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- 03第三章 函数的概念与性质——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区） 试卷 6 次下载
- 04第四章 指数函数与对数函数——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区） 试卷 4 次下载
- 06第六章 平面向量和复数——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区） 试卷 7 次下载
- 07第七章 立体几何初步——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区） 试卷 6 次下载
- 08第八章 统计——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区） 试卷 6 次下载
05第五章 三角函数——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区）
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这是一份05第五章 三角函数——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区），文件包含05第五章三角函数解析版docx、05第五章三角函数原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
第五章 三角函数
5.1任意角和弧度制
5.2三角函数的概念
5.3诱导公式
5.4三角函数的图象与性质
5.5三角恒等变换
5.6函数
5.7三角函数实战
5.1任意角和弧度制
知识回顾
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2、角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3、象限角
（1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
（2）象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角
或
第四象限角
或
4、终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
5、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
6、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
7、常用的角度与弧度对应表
角度制
弧制度
8、扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
高频考点
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，
设扇形的半径为，则，
解得，则扇形的圆心角的弧度数为.
故选:C.
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的母线长为 ，底面圆半径为，
则底面圆面积为 ，底面圆周长为 ；
又圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积为 ；
由圆锥的侧面积是底面积的2倍得： ，所以
所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，
故选：C.
3．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：与角终边相同的角的集合为，
取时，.
故选：D
4．（2022·辽宁实验中学高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为，弧度数为，则.
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为，将圆周32等分，每一份的弧长为.
【答案】D
【详解】A.根据弧度数定义可知A正确；
B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；
C.根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为，即弧度数为，故C正确；
D.圆周长为，32等分后，每一份弧长为，故D错误.
故选：D
5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）将化为的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由知.
故选：B.
6．（2022·全国·高一课时练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为．
故选：C
7．（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
8．（2022·海南·嘉积中学高二期末）2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（ ）
A．60度 B．75度 C．270度 D．285度
【答案】B
【详解】春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，
所以芒种为黄经度.
故选：B
9．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
【答案】AB
【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.
故选：AB．
10．（多选）（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知是第一象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】AC
【详解】解：是第一象限角，，，
，，
当取偶数时，是第一象限角，当取奇数时，是第三象限角，
故选：AC．
11．（2022·全国·高一学业考试）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为______．
【答案】
【详解】由题意，可知圆心角，半径，
所以所对应的弧长为．
故答案为：.
12．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数是___________．
【答案】或4
【详解】试题分析：设扇形半径为，弧长为，则由题意，解得或，所以或，所以答案应填：或4．
13．（2022·全国·高一课时练习）已知在半径为的圆中，弦的长为.
（1）求弦所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.
（2）因为，所以.，
又，
所以.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【答案】(1)
(2)取得最大值25，此时
（1）由题意得，解得(舍去)，．
所以扇形圆心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以当时，取得最大值25，
,解得.
当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.
5.2三角函数的概念
知识回顾
1、任意角的三角函数定义
（1）单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
（2）终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：
②余弦函数：
③正切函数：()
2、三角函数值在各象限的符号
,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）
3、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
（2）商数关系:（，）
高频考点
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限，又，则的终边在第三象限.
故选：C.
2．（2022·贵州·高二学业考试）若角是锐角，且，则（ ）
A． B．－ C．－ D．
【答案】D
【详解】因为，可得，
又因为角是锐角，可得，所以.
故选：D.
3．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知角的终边经过点， 则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【详解】解：由题意得.
故选：B.
4．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为角的终边上一点坐标为，
所以，
且的终边位于第四象限，
，．
当时，角取最小正值，
故选：C．
5．（2022·福建·高二学业考试）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
当是第一象限角时，，
当是第二象限角时，，
当是第三象限角时，，
当是第四象限角时，，
综上，函数值域为．
故选：C．
6．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知角终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为角终边经过点，且，
所以，所以，且，
解得，
所以
故选：B.
7．（2022·全国·高一学业考试）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，所以，，
所以
故选：A
8．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角终边过点，则的值为（ ）
A． B． C．– D．–
【答案】A
【详解】由题意得，点到原点的距离，
所以根据三角函数的定义可知，，
所以.
故选：A．
9．（多选）（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；；
故选：BCD．
10．（2022·全国·高一期末）对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（ ）
A．①③ B．①④ C．④⑥ D．②⑤
【答案】BC
【详解】若为第二象限角，则，，.
所以，为第二象限角或或.
故选：BC.
11．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知为第三象限角，且，则__________.
【答案】
【详解】由条件可知，且为第三象限角，
解得：，.
故答案为：
12．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知角的终边过点，且，则的值为_________．
【答案】##0.5
【详解】试题分析:由题设,所以,解之得,故应填答案.
13．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．
【答案】；当时，，；当时，，
【详解】，；
当时，，；
当时，，.
