上海市同济大学第一附属中学2023届高三三模数学试题（含解析）

这是一份上海市同济大学第一附属中学2023届高三三模数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市同济大学第一附属中学2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题1．已知全集，集合，则___________.2．不等式的解集是___________3．在的二项展开式中，项的系数是______（结果用数值表示）．4．已知为第二象限角，为其终边上一点，且，则x=___________.5．已知是虚数单位，复数满足，则___________.6．若实数x，y满足，则的最小值为______．7．已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为___________8．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．9．设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．10．已知边长为3的正的三个顶点都在球（为球心）的表面上，且与平面所成的角为，则球的体积为___________．11．已知曲线，点，是曲线上任意两个不同点，若，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则的最小值的正切值__________．12．对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则___________ 二、单选题13．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（    ）A．5 B．10 C．20 D．3014．将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（    ）A． B．C． D．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（    ）A． B． C． D．16．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：①若，则；②若，则．其中正确的是（    ）A．①与②均正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确 三、解答题17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.(1)求四棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.18．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．19．某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负. 并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸球的人摸出的球后不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和 .(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望；20．已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．(1)若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；(2)若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C使得|AC|＝|BC|，且的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．21．已知函数，，令．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)当为正数且时，，求的最小值；(3)若对一切都成立，求的取值范围．
参考答案：1．【分析】根据补集的定义计算.【详解】根据补集的定义，当全集，时，.故答案为：2．【分析】根据分式不等式运算求解.【详解】因为，等价于，等价于，解得，所以不等式的解集是.故答案为：.3．80【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为：，，当时，展开式中含有，故的系数为 ，故答案为：80.4．【分析】根据角的终边上的点的坐标结合余弦函数的定义列出方程，解方程即可.【详解】∵，∴或，∴或，∵是第二象限角，∴（舍去）或（舍去）或.故答案为：.5．【分析】利用复数的三角形式求解.【详解】解：因为，所以，，所以，故答案为：6．【分析】根据基本不等式可得．【详解】，，当且仅当时，取等，故答案为．【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．7．【分析】设利用向量的数量积坐标公式、模的公式化简即得解.【详解】设，因为在上的数量投影为，所以，化简得.所以点B所在直线方程为.故答案为：8．/0.75【分析】根据条件概率的计算公式即可求解．【详解】记事件＝“某人在春季里鼻炎发作”， 事件＝“某人在春季里感冒发作”，由题意可知，此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为 ，故答案为：9．/0.2【分析】根据函数周期性结合解析式可得，结合题意解得，代入求解．【详解】∵是周期为2的函数∴，又∵，即，则∴故答案为：．10．【分析】先计算出正三角形外接圆半径，再由与平面所成的角为求出球的半径，进而可求出结果.【详解】设正的外接圆圆心为，易知，在中，，即球的半径，故球的体积为.故答案为：11．【分析】根据解析式知曲线在、上分别为双曲线、抛物线的一部分，确定双曲线部分的渐近线、抛物线部分的切线，两线倾斜角的差即为的最小值，应用差角正切公式求其正切值.【详解】在上，曲线方程为是双曲线上支的一部分（），所以该部分渐近线为，在上，曲线方程为是抛物线的一部分，设过原点的直线且与抛物线相切，代入抛物线有，所以，故或（舍），所以切线为，如下图示：令、倾斜角分别为且，则，由，要使最小，只需让最小值，所以.