2023年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷02（含考试版+全解全析+参考答案）

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2023年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学
仿真模拟试卷02
考生须知
1. 考生要认真填写考场号和座位序号.
2. 本试卷共8页，分为两个部分，第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.
第一部分 （选择题 60分）
一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分．在每题四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩（∁RB）＝（　　）
A．{1，2} B．{﹣2，3} C．{﹣2，1，2} D．{﹣2，2，3}
【答案】D
解：∵A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴∁RB＝{x|x≤﹣1或x≥2}，A∩（∁RB）＝{﹣2，2，3}．
故选：D．
2．复数1﹣i的共轭复数为（　　）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【答案】C
解：复数1﹣i的共轭复数为1+i．
故选：C．
3．sin300°的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：sin300°＝sin（360°﹣60°）＝﹣sin60°＝﹣，
故选：D．

4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（　　）
A．y＝0 B． C．y＝x2 D．y＝2x
【答案】D
解：选项A，y＝0既是奇函数又是偶函数，不符合题意；
选项B，y＝是奇函数，不符合题意；
选项C，y＝x2是偶函数，不符合题意；
选项D，y＝2x是非奇非偶函数，符合题意．
故选：D．

5．已知，且α是第四象限角，则cos（﹣3π+α）的值为（　　）
A． B．﹣ C．± D．
【答案】B
解：由已知cos（）＝﹣可得：sinα＝﹣，
又α是第四象限角，则cos，
所以cos（﹣3π+α）＝﹣cos．
故选：B．
6．设a＝30.7，b＝log0.81.6，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【答案】D
解：a＝30.7＞1，b＝log0.81.6＜0，c＝log0.70.8∈（0，1），
故b＜c＜a．
故选：D．
7．命题“”的否定为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
解：全称命题的否定是特称命题，故，否定为：．
故选：A．


8．化简所得的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
解：∵＝+＝．
故选：C．
9．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（　　）
A．3 B．3 C．6 D．
【答案】C
解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥侧面展开的扇形面积为πrl，底面圆面积为πr2，
因为πrl＝2πr2，所以l＝2r，
所以圆锥的高为h＝＝r，
所以圆锥的体积为πr2h＝πr2•r＝，解得r＝3，
所以该圆锥的母线长为l＝2r＝6．
故选：C．
10．设a、b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若a∥b且b⊂α，则a∥α （2）若a∥α且b⊂α，则a∥b
（3）若a∥b且a∥α，则b∥α （4）若a∥α且b∥α，则a∥b
其中不正确的个数是（　　）
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
解：根据题意，依次分析4个结论：
（1）若a∥b且b⊂α，则a∥α或a⊂α，（1）错误；
（2）若a∥α且b⊂α，则a∥b或a与b异面，（2）错误；
（3）若a∥b且a∥α，则b∥α或b⊂α，（3）错误；
（4）若a∥α且b∥α，则a与b平行、相交或异面，（4）错误；
其中有4个结论不正确．
故选：D．
11．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2，m，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n﹣m为（　　）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】C
解：高三一班的第25百分位数是m，第90百分位数是×（36.8+37.0）＝36.9；
高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是（n+37.1）；
所以m＝36.3，（n+37.1）＝36.9，解得n＝36.7，
所以n﹣m＝0.4．
故选：C．

12．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝4，，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB⋅BC⋅cosB，即，解得AC＝3，
所以AB2＝AC2+BC2，
所以△ABC为直角三角形，
则在Rt△ABC中，．
故选：A．
13．sin70°sin10°+cos10°cos70°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
解：sin70°sin10°+cos10°cos70°＝cos（70°﹣10°）＝cos60°＝．
故选：A．

14．已知正数m，n满足2m×4n＝2，则的最小值为（　　）
A．3 B．5 C．8 D．9
【答案】D
解：由正数m，n满足2m×4n＝2，即2m×22n＝2m+2n＝2，
所以m+2n＝1，
所以，
当且仅当，即时，取得等号．
故选：D．
15．不等式2x2+5x﹣12＜0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B．
解:由2x2+5x﹣12＜0可得（2x﹣3）（x+4）＜0，解得，
因此，原不等式的解集为．
故选：B．
16．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】C
解：因为，，
所以，
所以，向量在向量上的投影向量为．
故选：C．

17．某公司有职工340人，其中男职工180人，用分层抽样的方法从该公司全体职工中抽取一个容量为68的样本，则此样本中男职工人数为（　　）
A．40 B．36 C．34 D．32
【答案】B
解：一个单位共有职工340人，其中男职工180人，
则样本中男职工人数为人．
故选：B．

18．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（　　）（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631 ）
A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.4%
【答案】C
解：由题意知，lg（100X0）＝10lg（1+p）+lgX0，
即2+lgX0＝10lg（1+p）+lgX0，
所以1+p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585．
故选：C．

19．已知函数的部分图象如图所示，将f（x）图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列判断正确的是（　　）

