2023年辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学押题卷（一）

2023年辽宁省普通高中学业水平合格性考试押题卷（一）（解析版）

数学

第I卷（共36分）

一、单选题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据集合的交集运算定义进行求解即可.

【详解】根据已知解得，则.

故选：B

2．如图，正方形中，分别为的中点，且，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量线性运算可得，从而得到的值.

【详解】，，，

.

故选：C.

3．方程的根所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.

【详解】令，显然单调递增，

又因为，，

由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，

所以的根所在区间为.

故选：B

4．已知a＝0.63，b＝30.6，c＝log30.6，则（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c

C．c＜a＜b D．c＜b＜a

【答案】C

【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解即可．

【详解】因为0＜0.63＜0.60＝1，则0＜a＜1，

而b＝30.6＞30＝1，c＝log30.6＜log31＝0，

所以c＜a＜b．

故选：C

5．已知函数是偶函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性及时的解析式，求出时的函数解析式.

【详解】因为函数是偶函数，所以，

时，，

故.

故选：A

6．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接根据复数的除法运算进行求解即可.

【详解】.

故选：A

7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

【答案】C

【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.

【详解】A. 若，，，则与相交，平行，故A错误；

B. 若，，则或，故B错误；

C. 若，，则，且，则，故C正确；

D. 若，，，但没注明，所以与不一定垂直，故D错误.

故选：C

8．设命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可写出答案.

【详解】因为命题，

所以：.

故选：A

9．若函数和分别由下表给出：

则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【分析】直接读取表格中的数据即可得到相应点的函数值.

【详解】由表格可得，则

故选：D

10．已知 ，，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据的范围和的值，求出的值，从而求出的值即可．

【详解】∵，，

∴，

∴.

故选：C.

11．已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.

【详解】由题知，，，

所以，的平均数为，

的方差分别.

故选：C.

12．已知函数且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在中令可求得的值.

【详解】由题意可得.

故选：B.

第II卷 非选择题（共64分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程。

13．若正数x，y满足，则的最小值为________．

【答案】##

【分析】先将变形为，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为，，所以，

则，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以，即的最小值为.

故答案为：.

14．函数恒过的定点坐标为______．

【答案】

【分析】根据指数函数性质求解即可.

【详解】解：令，即时，，

所以，函数恒过的定点坐标为

故答案为：

15．计算__________.

【答案】

【分析】根据指数幂运算和对数运算法则即可求得结果.

【详解】原式

故答案为：

16．10名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么数据的80%分位数是______.

【答案】21

【分析】把数字从小到大排列，根据第百分数规则求解.

【详解】解析：从小到大排列，得13，14，17，18，19，19，20，20，22，22，又因为

，第8位20，第9位22，故数据的80%分位数是.

故答案为：

三、解答题（共5题，共52分）

17．（10分）已知平面向量．

(1)若，求满足的和的值；

(2)若，求m的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用向量相等列出关于和的方程组，解之即可求得和的值；

（2）利用向量垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值．

【详解】（1）当时，

∴

∴，解之得

（2）由，可得，

又，则

解得：或

18．（10分）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且．

(1)求角A的大小；

(2)求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用两角和的余弦公式及诱导公式变形可得答案；

（2）先利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，进而可得面积的最大值.

【详解】（1），

，

，，

，；

（2）由余弦定理可得：，

即，

则，，当且仅当时，等号成立．

，

面积的最大值为．

19．（10分）如图，在正方体中，分别是的中点.

(1)证明：平面；

(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论；

（2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定.

【详解】（1）连接，

分别为中点，，

，，四边形为平行四边形，，

，又平面，平面，

平面.

（2）假设在棱上存在点，使得平面，

延长交于，连接交于，

，为中点，为中点，

，，，

平面，平面，平面平面，

，又，四边形为平行四边形，，

；

当时，平面.

20．（10分）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．

(1)求m，n，x，y的值；

(2)求中位数；

(3)用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布表可求得，根据频率分布直方图中的含义即可求得其值；

（2）根据频率分布直方图，利用中位数的估计方法，可计算得答案；

（3）用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，确定每组中的人数，列举从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动的所有基本事件，列举出抽到的2人均来自第四组的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.

【详解】（1）由题意可知,第四组的人数为，

故，；  

又内的频率为 ，∴；

∵内的频率为 ，∴.

（2）由频率分布直方图可知第一、二组频率之和为，

前三组频率之和为，

故中位数为：.

（3）由题意可知，第4组共有16人，第5组共有4人，

用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人,则第四、第五组抽取人数为4人和1人，

设第4组的4人分别为 ，第5组的1人分别为A,

则从中任取2人，所有基本事件为：

共10个，

又抽到的2人均来自第四组的基本事件有∶共6个，

故抽到的2人均来自第四组的的概率为.

21．（12分）已知函数，.

(1)求的最小正周期；

(2)若，求的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）将函数化为的形式，再利周期公式求解．

（2）先求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即可求解.

【详解】（1）

所以最小正周期.

（2）由，则，

所以，所以

当，即时，.

当，即时，.