数学人教A版 (2019)3.2 双曲线第2课时学案及答案

这是一份数学人教A版 (2019)3.2 双曲线第2课时学案及答案，共9页。学案主要包含了学习目标，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
3.2.2　第2课时 直线与双曲线的位置关系【学习目标】课程标准学科素养1.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定方法．2.会求直线和双曲线相交的弦长.3.能够解决弦中点问题.1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【经典例题】题型一  直线与双曲线的位置关系点拨：直线与双曲线位置关系的判定方法通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，1.在a≠0的情况下考查方程的判别式．①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．2.当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．　　　　 例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．       【跟踪训练】1若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)A．(1，2)　　　　B．(1，2]     C．(1，)       D．(1，] 题型二 弦长问题点拨：求弦长的两种方法1.距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．2.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝·＝·|x1－x2|或|AB|＝·＝·|y1－y2|.注意：当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解．　　　例2 已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．      【跟踪训练】2 斜率为2的直线l与双曲线－＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________．题型三 中点弦问题点拨：中点弦问题解决方法方法1：可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；方法2：可以用点差法和中点坐标公式求解．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝.例3 过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为             ．  【跟踪训练】3 已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．  【当堂达标】1.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　 　)A．1条            B．2条        C．3条     D．4条2.过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________.3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．        4.过点P(，5)且与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程.    5.已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．    6.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．              【参考答案】【经典例题】例1 联立消去y得，(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．①即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．③即k＜－，或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，当－＜k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜时，直线与双曲线有两个公共点；当k＝±1，或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k＜－，或k＞时，直线与双曲线没有公共点．【跟踪训练】1  D 解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e>1，所以离心率e的取值范围是(1，].例2 解：(1)设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，又c＝2，所以b＝，所以双曲线方程为x2－＝1.(2)题意可知直线m的方程为y＝x－2，联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，由弦长公式得|AB|＝·＝·|x1－x2|＝6. 【跟踪训练】2  y＝2x± 解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0.故x1＋x2＝－m，①x1x2＝.②由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16.③把①②代入③，解得m＝±.∴直线l的方程为y＝2x±.例3  2x－y－15＝0  解：设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x－4y＝4，①x－4y＝4，②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵P是线段AB的中点，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝＝2．∴直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为2x－y－15＝0．【跟踪训练】3  ±1 解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．又点(m，2m)在x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.  【当堂达标】1.C 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－)，由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0．当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，|AB|＝＝＝＝＝4，解得k＝±，故这样的直线有3条．2. 3 解析：双曲线的左焦点为(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y＝(x＋2)，即x－y＋2＝0，由得8y2－12y＋9＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝.∴|AB|＝·＝＝3.3. 解：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2.4.解：若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝，此时仅有一个交点(，0)，满足条件．若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，代入到双曲线方程，得－＝1，所以25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，(25－7k2)x2－7×2kx(5－k)－7(5－k)2－7×25＝0.当k＝时，方程无解，不满足条件．当k＝－时，方程2×5x×10＝875有一解，满足条件．当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知方程无解，所以不满足条件．所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x＝和y＝－x＋10.5.解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴两式相减，得＝y－y，∴＝.∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝＝＝－.经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.6.解：(1)联立方程组消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，则解得－＜k＜，且k≠±1.∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±.∴实数k的值为±或0.