14．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．
【答案】(1)时间为4秒，
(2)点滚动的路程为，点滚动的路程为．
（1）设、第一次相遇时所用的时间是，
则，
（秒，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为，则，，
点的坐标为，
（2）第一次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为，故第二次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为．
5.3诱导公式
知识回顾
诱导公式一
① ②
③其中.
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
公式七
公式八
高频考点
1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
故选：D
2．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，则.
故选：D.
3．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A
4．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
根据诱导公式：
故选：A.
5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.
故选：D．
6．（2022·全国·高一课时练习）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
7．（2022·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴，
∴.
故选：A.
8．（2022·广东韶关·高一期末）已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知，
故选:B．
9．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知角满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为，则且，
当为奇数时，原式；
当为偶数时，原式.
故原式的取值可能为、.
故选：AC.
10．（多选）（2022·海南华侨中学高一期末）已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】A选项，由诱导公式得：，A正确；
B选项，因为，且为第二象限角，，所以，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，，D错误.
故选：AB
11．（2022·全国·高一学业考试）已知，则______．
【答案】##0.75
【详解】解：由题意得：
∵，
∴．
故答案为：
12．（2022·全国·高一学业考试）已知函数是偶函数，则的一个取值为___________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为该函数是偶函数，所以有，
当时，有，
于是有：或，
解得：，
当时，有，
于是有或，
解得，
所以，显然的一个取值可以是，
故答案为：
13．（2022·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
（1），因为为第二象限角，∴．
（2）∵，∴
14．（2022·安徽·亳州二中高一期末）在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
(1)由题意，，
由三角函数的定义得，，
；
(2)由（1）知，
.
5.4三角函数的图象与性质
知识回顾
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
对称轴方程
无
递增区间
递减区间
无
高频考点
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A, ,故是偶函数,A正确；
对于B，是奇函数，B错误；
对于C，为非奇非偶函数，C错误；
对于D，为非奇非偶函数，D错误；
故选：A
2．（2022·湖南娄底·高二学业考试）函数的最小正周期是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】函数的最小正周期是，
故选：B．
3．（2022·贵州·高二学业考试）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，函数
根据正弦型函数的周期的计算公式，可得函数的最小正周期为.
故选：C.
4．（2022·北京·高三学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在上单调递增，故A不符题意；
在上单调递减，故B符合题意；
在上单调递增，故C不符题意；
在上不单调，故D不符题意.
故选：B.
5．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图可知函数的定义域中不含，且函数图象关于原点对称，
与的定义域均为，不符合题意，故A、B错误；
对于C：，则，故C错误；
对于D：定义域为，且，符合题意；
故选：D
6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：C.
7．（2022·全国·高一学业考试）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数是定义域上的奇函数
其图象关于原点对称，排除选项D；
当时，，此时，
∴当时，的图象在轴上方，排除选项B；
当时，，的图象在轴下方，排除选项C；
综上所述，函数的大致图象为选项A.
故选：A.
8．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，因为，定义域为R，所以，所以是偶函数，所以不正确；
对于B，因为定义域为R ，，所以是奇函数，但在上是减函数，所以不正确；
对于C，因为的定义域为不关于原点对称，所以不具备奇偶性，所以不正确；
对于D，因为，定义域为R，，
是奇函数，设，则，
因为，所以，，
所以，即，是定义域为R的单调递增函数，所以正确.
故选：D．
9．（2022·贵州·高二学业考试）函数的最大值是___．
【答案】.
【详解】由正弦函数的图象与性质，可得，
所以函数的最大值为.
故答案为：.
10．（2022·湖北·高二学业考试）函数的单调递减区间为________.
【答案】
【详解】对于函数，
令，,
求得，
可得它的单调递减区间为，，，
故答案为，，．
11．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期.
【答案】(1)(2)
(1)∵，
∴
(2)∵，∴，
∴的最小正周期
12．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知函数，从下列两个问题中选择一个解答，两个都做只给第一问的分数.
问①：（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域.
问②：（1）求的值；（2）求的单调递增区间.
【答案】选①：（1）；（2）；选②：（1）；（2），.
【详解】,
选①，（1），
（2）时，，，所以的值域为；
选②，（1）；
（2），，
所以增区间是，．
13．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
【答案】(1)；
(2).
(1)
；
(2)∵函数的单调递减区间为，
令，，
解得：，，
∴函数的单调递减区间为．
14．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知函数的最小正周期是.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间.
【答案】(1)2；
(2).
(1)∵，
∴|ω|＝2，又ω＞0，则ω＝2.
(2)∵ω＝2，则，
令，则，
∴，
∴函数的增区间为.
5.5三角恒等变换
知识回顾
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中)
高频考点
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A.
2．（2022·贵州·高二学业考试）＝（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【详解】.
