2021年高考真题——数学（全国甲卷）（理科）（含解析）

这是一份2021年高考真题——数学（全国甲卷）（理科）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，Ⅰ.必考题，Ⅱ.选考题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.设集合M={x∣00成立，所以甲是乙的必要条件．
故选B．
8.【答案】B
【解析】过C作CH⟂BB′，过B作BD⟂AA′，
故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH)=AA′−BB′+100=AD+100，
由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB．
所以AA′−CC′=DB+100=A′B′+100．
因为∠BCH=15∘，
所以CH=C′B′=100tan15∘
在ΔA′B′C′中，由正弦定理得：
‍A′B′sin⁡45∘=C′B′sin⁡75∘=100tan⁡15∘cs⁡15∘=100sin15∘，
而sin15∘=sin(45∘−30∘)=sin45∘cs30∘−cs45∘sin30∘=6−24，
所以A′B′=100×4×226−2=100(3+1)≈273，
所以AA′−CC′=A′B′+100≈373．
故选B．
‍
9.【答案】A
【解析】∵tan2α=csα2−sinα，
‍tan2α=sin⁡2αcs⁡2α=2sin⁡αcs⁡α1−2sin2⁡α=cs⁡α2−sin⁡α，
‍∵α∈(0，π2)，csα≠0，2sinα1−2sin2α=12−sinα，
解得sinα=14，
‍csα=1−sin2α=154，
‍tanα=sinαcsα=1515.
故选A .
10.【答案】C
【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有C51=5种排法，若2个0不相邻，则有C52=10种排法，
所以2个0不相邻的概率为105+10=23.
故选C .
11.【答案】A
【解析】设等腰直角三角形ABC的外心为H，则H为AB的中点，连接OH，如图，∵AC=BC=1，∴AH=22.又OH⟂平面ABC，且在Rt△OAH中，OA=1,AH=22,∴OH=22，∴V三棱锥O−ABC=13×12×1×1×22=212，故选A.
‍
12.【答案】D
【解析】因为f(x+1)是奇函数，所以f(−x+1)=−f(x+1)①；
因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(−x+2)②．
令x=1，由①得：f(0)=−f(2)=−(4a+b)，由②得：f(3)=f(1)=a+b，
因为f(0)+f(3)=6，所以−(4a+b)+a+b=6⇒a=−2，
令x=0，由①得：f(1)=−f(1)⇒f(1)=0⇒b=2，所以f(x)=−2x2+2．
思路一：从定义入手．
‍f(92)=f(52+2)=f(−52+2)=f(−12)，
‍f(−12)=f(−32+1)=−f(32+1)=−f(52)，
‍−f(52)=−f(12+2)=−f(−12+2)=−f(32)，
所以f(92)=−f(32)=52．
思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数f(x)的周期T=4．所以f(92)=f(12)=−f(32)=52．
故选D．
13.【答案】5x−y+2=0
【解析】由题，当x=−1时，y=−3，故点在曲线上．
求导得：y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，
所以y′|x=−1=5．
故切线方程为5x−y+2=0．
故答案为5x−y+2=0．
14.【答案】−103
【解析】∵a⟶=(3，1)，b⟶=(1，0)，
‍∴c⟶=a⟶+kb⟶=(3+k，1),
‍∵a⟶⟂c⟶,∴a⟶·c⟶=3(3+k)+1×1=0，解得k=−103,
故答案为−103.
15.【答案】8
【解析】方法一：由题意得b=2.∵点P，Q关于原点对称且|PQ|=|F1F2|，∴四边形PF1QF2是矩形，故四边形PF1QF2的面积为2S△PF1F2=2b2tan45∘=8.
方法二：∵a=4，b=2，∴c=23.∵点P，Q关于原点对称且|PQ|=|F1F2|，
‍∴四边形PF1QF2是矩形.在△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=48①，|PF1|+|PF2|=2a=8②，由①②得|PF1|·|PF2|=8，则 四边形PF1QF2的面积为2S△PF1F2=2×12|PF1|·|PF2|=8.
16.【答案】2
【解析】由图可知34T=13π12−π3=3π4，即T=2πω=π，所以ω=2；
由五点法可得2×π3+φ=π2，即φ=−π6；
所以f(x)=2cs(2x−π6).
因为f(−7π4)=2cs(−11π3)=1，f(4π3)=2cs(5π2)=0；
所以由(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0可得f(x)>1或f(x)