A．g（x）的最小正周期为4π
B．g（x）的图象关于直线对称
C．g（x）在区间上单调递增
D．g（x）在区间上的最小值为
【答案】C
解：由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象可得＝＝，
T＝2π，∴ω＝1．
再由五点法作图可得+φ＝，求得φ＝，
∴函数f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+）＝2sin（x+），
故把将f（x）的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，
即可得到g（x）的图象解析式为g（x）＝2sin（2x﹣），
∵T＝＝π，
∴g（x）的最小正周期为π，A错误，
∵×2﹣＝，
∴g（x）不关于对称，B错误，
令≤2x﹣
解得：，
令k＝0，可得，
∴g（x）单调递增，C正确，
由g（x）最小正周期，在单调递增，
在单调递减，
在g（x）上单调递增，
在上单调递减，
g（）＝1，
，
∵，
∴g（x）在区间最小值为1，D错误．
故选：C．

20．某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，三层为餐饮区，招商工作结束后，共有100家商家人驻，各楼层的商铺种类如表所示，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（　　）

生活用品店
服装店
餐饮店
一层
25
7
3
二层
4
27
4
三层
6
1
23
A．0.75 B．0.6 C．0.4 D．0.25
【答案】D
解：100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23＝75家，
故不一致的有100﹣75＝25家，
所以从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为．
故选：D．

第二部分（非选择题 共40分）
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
21．函数的定义域为 　 　．
【答案】（1，2）．
解：由题意，得，解得1＜x＜2，
故函数的定义域为（1，2）．
故答案为：（1，2）．

22．已知向量满足，则与的夹角为 　　．
【答案】．
解：设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
，
则cosθ＝＝，
故与的夹角为．
故答案为：．
23．四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA＝OB＝2，OC＝4，D为四面体OABC外一点，给出下列命题：
①不存在点D，使四面体ABCD三个面是直角三角形；
②存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；
③存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上；
④存在点D，使CD与AB垂直且相等，且．
其中真命题的序号是 　 　．
【答案】②③④．
解：如图所示：

对于①，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA＝OB＝2，OC＝4，
∴，
当四棱锥ABCD与四面体OABC一样时，即取CD＝4，AD＝BD＝2，四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，
此时点D使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确；
对于②，由①知，使AB＝AD＝BD，此时存在点D，使，则四面体C﹣ABD是正三棱锥，故②正确；
对于③，四面体OABC的外接球的球心为P，半径为为r，只需PD＝r即可，
∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故③正确；
对于④，由，取的中点为E，
则有CE⊥AB，DE⊥AB，CE，DE⊂平面CDE，CE∩DE＝E，AB⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，AB⊥CD，
即存在点D，使CD与AB垂直且相等，且，故④正确．
故答案为：②③④．

24．写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________．
①；
②；
③任取，，，．
【答案】（答案不唯一）
解：由题设，的对称轴为直线，在上单调递增，故可设，由，得，解得，故符合要求．
故答案为：(答案不唯一)．

三、解答题（共4小题，每小题7分，共28分，每题写出必要的解题过程和步骤）
25．（本小题满分7分）
已知函数f（x）＝（a2﹣5a+7）⋅（a﹣1）x是指数函数．
（1）求实数a的值；
（2）已知g（x）＝f2（x）﹣2f（x）+3，x∈[﹣1，2]，求g（x）的值域．
【答案】（1）a＝3；（2）[2，11]．
解：（1）由题意可得，解得a＝3；
（2）由（1）可得f（x）＝2x，因为x∈[﹣1，2]，令t＝f（x），，
令h（t）＝t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2，则g（x）min＝h（1）＝2，g（x）max＝h（4）＝11，
因此函数g（x）的值域为[2，11]．

26．（本小题满分7分）
已知，，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】（1）π（2）[-1,2]

解：(1)∵，
∴的最小正周期．
由，，
解得，
故函数的对称轴方程为，．
(2)时，可得：，
当时，函数取得最小值为．
当时，函数取得最大值为．
所以函数在区间上的值域为．

27．（本小题满分7分）
如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，FA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，DE∥AF，且FA＝3DE＝3．
（1）在线段AB上是否存在点M，使得ME∥平面BCF；
（2）求三棱锥A﹣EFC的体积．

【答案】（1）存在；（2）．
解：（1）存在，理由如下：
如图，分别取AB，AF靠近点A的三等分点M，G，连接GE，GM，AE，ME，
则，所以GM∥BF．
又GM⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，
所以GM∥平面BCF．
因为DE∥AF，，FA＝3DE＝3，
所以DE∥AG，DE＝AG，
所以四边形ADEG是平行四边形，
所以GE∥AD，
因为AD∥BC，所以GE∥BC，
又GE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，
所以GE∥平面BCF，
且GM∩GE＝G，所以平面GME∥平面BCF，
ME⊂平面GME，
所以ME∥平面BCF．
（2）由题意可知△ACD为等边三角形，因为FA⊥底面ABCD，
所以平面ACD⊥平面ADEF，平面ACD⋂平面ADEF＝AD，
过点C作CQ⊥AD，所以CQ⊥平面ADEF，因为△ACD为等边三角形，
所以，则点C到平面ADEF的距离，
，
．


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28．（本小题满分7分）
已知函数
(1)若且函数的值域为,求的表达式;
(2)在(1)的条件下, 当时, 是单调函数, 求实数的取值范围;
(3)设, 且为偶函数, 判断能否大于零,并说明理由.
【答案】(1)（2）或（3）能大于零
解：(1) ∵, ∴又恒成立, ∴,
∴,.∴
∴
(2)
, 当或时, 即或时,
是单调函数.
(3) ∵是偶函数
∴, ∵设则.
又 ∴.
＋,
∴＋能大于零.