故选：D
3．（2022·广西·高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A
4．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，故最大值为2
故选：B
5．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】．
故选：A．
6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知角的为第四象限角，它的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为第四象限角与单位圆交于，所以解得
由第四象限角得，
所以
故选：D
7．（2022·天津南开·高二学业考试）函数是 （ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【答案】A
【详解】函数函数的周期，
，函数是奇函数，
所以函数是周期为的奇函数.
故选：A.
8．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）函数 的最小正周期为________.
【答案】
【详解】解：因为，所以，所以，所以函数的最小正周期；
故答案为：
9．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）若，则________________.
【答案】
【详解】由，得，所以．
故答案为：．
10．（2022·四川·高三学业考试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
（1）解：∵，∴，即函数的最小正周期为．
（2）解：在区间上，，∴，∴，∴的最大值为，的最小值为．
11．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知函数，求
（1）求函数的最小正周期；
（2）当，求函数的值域．
【答案】（1）；（2）.
【详解】，
（1）最小正周期为；
（2）由知：，故.
12．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知函数，若__________．
条件①：，且在时的最大值为；
条件②：．
请写出你选择的条件，并求函数在区间上的最大值和最小值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①或选②结论相同，最大值为0；最小值为．
【详解】
，其中，
若选①，，解得，得，
所以，
由，得，
当时，，
当时，；
若选②，，得，
所以，
由，得，
当时，，
当时，.
13．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.
【答案】（1），（2）
【详解】（1）
，
，
由，得，
所以的单调递增区间为，
（2）由（1）得
，
由，得，
所以，即，
所以，
所以的值域为
14．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数.
（1）求函数的定义域和最小正周期；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）
，
定义域为，
；
（2），
，
即 ，
，
.
15．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知函数
（1）求函数的单调减区间；
（2）求当时函数的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）
令，可得
所以函数的单调减区间为
（2）当时，，
所以
即
16．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解析：（1），
所以最小正周期．
（2）∵，∴，
∴，∴.
5.6函数
知识回顾
1、五点法作图
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数，
第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：，,,,
2、三角函数图象变换
参数,,对函数图象的影响
1.对函数,的图象的影响
2、()对函数图象的影响
3、()对的图象的影响
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
3、根据图象求解析式
形如的解析式求法：
（1）求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
（2）求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
（3）求法：最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
高频考点
1．（2022·天津河东·高二学业考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】C
【详解】将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，
得，即得到函数的图象，
故选：C
2．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）将的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，
得到的新的解析式为，整理得.
故选：D.
3．（2022·天津红桥·高二学业考试）为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【详解】解：，
则为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点向右平移个单位长度.
故选：B.
4．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知，为了得到的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【详解】解：因为=，
所以只需给图像向左平移个单位，
即可得到的图像.
故选：A
5．（2022·湖南娄底·高二学业考试）将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为.
故选：C
6．（2022·贵州·高二学业考试）给出下列几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变． ②向左平移个单位长度．
③横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变． ④向左平移个单位长度．
则由函数的图象得到的图象，可以实施的变换方案是（ ）
A．①→② B．①→④ C．③→② D．③→④
【答案】D
【详解】的图象得到的图象，有如下两个方法，
第一种：向左平移个单位得到，再横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到，即②→③.
第二种，横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到，再向左平移个单位长度得到，即③→④.
故选：D.
7．（2022·湖北·高二学业考试）将函数的图像向右平移个单位长度后得到的函数图像关于轴对称，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，平移后所得图象对应的函数解析式是：，
因函数的图象关于y轴对称，即函数是偶函数，
因此，，即，而，所以.
故选：D.
8．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图像向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆半径为，则函数的解析式为
【答案】B
【详解】对于A，根据中心对称，可知点的横坐标为，
所以的最小正周期，故A正确；
对于B，由周期可得，又，即，，且，
所以，因此，由，可得，
所以函数在上不单调，故B错误；
对于C，函数的图像向左平移个单位后，得到函数，
对称轴为，即，故关于直线对称，故C正确；
对于D，若圆半径为，则，所以，函数解析式为，故D正确．
故选:B
9．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）将函数向右平移个单位长度得到函数，若函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将函数向右平移个单位长度得到函数，
由，得，
由，得，
所以，
所以，
故选：B.
10．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【详解】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
11．（多选）（2022·福建·上杭一中高二学业考试）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】由周期得，所以，
令,解得,取，分别可得和，
故选：AD
12．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在单调递减
C．函数的图象关于直线对称
D．该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】CD
【详解】由图象可知：A=2，周期；
由，解得：，
故函数.
对于A：，故A错误；
对于B：当 时，因为上正弦函数先减后增，不单调，所以在上不单调，故B错误；
对于C：当 时，即直线是的一条对称轴，故C正确；
对于D：向右平移个单位得到，故D正确.
故选：CD.
13．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】ABD
【详解】由函数的图象可得，周期，所以，
当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，
故函数.
对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；
对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；
对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.
故选：ABD.