故答案为：12．【分析】由题意可设，，，，得，对，进行赋值即可得出，的值，进而得出结论．【详解】因为，故．又由，则，，可设，，令，，且，又夹角，所以，对，进行赋值即可得出，所以．故答案为：．13．D【分析】由正态分布的对称性求出，即可求出的学生人数.【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称，则，所以，所以的学生人数为：人.故选：D.14．A【分析】把函数的图象变换后得到函数的图象，故所得函数的对称中心为，由此可得结果.【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，得函数的图象，向右平移个单位，得到函数的图象，令，可得，故所得函数的对称中心为，令，可得函数图象的一个对称中心为，故选：A15．C【分析】根据数列特征可知数列为等比数列，进而得到，利用累乘法可求得，代入即可.【详解】记数列为，设，则，，，，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，.故选：C.16．A【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设，结合，利用直线的方程得到，进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点，利用直线的方程得到，进而得到，可判定②正确.【详解】令函数，可得函数为单调递增函数，又由，即，所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示，①中，因为，且，则，不妨设， 则点，此时直线的方程为，可得，则，可得，又由，所以，即，即，所以①正确；②中，若，不妨设，则，不妨设， 则点，此时直线的方程为，可得，则，可得，又由，所以，即，即，所以②正确.故选：A.  【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答的关键.17．(1)；(2)． 【分析】（1）根据直线与平面所成的角可求出，从而得出，再根据四棱锥的体积公式即可解出；（2）取中点，连接，（或其补角）即为异面直线与所成的角，解三角形即可求出．【详解】（1）因为底面，所以直线与平面所成的角为，在中，，，所以，而，所以，因此四棱锥的体积．（2）如图所示：取中点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，即有，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．在中，，，所以，，所以，即异面直线与所成的角为．18．（1）；（2）.【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意有，解答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.19．(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）如果甲先摸出了绿色球，则甲还可以再摸两次，分摸到1个红球和摸到两个黄球两种情况讨论，结合古典概型及组合即可得解；（2）如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，写出随机变量的所有可能取值，分别求出求概率，即可得出分布列，再根据期望公式即可求出期望；【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件，则.（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分，，，，，，，所以的分布列为：67891011 所以的数学期望.20．(1)3(2)(3)直线l：或或 【分析】（1）令，求出即可．（2）设直线l：，与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表达出的面积即可．（3）分类讨论直线l，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求出M的坐标，再利用重心的性质求出C的坐标，代入椭圆即可求解．【详解】（1）∵，令，则，∴，∴．（2）设直线l：，，联立得，则，则，，，令，则，在上为增函数，，当且仅当，即时取等号，∴面积的最大值为．（3）当直线l不与x轴重合时，设直线l：的中点为M，联立得，则，则，∵的重心G在y轴上，∴∴，，∴直线CM：，代入椭圆得，或∴直线l：或当直线l与x轴重合时，C点在椭圆的上，下顶点，满足题意，此时l：，综上，直线l：或或21．(1)(2)1(3) 【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，利用直线的点斜式方程求出切线方程；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于的不等式，解出即可求出答案；（3）根据条件进行恒等转化，构造函数，问题转化为在上恒成立，利用不等式的性质求出范围即可.【详解】（1）当时，，∴，，，∴在处的切线方程为.（2）函数的定义域为，当时，.令，解得或.①当，即时，，故在上单调递增.所以在上的最小值为，符合题意；②当，即时，当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，不符合题意；当，即，同理在上单调递增，所以在上的最小值为，不符合题意；综上，实数a的取值范围是.故的最小值为1.（3）设，则，因为，所以对任意，，，且恒成立，等价于在上单调递增.而，当时，，此时在单调递增；当时，只需在恒成立，因为，只要，则需要，对于函数，过定点，对称轴只需，即，综上可得：.【点睛】（1）经过函数上的一点求切线方程的方法：对函数进行求导，得到导函数，求出在此点出的切线斜率，利用直线的点斜式方程，求出切线方程即可;（2）若已知含参函数最值，求按参数的取值范围或参数的最值时，通常要对函数进行求导，研究导数的正负，进而得到原函数的单调性，导数里含有参数，根据导数的具体形式对参数进行分类讨论，结合条件得出结果；（3）不等式抓化为函数值的比较，通常需要构造函数，如出现题中的不等式形式，需要构造，研究函数单调性，转化为导数在的恒成立问题.