点为O点，延长BO交EF于H点，利用平行四边形为中心对称图形，则可得到H点为EF的中点，所以EH＝AB＝EF，加上EH∥AB，所以四边形AEHB为平行四边形．
解：（1）如图①，四边形AEFG为所作；
（2）如图②，四边形AEHB为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定和等腰直角三角形的性质．
17．“唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌．南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A．《龙的传人》、B．《祖国有我》、C．《东方红》、D．《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等．
（1）选中《龙的传人》是 　随机　事件，选中《唱支山歌给党听》是 　不可能　事件（填“不可能”、“必然”或“随机”）；
（2）请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方红》”的概率．
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念求解即可；
（2）画树状图，这次抽签所有等可能的结果共有12种，其中“选中《祖国有我》和《东方红》”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）选中《龙的传人》是随机事件，选中《唱支山歌给党听》是不可能事件，
故答案为：随机，不可能；
（2）列表如下：
红歌
A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由上表可知，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中选中《祖国有我》和《东方红》的结果有2种，
P（选中《祖国有我》和《东方红》）＝．
【点评】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．“阳光运动亮风采，强国有我向未来．”某校七年级开展“阳光体育”活动，现从中随机抽取A．B两组各20名学生的体育成绩进行统计，并对数据（成绩为百分制，单位：分）进行整理、描述和分析．下面是A组学生样本成绩频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）和表1．
其中，B组20名学生成绩的数据是：54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87
87 90 71 68 91
组别
平均分
中位数
众数
方差
A组
76.7
77
89
150.2
B组
78.1
a
b
128.49
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　80　，b＝　87　；
（2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）请你选择样本中的一种统计量，对比哪个组的成绩更好一些？（写出一条理由即可）
（4）若七年级共有200名学生参加此次活动，请你结合A、B两组数据的情况，估计七年级成绩在80分以及80分以上的学生有多少人？

【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求得a、b的值；
（2）求出第二组的频数，即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据平均数可以判断B组的成绩更好一些；
（4）用200乘以A．B两组成绩在80分以及80分以上的百分比即可．
解：（1）B组20名学生成绩从小到大排列为：54 62 62 67 68 69 71 72 79 80 80 84 87 87 87 88 90 91 91 93，
所以中位数为＝80，众数为87；
故答案为：80，87；
（2）第二组的频数为20﹣2﹣4﹣7﹣2＝5，
补全的频数分布直方图如图所示；

（3）B组的成绩更好一些，因为B组的平均分比较高．（答案不唯一，言之有理即可）；
（4）（人），
答：估计七年级成绩在80分以及80分以上的学生有100人．
【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．如图，BD为⊙O直径，点A、C在⊙O上，∠BAC＝120°，AB＝AC，点E为DB延长线上一点，∠BEA＝30°．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AEBC的形状并说明理由．

【分析】（1）连接OA，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得∠AOB＝2∠ACB＝60°，最后根据切线的判定与性质可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠OBA＝∠OAB＝60°，再由垂径定理及平行线的性质得∠CBO＝30°，根据平行四边形的判定可得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
又∵∠BEA＝30°，
∴∠OAE＝180°﹣∠AOB﹣∠AEB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；

（2）解：四边形AEBC为平行四边形，理由如下：
∵∠AOB＝60°且OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OBA＝∠OAB＝60°，
由（1）知∠OAE＝90°，
∴∠EAB＝∠OAE﹣∠OAB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴BC∥AE，
又∵∠OBA＝60°，∠ABC＝30°，
∴∠CBO＝30°，
∴∠CBO＝∠ACB，
∴AC∥BE，
∴四边形AEBC为平行四边形．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝k1x+b（k1≠0）与x轴交于点A，它与双曲线交于B（2，m），两点．
（1）求直线y1和双曲线y2的解析式；
（2）若点D在y轴上，△ABD是等边三角形，将△ABD沿直线BD翻折，点A落在点C处，判断点C是否在双曲线的图象上并说明理由；
（3）在（2）的条件下，求sin∠BEC的值．

【分析】（1）根据点E在双曲线y2上，得到k2＝﹣1×（﹣2）＝2，求得y2＝，把点B（2，m）代入双曲线上，得到m＝＝，把B（2，），E（﹣1，﹣2）代入y1＝k1x+b得，求得y1＝x﹣；
（2）根据勾股定理得到AB＝＝2，设D（0，n），根据AB＝AD，列方程即可得到结论D（0，），根据轴对称的性质得到C（1，2），求得点C在双曲线y2＝的图象上点；
（3）由（2）可知，DA＝DC＝CB＝BA，根据菱形的性质得到∠BAD＝60°，求得∠CAB＝30°，如图，过点C作CF⊥AB于点F解直角三角形即可得到结论．
解：（1）∵点E在双曲线y2上，
∴k2＝﹣1×（﹣2）＝2，
∴双曲线y2的解析式为y2＝，
∵点B（2，m）在双曲线y2上，
∴m＝＝，
∵B（2，），E（﹣1，﹣2）两点在y1＝k1x+b的图象上，
∴，
解得，
∴双曲线y1的解析式为y1＝x﹣；
（2）点C在双曲线y2＝的图象上，理由如下：
∵点A在直线y1上，
∴A（1，0），
∵B（2，），
∴AB＝＝2，
设D（0，n），
∵AB＝AD，
∴＝，
解得n1＝，n2＝﹣（舍去），
∴D（0，），
∴C（1，2），
当x＝1时，y＝＝2，
∴点C在双曲线y2＝的图象上点；