14．（2022·全国·高一学业考试）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则可能的取值是______．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（满足，即可）
【详解】函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数解析式，又因为平移后的图象经过点，
所以得到，所以，
解得，，不妨令，则，
故答案为：．（答案不唯一）
15．（2022·四川南充·高一期末）已知函数的部分图象，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(1)解：根据函数的部分图象
可得，，所以.
再根据五点法作图可得，
所以，.
(2)将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
由，可得
又函数在上单调递增，在单调递减
，，
函数在的值域.
16．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图．
(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）根据图象，可得，，
∴
∴，将代入f（x），得，
即，，
又，∴，
∴．
（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，
由题得，
∵在[0，]上有两个不同的实数解，
∴在[0，]上有两个不同的实数解．
∵，
令，
∴，
则需直线与的图象在有两个不同的公共点．
画出在时的简图如下：
∴实数m的取值范围是．
17．（2022·全国·高一单元测试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当，时，恒成立，求a的最大值.
【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，
(2)最大值为0
（1）
故函数的最小正周期.
由得.
∴函数的单调递增区间为，.
（2）∵，∴，
∴，.
由恒成立，得，即.故a的最大值为0.
18．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.
【答案】(1)，对称中心为，．
(2)单调递减区间为；，．
（1）解：根据函数，，的部分图像，
可得，，．
再根据五点法作图，，，故有．
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为，．
（2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向右平移个单位，得到的图像，
即，
令，，解得，，
可得的减区间为，，
结合，可得在上的单调递减区间为．
又，故当，时，取得最大值，即；
当，时，取得最小值，即．
5.7三角函数实战
一、单选题
1．计算的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】.
故选：B.
2．已知函数（）的图象如图所示，则它的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】观察图象知，函数在上的图象从左到右是下降的，在上的图象从左到右是上升的，
所以函数（）的单调递减区间是.
故选：A
3．若是第一象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是第一象限角，且，
所以，
故选：A
4．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将函数的图象向左平移个单位后，可得.
故选：C.
5．函数的值域是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在上单调递增，在上单调递减
在上单调递增，在上单调递减
当时取最大值
且当时取最大值
函数的值域是
故选：B
6．已知，且为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，，所以，因为为第四象限角，所以，所以
故选：D
7．若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由两边平方得，即，解得.
故选B.
8．函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由，
又函数的值域为，
则函数的最小值为.
故选：A.
9．若第三象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为第三象限角，所以，
因为，且，
解得或，
则.
故选：D.
10．是锐角，且，，则的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是锐角，且，，所以 ,选C.
11．关于函数有下列四个结论：
①的图象关于原点对称；
②在区间上单调递增；
③的一个周期为；
④在是有四个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A
【详解】解：对于①，函数的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，当时，，，所以，
又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故②正确；
对于③，因为，所以不是函数的周期，故③不正确；
对于④，在时，令，即，解得，共3个零点，故④不正确；
综上得正确命题的编号为：①②，
故选：A.
12．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，函数的最小正周期为，
故
即
令
即
令，可得，故A正确；
BCD选项中，不存在与之对应，故错误
故选：A
13．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵.
∴，
∴，
故选：C.
二、多选题
14．下列函数中最大值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】解：对于A：函数值域为，故A正确；
对于B：函数的值域为，故B正确；
对于C：函数的值域为，故C错误；
对于D：函数的值域为，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
15．已知，则__________.
【答案】-3
【详解】∵，∴，
故答案为：-3.
16．已知、是方程的两根，并且、，则的值是______．
【答案】
【详解】、是方程的两根，并且、，
∴，，．
∴、均大于零，故、，∴．
∵，∴，
故答案为：．
17．函数的最小正周期是，则______.
【答案】2
【详解】因为，所以.
故答案为.
18．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
四、解答题
19．已知．求的值．
【答案】
【详解】因为，
所以将代入上式，得．
20．已知函数，且满足．
（1）求x的取值范围；
（2）求函数的单调增区间.
【答案】（1），；（2），．
【详解】（1）∵
∴，.
（2）
=
∵
∴，即.
故有，得，.
同时需联立，.
综上可得函数的单调增区间为，.
21．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若的最小值为0，求常数的值．
【答案】（1）； （2）.
【详解】（1）由函数，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知函数，
因为的最小值为0，可得当时，取得最小值，
即，解得.
22．已知函数的最小正周期是.
（1）求值；
（2）求的对称中心；
（3）将的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间.
【答案】（1）2；（2），；（3），.
【详解】（1），又，
∵，
∴.
（2）由（1）知，，令，解得.
∴的对称中心是，.
（3）将的图像向右平移个单位后可得：，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：，
由，解得，.
∴的单调递增区间为，.
23．已知函数，.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1），即.
（2），
故的最小正周期.
（3）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故在上的值域为.
24．已知O为坐标原点，，，，若.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）设，求函数在上的最小值.
【答案】（1）；（2）2.
