高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时学案

3.2.2　第1课时  双曲线的简单几何性质

【学习目标】

【自主学习】

一．双曲线的几何性质

思考1：椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？

思考2：若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？

二．双曲线的中心和等轴双曲线

1.双曲线的       叫做双曲线的中心．

2.             的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝   .

【小试牛刀】

1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　 　)

(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.(　 　)

(3)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　)

(4)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　　)

2.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)

A.－＝1               B.－＝1或－＝1

C.－＝1              D.－＝1或－＝1

【经典例题】

题型一 根据双曲线方程研究几何性质

点拨：由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤

1.把双曲线方程化为标准形式；

2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；

3.由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．

提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．

例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

【跟踪训练】1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

题型二  由几何性质求双曲线的标准方程

1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路

由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．

2．常见双曲线方程的设法

(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．

(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．

(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．

(4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)．

例2　根据以下条件，求双曲线的标准方程．

(1)过点P(3，－)，离心率为；

(2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)．

【跟踪训练】2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.

题型三 求双曲线的离心率

点拨：求双曲线离心率的方法

1.若可求得a，c，则直接利用e＝得解．

2.若已知a，b，可直接利用e＝得解．

3.若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．

例3 如图所示，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．

【跟踪训练】3 已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．

【当堂达标】

1.（多选）设中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线的标准方程可以为（    ）

A． B．

C． D．

2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（ ）

A．x2－y2＝8    B．x2－y2＝4    C．y2－x2＝8   D．y2－x2＝4

3.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．

4.已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．

5.求过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程．

【参考答案】

【自主学习】

一．(－a,0)，(a,0)   (0，－a)，(0，a)   2a  2b   e＝>1  y＝±x

思考1：不一样，椭圆的离心率0<e<1，而双曲线的离心率e>1.

思考2：当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上．

二．对称中心   实轴和虚轴等长   

【小试牛刀】

1.(1)× (2)√ (3)× (4)√

2.B

【经典例题】

例1 解：双曲线的方程化为标准形式是－＝1，

∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.

又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，

焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.

【跟踪训练】1 解：把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.

由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；

c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.

例2 解：　(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，

∵e＝，∴＝2，即a2＝b2.①又双曲线过P(3，－)，∴－＝1，②

由①②得a2＝b2＝4，故双曲线方程为－＝1.

若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，

同理有a2＝b2，③－＝1，④由③④得a2＝b2＝－4(舍去)．

综上，双曲线的标准方程为－＝1.

(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3,2)代入得λ＝，

∴双曲线方程为－＝，即双曲线的标准方程为－＝1.

【跟踪训练】2 解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．

由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，

当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝.

当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

例3  1＋ 解析：连接AF1(图略)，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.

【跟踪训练】3 或　解析：当焦点在x轴上时，＝2，这时离心率e＝＝＝.

当焦点在y轴上时，＝2，即＝，这时离心率e＝＝＝.

【当堂达标】

1.AD 解析：中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的虚轴长为4，一条渐近线为，

可得b=2，一条渐近线为，如果双曲线的焦点坐标在x轴上，可得a=4，双曲线方程为：．如果双曲线的焦点坐标  在y轴上，可得a=1，此时双曲线方程为：．故选：AD．

2.A 解析：令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，

∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.

3.－＝1　解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1.

4.2　解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝，∴e＝2.

5.解：法一：当焦点在x轴上时，由于＝.故可设方程为－＝1，

代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；

当焦点在y轴上时，可知＝，故可设方程为－＝1，

代入点(2，－2)得a2＝2.所以所求双曲线方程为－＝1.

法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，

故可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，

代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，即－＝1.