（3）由（2）可知，DA＝DC＝CB＝BA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠BAD＝60°，
∴∠CAB＝30°，
如图，过点C作CF⊥AB于点F，
∵CF＝AC＝，
∵E（﹣1，﹣2），C（1，2），
∴EC＝＝2，
∴sin∠BEC＝＝＝．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．“南昌之星”摩天轮，是国内最高的摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江市民公园．游客乘坐南昌之星摩天轮可以从高处俯瞰四周美景，饱览赣江两岸风光．据工作人员介绍，该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低点P）处等待，当座舱到达最低处点P时有序进入座舱．（结果保留小数点后一位）

（1）若摩天轮转动一周约30分钟，则摩天轮每分钟转多少度？
（2）若∠POQ＝120°，则点Q距离地面多少米？
（3）游客甲从点P进入车厢之后，又有7辆车厢经过，游客乙进入第8辆车厢，求出甲乙乘坐的车厢到地面的距离相等时，距离地面的高度．
（参考数据：sin24°≈0.40，sin27°≈0.45，cos24°≈0.91，cos27°≈0.89）
【分析】（1）根据题意，摩天轮转动一周为360°除以用时30分钟，即可求出摩天轮每分钟转的度数．
（2）作出辅助线，判断出四边形OABC为矩形，求出CB和QC的长，点Q距离地面的长度为CB+QC．
（3）根据题意求出每两个车厢相隔6°，设甲乘坐的车厢为点E，乙乘坐的车厢为点F，由题意得出甲乙两人的车厢形成的夹角，作出辅助线，判断出四边形OAMN为矩形，求出FN和MN的值，两者相加即为甲乙两车厢到地面的高度．
解：（1）根据题意，摩天轮转动一周为360°，
360°÷30＝12°．
答：摩天轮每分钟转12°．
（2）如图，过点Q作QB⊥L与B，
过点O作OC⊥QB于点C，
∵OA⊥L，QB⊥L，OC⊥QB，
∴∠OAB＝∠ABC＝∠OCB＝90°，
∴四边形OABC为矩形，
∴（米），
又∵∠POQ＝120°，∠AOC＝90°，
∴∠QOC＝30°，
∴（米），
∴QB＝QC+CB＝38.25+83.5≈121.8（米），
答：Q点距离地面121.8米．
（3）∵摩天轮一共有60个车厢且旋转一周为360°，
∴每两个车厢相隔360°÷60＝6°，
设甲乘坐的车厢为点E，乙乘坐的车厢为点F，
∴由题意得甲乙两人的车厢形成的夹角∠EOF＝8×6°＝48°，
∵甲乙两人车厢到地面距离相等，
∴∠EOP＝∠FOP，
延长PO交⊙O于D点，则，
过F做FM⊥L垂足为M，再过点O做ON⊥FM于点N，
∵OA⊥L，FM⊥L，ON⊥FM，
∴∠OAM＝∠AMN＝∠ONM＝90°，OP∥FM，
∴四边形OAMN为矩形，
∴NM＝OA＝83.5（米），
∵OD∥FM，
∴∠OFN＝∠FOD＝24°，
∴FN＝OF•cos24°
≈
＝69.615（米），
∴FM＝FN+NM≈69.615+83.5≈153.1（米），
答：甲乙两车厢到地面的高度为153.1米．


【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．
22．已知△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BE、CD，点O是CD的中点，连接AO，（AD＜AB），△ABC绕点A旋转．
特例探究
（1）如图①，当点D、E分别在AB、AC上时，线段AO与BE的数量关系是 　OA＝BE　，位置关系是 　OA⊥BE　；
深入探究
（2）在△ABC绕点A旋转的过程中，试判断（1）中的两个结论是否成立，若成立，请利用图②证明你的结论；若不成立，请说明理由；