【详解】（1）由题意，，，
所以
，
所以函数的最小正周期为，
由，，
得，，
所以的单调递增区间为，，
（2）由（1）得，
∴，
∵，∴，
∴当，即时，有最小值，
且，
∴函数在上的最小值为2.
第五章 三角函数
5.1任意角和弧度制
5.2三角函数的概念
5.3诱导公式
5.4三角函数的图象与性质
5.5三角恒等变换
5.6函数
5.7三角函数实战
5.1任意角和弧度制
知识回顾
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2、角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3、象限角
（1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
（2）象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角
或
第四象限角
或
4、终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
5、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
6、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
7、常用的角度与弧度对应表
角度制
弧制度
8、扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
高频考点
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，
设扇形的半径为，则，
解得，则扇形的圆心角的弧度数为.
故选:C.
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的母线长为 ，底面圆半径为，
则底面圆面积为 ，底面圆周长为 ；
又圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积为 ；
由圆锥的侧面积是底面积的2倍得： ，所以
所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，
故选：C.
3．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：与角终边相同的角的集合为，
取时，.
故选：D
4．（2022·辽宁实验中学高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为，弧度数为，则.
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为，将圆周32等分，每一份的弧长为.
【答案】D
【详解】A.根据弧度数定义可知A正确；
B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；
C.根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为，即弧度数为，故C正确；
D.圆周长为，32等分后，每一份弧长为，故D错误.
故选：D
5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）将化为的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由知.
故选：B.
6．（2022·全国·高一课时练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为．
故选：C
7．（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
8．（2022·海南·嘉积中学高二期末）2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（ ）
A．60度 B．75度 C．270度 D．285度
【答案】B
【详解】春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，
所以芒种为黄经度.
故选：B
9．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
【答案】AB
【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.
故选：AB．
10．（多选）（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知是第一象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】AC
【详解】解：是第一象限角，，，
，，
当取偶数时，是第一象限角，当取奇数时，是第三象限角，
故选：AC．
11．（2022·全国·高一学业考试）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为______．
【答案】
【详解】由题意，可知圆心角，半径，
所以所对应的弧长为．
故答案为：.
12．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数是___________．
【答案】或4
【详解】试题分析：设扇形半径为，弧长为，则由题意，解得或，所以或，所以答案应填：或4．
13．（2022·全国·高一课时练习）已知在半径为的圆中，弦的长为.
（1）求弦所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.
（2）因为，所以.，
又，
所以.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【答案】(1)
(2)取得最大值25，此时
（1）由题意得，解得(舍去)，．
所以扇形圆心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以当时，取得最大值25，
,解得.
当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.
5.2三角函数的概念
知识回顾
1、任意角的三角函数定义
（1）单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
（2）终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：
②余弦函数：
③正切函数：()
2、三角函数值在各象限的符号
,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）
3、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
（2）商数关系:（，）
高频考点
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限，又，则的终边在第三象限.
故选：C.
2．（2022·贵州·高二学业考试）若角是锐角，且，则（ ）
A． B．－ C．－ D．
【答案】D
【详解】因为，可得，
又因为角是锐角，可得，所以.
故选：D.
3．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知角的终边经过点， 则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【详解】解：由题意得.
故选：B.
4．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为角的终边上一点坐标为，
所以，
且的终边位于第四象限，
，．
当时，角取最小正值，
故选：C．
5．（2022·福建·高二学业考试）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
当是第一象限角时，，
当是第二象限角时，，
当是第三象限角时，，
当是第四象限角时，，
综上，函数值域为．
故选：C．
6．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知角终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为角终边经过点，且，
所以，所以，且，
解得，
所以
故选：B.
7．（2022·全国·高一学业考试）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，所以，，
所以
故选：A
8．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角终边过点，则的值为（ ）
A． B． C．– D．–
【答案】A
【详解】由题意得，点到原点的距离，
所以根据三角函数的定义可知，，
所以.
故选：A．
9．（多选）（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；；
故选：BCD．
10．（2022·全国·高一期末）对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（ ）
A．①③ B．①④ C．④⑥ D．②⑤
【答案】BC
【详解】若为第二象限角，则，，.
所以，为第二象限角或或.
故选：BC.
11．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知为第三象限角，且，则__________.
【答案】
【详解】由条件可知，且为第三象限角，
解得：，.
故答案为：
12．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知角的终边过点，且，则的值为_________．
【答案】##0.5
【详解】试题分析:由题设,所以,解之得,故应填答案.
13．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．
【答案】；当时，，；当时，，
【详解】，；
当时，，；
当时，，.
14．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．
【答案】(1)时间为4秒，
(2)点滚动的路程为，点滚动的路程为．
（1）设、第一次相遇时所用的时间是，
则，
（秒，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为，则，，
点的坐标为，
（2）第一次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为，故第二次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为．
5.3诱导公式
知识回顾
诱导公式一
① ②
③其中.
