2022年高考真题——数学（全国甲卷）（理科）（含解析）

这是一份2022年高考真题——数学（全国甲卷）（理科）（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，I.必考题，II.选考题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.若z=−1+3i，则zzz¯−1=( )
A.−1+3iB.−1−3iC.−13+33iD.−13−33i
2.某社区通过公益讲座以及普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
‍
则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2}，B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=( )
A.{1,3}B.{0,3}C.{−2,1}D.{−2,0}
4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方系的边长为1，则该多面体的体积为( )
‍
A.8B.12C.16D.20
5.函数y=(3x−3−x)csx在区间[−π2,π2]的图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
6.当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f′(2)=( )
A.−1B.−12C.12D.1
7.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30∘，则( )
A.AB=2AD
B.AB与平面AB1C1D所成的角为30∘
C.AC=CB1
D.B1D与平面BB1C1C所成的角均为45°
8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB⏜是以为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB⏜上，CD⟂AB.“会圆术”给出AB⏜的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA．当OA=2，∠AOB=60∘时，s=( )
‍
A.11−332B.11−432C.9−332D.9−432
9.甲，乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙 ，若S甲S乙 =2，则V甲 V乙=( )
A.5B.22C.10D.5104
10.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则的离心率为( )
A.32B.22C.12D.13
11.设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A.[53,136)B.[53,196)C.(136,83]D.(136,196]
12.已知a=3132,b=cs14,c=4sin14，则( )
A. c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.设向量a⟶,b⟶的夹角的余弦值为13，且|a⟶|=1, |b⟶|=3，则(2a⟶+b⟶)·b⟶=
14.若双曲线y2−x2m2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2−4y+3=0相切，则m=
15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一平面上的概率为
16.已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD＝ ．
四、I.必考题（共60分）
17.记Sn为数列{an}的前n项和.已知2Snn+n=2an+1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值.
18.在四棱锥P−ABCD中，PD⟂底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=3.
‍
(1)证明：BD⟂PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
20.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M,N两点，当直线MD⟂x轴时，|MF|=3.
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A,B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α,β，当α−β取得最大值时，求直线AB的方程.
21.已知函数f(x)=exx−lnx+x−a．
(1)若f(x)⩾0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x285%，所以B正确；
对C选项，讲座前问卷答题的正确率数据波动要大于讲座后问卷答题的正确率，故标准差也应大于讲座后的标准差，所以C错误；
对D选项，讲座前正确率的极差为35%，讲座后正确率极差为20%，所以D错误，故选B.
3.【答案】D
【解析】由B={x∣x2−4x+3=0}={1,3}，A∪B={−1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)={−2,0}，故选D.
4.【答案】B
【解析】由三视图还原几何体，如图，
‍

则该直四棱柱的体积V=2+42×2×2=12.
故选B.
5.【答案】A
【解析】设f(x)=(3x−3−x)csx，f(−x)=(3−x−3x)cs(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD，令x=1，则f(1)=(3−3−1)cs1>0，排除C，故选A.
6.【答案】B
【解析】f′(x)=ax−bx2，由条件，得f(1)=b=−2f′(1)=a−b=0，所以a=b=−2，即f′(x)=−2x+2x2，易知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以函数f(x)在x=1处取得最大值−2，所以f′(2)=−22+222=−12，故选B．
7.【答案】D
【解析】如图所示：
‍
不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为∠D1A，所以sin30∘=cB1D=bB1D，即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，解得a=2c．
对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A错误；
对于B，过B作BE⟂AB1于E，易知BE⟂平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，因为tan∠BAE=ca=22，所以∠BAE≠30∘，B错误；
对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，AC≠CB1，C错误；
对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C，sin∠DB1C=CDB1D=a2c=22，而00，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD·ADcs∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD·ADcs∠ADC=4m2+4−4m，
所以AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m，
设t=4m2+4−4mm2+4+2m，则(t−4)m2+(2t+4)m+4t−4=0,
若t=4，则m=−1，（舍）
若t≠4，由方程有解得：Δ=(2t+4)2−4(t−4)(4t−4)⩾0
即t2−8t+4⩽0，解得4−23⩽t⩽4+23，
所以t的最小值是4−23，此时x=2+t4−t=3−1，
所以当ACAB取最小值时，x=3−1，即BD=3−1.
17.【答案】(1)由于2Snn+n=2an+1，变形为2Sn=2nan+n−n2，记为①式，
又2Sn−1=2(n−1)an−1+n−1−(n−1)2，记为②式，
①—②可得(2n−2)an−(2n−2)an−1=2n−2,n⩾2,n∈N*
即an−an−1=1,n⩾2,n∈N*，所以{an}是等差数列；
(2)由题意可知a72=a4a9，即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8)，解得a1=−12，所以
‍an=−12+(n−1)×1=n−13，其中a1