问题解决
（3）当△ABC旋转到图③位置时，点B落在DE延长线上，若BE＝12，DE＝6，求线段CD的长．
【分析】（1）证明△DAC≌△EAB（SAS），由全等三角形的性质得出CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，则可得出结论；
（2）延长AO至点F使得AO＝OF，连接CF；分别延长OA、BE交于点G，证明△AOD≌△FOC（SAS），由全等三角形的性质得出CF＝AD，∠F＝∠OAD，证明△ACF≌△BAE（SAS），由全等三角形的性质得出AF＝BE，∠CAF＝∠ABE，则可得出结论；
（3）由（2）得，AO⊥BE，如图，延长OA交BE于点H，则AH⊥DE，由勾股定理可得出答案．
解：（1）在△DAC与△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，
∵∠DAC＝90°，OD＝OC，
∴AO＝OD＝DC＝BE，
∴∠ADO＝∠DAO，
∵∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，
∴AO⊥BE；
故答案为：，AO⊥BE；
（2）都成立，理由如下：
延长AO至点F使得AO＝OF，连接CF；分别延长OA、BE交于点G，
∵O为CD中点，
∴DO＝CO，
在△AOD与△FOC中，
，
∴△AOD≌△FOC（SAS），
∴CF＝AD，∠F＝∠OAD，
∴CF∥AD，
∴∠FCA+∠CAD＝180°，
又∵∠CAB+∠DAE＝180°，
∴∠CAD+∠BAE＝360°﹣∠CAB﹣∠DAE＝360°﹣180°＝180°，
∴∠FCA＝∠BAE，
在△ACF与△BAE中，
，
∴△ACF≌△BAE（SAS），
∴AF＝BE，∠CAF＝∠ABE，
∴，
又∵∠CAF+∠BAG＝180°﹣∠CAB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE+∠BAG＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣（∠ABE+∠BAG）＝180°﹣90°＝90°，
∴AO⊥BE，
综上所述：，AO⊥BE；
（3）由（2）得，AO⊥BE，
如图，延长OA交BE于点H，则AH⊥DE，

∴，OH＝OA+AH＝9，
∴．
∴．

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23．已知，抛物线L：y＝x2﹣4mx（m≠0），直线x＝m将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x＝m的对称图形，得到的整个图形L′称为抛物线L关于直线x＝m的“L双抛图形”；
感知特例
如图所示，当m＝1时，抛物线L：y＝x2﹣4mx上的点B，C，A，D，E分别关于直线x＝m对称的点为B′，C′，A′，D′，E′如下表：
…
B（1，﹣3）
C（2，﹣4）
A（3，﹣3）
D（4，0）
E（5，5）
…
…
B′（1，﹣3）
C′（ 　0　，　﹣4　）
A′（ 　﹣1　，　﹣3　）
D′（﹣2，0）
E′（﹣3，5）
…
①补全表格；
②在图中描出表中对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到图象记为L′；
③若双抛图形L′与直线y＝t恰好有三个交点，则t的值为 　﹣3　；
④若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为 　0≤x≤1或x≥2　；
探究问题
（2）①若双抛图形L′与直线y＝t恰好有三个交点，则t的值为 　t＝﹣3m2　；（用含m的式子表达）
②若双拋图形L′的函数值随着x的增大而增大，直接写出x的取值范围；（用含m的式子表达）
③抛物线L的顶点为点C，点C关于直线x＝m对称点为C′，直线x＝m与双抛图形L′交点为点B，若△BCC′为等边三角形时，求m的值．

【分析】（1）①由题意得：C，A和C′，A′关于直线x＝1对称，即可求解；
②根据函数的对称性即可画图；
③通过图可知，当x＝1时，y＝t和L′有3个交点，即可求解；
④观察函数图象即可求解；
（2）①由（1）知，L′与L关于直线x＝m对称，即可求解；
②当m＞0时，若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：0≤x≤m或x≥2m，当m＜0时，若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：2m≤x≤m或x≥0；
③求出C′（0，﹣4m2），得到BM＝﹣3m2﹣（﹣4m2）＝m2，CM＝|2m﹣m|＝|m|，进而求解．
解：（1）①由题意得：C，A和C′，A′关于直线x＝1对称，
故：C′（0，﹣4）A′（﹣1，﹣3），
故答案为：0，﹣4，﹣1，﹣3；
②根据函数的对称性画图如下：

③通过图可知，当x＝1时，y＝t和L′有3个交点，
当x＝1时，y＝x2﹣4x＝﹣3，
即：t＝﹣3，
故答案为：﹣3；
④从图象看，双拋图形L′的函数值随着x的增大而增大，此时x的取值范围为：0≤x≤1或x≥2，
故答案为：0≤x≤1或x≥2；

（2）①t＝﹣3m2，理由：
由（1）知，L′与L关于直线x＝m对称，且当x＝m时，y＝m2﹣4m2＝﹣3m2，
∴t＝﹣3m2时L′与直线y＝t恰好有3个交点，
故答案为：t＝﹣3m2；
②设抛物线L的顶点为点C，点C关于直线x＝m的对称点为C′，
∵抛物线L：y＝x2﹣4mx，
∴顶点C的横坐标为2m，对称点C′的横坐标为0，
∴当m＞0时，若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：0≤x≤m或x≥2m，
当m＜0时，若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：2m≤x≤m或x≥0；
③如图过点B作BM⊥CC′，垂足为M，

∵点B为直线x＝m与双抛图形L′交点，
∴点B的横坐标为m，代入L得y＝﹣3m2，即B（m，﹣3m2），
由②得点C的横坐标为2m，代入L得y＝﹣4m2，即C（2m，﹣4m2），
∴对称点C′（0，﹣4m2），
∴BM＝﹣3m2﹣（﹣4m2）＝m2，CM＝|2m﹣m|＝|m|，
∵△BCC′为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，点的对称性，等边三角形的性质等，解题关键是熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识．