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
公式七
公式八
高频考点
1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
故选：D
2．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，则.
故选：D.
3．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A
4．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
根据诱导公式：
故选：A.
5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.
故选：D．
6．（2022·全国·高一课时练习）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
7．（2022·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴，
∴.
故选：A.
8．（2022·广东韶关·高一期末）已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知，
故选:B．
9．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知角满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为，则且，
当为奇数时，原式；
当为偶数时，原式.
故原式的取值可能为、.
故选：AC.
10．（多选）（2022·海南华侨中学高一期末）已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】A选项，由诱导公式得：，A正确；
B选项，因为，且为第二象限角，，所以，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，，D错误.
故选：AB
11．（2022·全国·高一学业考试）已知，则______．
【答案】##0.75
【详解】解：由题意得：
∵，
∴．
故答案为：
12．（2022·全国·高一学业考试）已知函数是偶函数，则的一个取值为___________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为该函数是偶函数，所以有，
当时，有，
于是有：或，
解得：，
当时，有，
于是有或，
解得，
所以，显然的一个取值可以是，
故答案为：
13．（2022·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
（1），因为为第二象限角，∴．
（2）∵，∴
14．（2022·安徽·亳州二中高一期末）在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
(1)由题意，，
由三角函数的定义得，，
；
(2)由（1）知，
.
5.4三角函数的图象与性质
知识回顾
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
对称轴方程
无
递增区间
递减区间
无
高频考点
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A, ,故是偶函数,A正确；
对于B，是奇函数，B错误；
对于C，为非奇非偶函数，C错误；
对于D，为非奇非偶函数，D错误；
故选：A
2．（2022·湖南娄底·高二学业考试）函数的最小正周期是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】函数的最小正周期是，
故选：B．
3．（2022·贵州·高二学业考试）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，函数
根据正弦型函数的周期的计算公式，可得函数的最小正周期为.
故选：C.
4．（2022·北京·高三学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在上单调递增，故A不符题意；
在上单调递减，故B符合题意；
在上单调递增，故C不符题意；
在上不单调，故D不符题意.
故选：B.
5．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图可知函数的定义域中不含，且函数图象关于原点对称，
与的定义域均为，不符合题意，故A、B错误；
对于C：，则，故C错误；
对于D：定义域为，且，符合题意；
故选：D
6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：C.
7．（2022·全国·高一学业考试）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数是定义域上的奇函数
其图象关于原点对称，排除选项D；
当时，，此时，
∴当时，的图象在轴上方，排除选项B；
当时，，的图象在轴下方，排除选项C；
综上所述，函数的大致图象为选项A.
故选：A.
8．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，因为，定义域为R，所以，所以是偶函数，所以不正确；
对于B，因为定义域为R ，，所以是奇函数，但在上是减函数，所以不正确；
对于C，因为的定义域为不关于原点对称，所以不具备奇偶性，所以不正确；
对于D，因为，定义域为R，，
是奇函数，设，则，
因为，所以，，
所以，即，是定义域为R的单调递增函数，所以正确.
故选：D．
9．（2022·贵州·高二学业考试）函数的最大值是___．
【答案】.
【详解】由正弦函数的图象与性质，可得，
所以函数的最大值为.
故答案为：.
10．（2022·湖北·高二学业考试）函数的单调递减区间为________.
【答案】
【详解】对于函数，
令，,
求得，
可得它的单调递减区间为，，，
故答案为，，．
11．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期.
【答案】(1)(2)
(1)∵，
∴
(2)∵，∴，
∴的最小正周期
12．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知函数，从下列两个问题中选择一个解答，两个都做只给第一问的分数.
问①：（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域.
问②：（1）求的值；（2）求的单调递增区间.
【答案】选①：（1）；（2）；选②：（1）；（2），.
【详解】,
选①，（1），
（2）时，，，所以的值域为；
选②，（1）；
（2），，
所以增区间是，．
13．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
【答案】(1)；
(2).
(1)
；
(2)∵函数的单调递减区间为，
令，，
解得：，，
∴函数的单调递减区间为．
14．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知函数的最小正周期是.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间.
【答案】(1)2；
(2).
(1)∵，
∴|ω|＝2，又ω＞0，则ω＝2.
(2)∵ω＝2，则，
令，则，
∴，
∴函数的增区间为.
5.5三角恒等变换
知识回顾
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中)
高频考点
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A.
2．（2022·贵州·高二学业考试）＝（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【详解】.
故选：D
3．（2022·广西·高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A
4．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，故最大值为2
故选：B
5．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】．
故选：A．
6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知角的为第四象限角，它的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为第四象限角与单位圆交于，所以解得
由第四象限角得，
所以
故选：D
7．（2022·天津南开·高二学业考试）函数是 （ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【答案】A
【详解】函数函数的周期，
，函数是奇函数，
所以函数是周期为的奇函数.
故选：A.
8．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）函数 的最小正周期为________.
【答案】
【详解】解：因为，所以，所以，所以函数的最小正周期；
故答案为：
9．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）若，则________________.
【答案】
【详解】由，得，所以．
故答案为：．
10．（2022·四川·高三学业考试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
（1）解：∵，∴，即函数的最小正周期为．
（2）解：在区间上，，∴，∴，∴的最大值为，的最小值为．
11．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知函数，求
（1）求函数的最小正周期；
（2）当，求函数的值域．
【答案】（1）；（2）.
【详解】，
（1）最小正周期为；
（2）由知：，故.
12．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知函数，若__________．
条件①：，且在时的最大值为；
条件②：．
请写出你选择的条件，并求函数在区间上的最大值和最小值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①或选②结论相同，最大值为0；最小值为．
【详解】
，其中，
若选①，，解得，得，
所以，
由，得，
当时，，
当时，；
若选②，，得，
所以，
由，得，
当时，，
当时，.
13．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.
【答案】（1），（2）
【详解】（1）
，
，
由，得，
所以的单调递增区间为，
（2）由（1）得
，
由，得，
所以，即，
所以，
所以的值域为
14．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数.
（1）求函数的定义域和最小正周期；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）
，
定义域为，
；
（2），
，
即 ，
，
.
15．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知函数
（1）求函数的单调减区间；
（2）求当时函数的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）
令，可得
所以函数的单调减区间为
（2）当时，，
所以
即
16．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解析：（1），
所以最小正周期．
（2）∵，∴，
∴，∴.
5.6函数
知识回顾
1、五点法作图
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数，
第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：，,,,
2、三角函数图象变换
参数,,对函数图象的影响
1.对函数,的图象的影响
2、()对函数图象的影响
3、()对的图象的影响
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
3、根据图象求解析式
形如的解析式求法：
（1）求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
（2）求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
（3）求法：最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
高频考点
1．（2022·天津河东·高二学业考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】C
【详解】将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，
得，即得到函数的图象，
故选：C
2．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）将的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，
得到的新的解析式为，整理得.
故选：D.
3．（2022·天津红桥·高二学业考试）为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【详解】解：，
则为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点向右平移个单位长度.
故选：B.
4．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知，为了得到的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【详解】解：因为=，
所以只需给图像向左平移个单位，
即可得到的图像.
故选：A
5．（2022·湖南娄底·高二学业考试）将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为.
故选：C
6．（2022·贵州·高二学业考试）给出下列几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变． ②向左平移个单位长度．
③横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变． ④向左平移个单位长度．
则由函数的图象得到的图象，可以实施的变换方案是（ ）
A．①→② B．①→④ C．③→② D．③→④
【答案】D
【详解】的图象得到的图象，有如下两个方法，
第一种：向左平移个单位得到，再横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到，即②→③.
第二种，横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到，再向左平移个单位长度得到，即③→④.
故选：D.
7．（2022·湖北·高二学业考试）将函数的图像向右平移个单位长度后得到的函数图像关于轴对称，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，平移后所得图象对应的函数解析式是：，
因函数的图象关于y轴对称，即函数是偶函数，
因此，，即，而，所以.
故选：D.
8．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图像向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆半径为，则函数的解析式为
【答案】B
【详解】对于A，根据中心对称，可知点的横坐标为，
所以的最小正周期，故A正确；
对于B，由周期可得，又，即，，且，
所以，因此，由，可得，
所以函数在上不单调，故B错误；
对于C，函数的图像向左平移个单位后，得到函数，
对称轴为，即，故关于直线对称，故C正确；
对于D，若圆半径为，则，所以，函数解析式为，故D正确．
故选:B
9．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）将函数向右平移个单位长度得到函数，若函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将函数向右平移个单位长度得到函数，
由，得，
由，得，
所以，
所以，
故选：B.
10．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【详解】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
11．（多选）（2022·福建·上杭一中高二学业考试）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】由周期得，所以，
令,解得,取，分别可得和，
故选：AD
12．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在单调递减
C．函数的图象关于直线对称
D．该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】CD
【详解】由图象可知：A=2，周期；
由，解得：，
故函数.
对于A：，故A错误；
对于B：当 时，因为上正弦函数先减后增，不单调，所以在上不单调，故B错误；
对于C：当 时，即直线是的一条对称轴，故C正确；
对于D：向右平移个单位得到，故D正确.
故选：CD.
13．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】ABD
【详解】由函数的图象可得，周期，所以，
当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，
故函数.
对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；
对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；
对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.
故选：ABD.
14．（2022·全国·高一学业考试）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则可能的取值是______．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（满足，即可）
【详解】函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数解析式，又因为平移后的图象经过点，
所以得到，所以，
解得，，不妨令，则，
故答案为：．（答案不唯一）
15．（2022·四川南充·高一期末）已知函数的部分图象，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(1)解：根据函数的部分图象
可得，，所以.
再根据五点法作图可得，
所以，.
(2)将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
由，可得
又函数在上单调递增，在单调递减
，，
函数在的值域.
16．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图．
(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）根据图象，可得，，
∴
∴，将代入f（x），得，
即，，
又，∴，
∴．
（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，
由题得，
∵在[0，]上有两个不同的实数解，
∴在[0，]上有两个不同的实数解．
∵，
令，
∴，
则需直线与的图象在有两个不同的公共点．
画出在时的简图如下：
∴实数m的取值范围是．
17．（2022·全国·高一单元测试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当，时，恒成立，求a的最大值.
【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，
(2)最大值为0
（1）
故函数的最小正周期.
由得.
∴函数的单调递增区间为，.
（2）∵，∴，
∴，.
由恒成立，得，即.故a的最大值为0.
18．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.
【答案】(1)，对称中心为，．
(2)单调递减区间为；，．
（1）解：根据函数，，的部分图像，
可得，，．
再根据五点法作图，，，故有．
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为，．
（2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向右平移个单位，得到的图像，
即，
令，，解得，，
可得的减区间为，，
结合，可得在上的单调递减区间为．
又，故当，时，取得最大值，即；
当，时，取得最小值，即．
5.7三角函数实战
一、单选题
1．计算的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】.
故选：B.
2．已知函数（）的图象如图所示，则它的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】观察图象知，函数在上的图象从左到右是下降的，在上的图象从左到右是上升的，
所以函数（）的单调递减区间是.
故选：A
3．若是第一象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是第一象限角，且，
所以，
故选：A
4．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将函数的图象向左平移个单位后，可得.
故选：C.
5．函数的值域是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在上单调递增，在上单调递减
在上单调递增，在上单调递减
当时取最大值
且当时取最大值
函数的值域是
故选：B
6．已知，且为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，，所以，因为为第四象限角，所以，所以
故选：D
7．若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由两边平方得，即，解得.
故选B.
8．函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由，
又函数的值域为，
则函数的最小值为.
故选：A.
9．若第三象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为第三象限角，所以，
因为，且，
解得或，
则.
故选：D.
10．是锐角，且，，则的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是锐角，且，，所以 ,选C.
11．关于函数有下列四个结论：
①的图象关于原点对称；
②在区间上单调递增；
③的一个周期为；
④在是有四个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A
【详解】解：对于①，函数的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，当时，，，所以，
又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故②正确；
对于③，因为，所以不是函数的周期，故③不正确；
对于④，在时，令，即，解得，共3个零点，故④不正确；
综上得正确命题的编号为：①②，
故选：A.
12．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，函数的最小正周期为，
故
即
令
即
令，可得，故A正确；
BCD选项中，不存在与之对应，故错误
故选：A
13．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵.
∴，
∴，
故选：C.
二、多选题
14．下列函数中最大值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】解：对于A：函数值域为，故A正确；
对于B：函数的值域为，故B正确；
对于C：函数的值域为，故C错误；
对于D：函数的值域为，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
15．已知，则__________.
【答案】-3
【详解】∵，∴，
故答案为：-3.
16．已知、是方程的两根，并且、，则的值是______．
【答案】
【详解】、是方程的两根，并且、，
∴，，．
∴、均大于零，故、，∴．
∵，∴，
故答案为：．
17．函数的最小正周期是，则______.
【答案】2
【详解】因为，所以.
故答案为.
18．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
四、解答题
19．已知．求的值．
【答案】
【详解】因为，
所以将代入上式，得．
20．已知函数，且满足．
（1）求x的取值范围；
（2）求函数的单调增区间.
【答案】（1），；（2），．
【详解】（1）∵
∴，.
（2）
=
∵
∴，即.
故有，得，.
同时需联立，.
综上可得函数的单调增区间为，.
21．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若的最小值为0，求常数的值．
【答案】（1）； （2）.
【详解】（1）由函数，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知函数，
因为的最小值为0，可得当时，取得最小值，
即，解得.
22．已知函数的最小正周期是.
（1）求值；
（2）求的对称中心；
（3）将的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间.
【答案】（1）2；（2），；（3），.
【详解】（1），又，
∵，
∴.
（2）由（1）知，，令，解得.
∴的对称中心是，.
（3）将的图像向右平移个单位后可得：，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：，
由，解得，.
∴的单调递增区间为，.
23．已知函数，.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1），即.
（2），
故的最小正周期.
（3）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故在上的值域为.
24．已知O为坐标原点，，，，若.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）设，求函数在上的最小值.
【答案】（1）；（2）2.
【详解】（1）由题意，，，
所以
，
所以函数的最小正周期为，
由，，
得，，
所以的单调递增区间为，，
（2）由（1）得，
∴，
∵，∴，
∴当，即时，有最小值，
且，
∴函数在上的最小值为2.
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